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专题3.10 判断点在圆内外,向量应用最厉害(原卷版)


专题 10 判断点在圆内外,向量应用最厉害
【题型综述】
点与圆的位置关系的解题策略一般有以下几种:①利用设而不求思想求出圆心坐标,然后计算圆 心到点的距离并和半径比较得解;②向量法,通过判断数量积的正负来确定点和圆的位置关系:如已知 AB 是 圆 的 直 径 , G 是 平 面 内 一 点 , 则 GA? GB? 0 ? 点 G 在 圆 内 ; GA ? GB ? 0 ? 点 G 在 圆 外 ;

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ? GA ? GB ? 0 ? 点 G 在圆上.③方程法,已知圆的方程 M : ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 ,点 N ( x0 , y0 ) ,则

( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 ? r 2 ? 点 N 在 圆 M 内 ; ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 ? r 2 ? 点 N 在 圆 M 上 ; ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 ? r 2 ? 点 N 在圆 M 外.
四点共圆问题的解题策略:①利用四点构成的四边形的对角互补;②利用待定系数法求出过其中三 点的圆的方程,然后证明第四点坐标满足圆的方程.

【典例指引】 类型一 向量法判定点与圆的位置关系

[来源:学科网 ZXXK]

x2 y 2 2 例 1 【2015 高考福建,理 18】已知椭圆 E: 2 + 2 = 1(a > b > 0) 过点 (0, 2) ,且离心率为 . a b 2
(Ⅰ)求椭圆 E 的方程 ; (Ⅱ)设直线 x = my - 1 ,(m ? R)交椭圆 E 于 A,B 两点, 判断点 G (- ,0)与以线段 AB 为直径的圆的位置关系,并说明理由. 【解析】

9 4

类型二 四点共圆应用问题
例 2. (2014 全国大纲 21)已知抛物线 C: y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F,直线 y ? 4 与 y 轴的交点为 P, 与 C 的交点为 Q, 且 | QF |? (I)求 C 的方程; (II)过 F 的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点,若 AB 的垂直平分线 l ? 与 C 相较于 M,N 两点,且 A,M,B, N 四点在同一圆上,求 l 的方程. 【解析】

5 | PQ | . 4

类型三 动圆过定点问题

[来源:Z§xx§k.Com]

例 3 (2012 福建理 19) 右焦点为 F2 ,离心率 e ?

x2 y2 如图,椭圆 E : 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 的左焦点为 F1 , a b
1 。过 F1 的直线交椭圆于 A, B 两点,且 ?ABF2 的周长为 8。 2

(Ⅰ)求椭圆 E 的方程。 (Ⅱ) 设动直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P , 且与直线 x ? 4 相交于点 Q 。 试探究: 在坐标平面内是否存在定点 M ,使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M ?若存在,求出点 M 的坐标; 若不存在,说明理由。 【解析】

类型四 证明四点共圆
2 例 4.已知 O 为坐标原点,F 为椭 圆 C : x ?

y2 ? 1 在 y 轴正半轴上的焦点,过 F 且斜率为 - 2 的直线 l 与 C 2

交与 A、B 两点,点 P 满足 OA ? OB ? OP ? 0. (Ⅰ)证明:点 P 在 C 上; (Ⅱ)设点 P 关于点 O 的对称点为 Q,证明:A、P、B、Q 四点在同一圆上. 【解析】

??? ? ??? ? ??? ?

【扩展链接】

1.O 为坐标原点,P、Q 为椭圆上两动点,且 OP ? OQ .(1)

1 1 1 1 ? ? 2 ? 2 ;(2)|OP|2+|OQ|2 2 2 | OP | | OQ | a b

4a 2 b 2 a 2b 2 的最大值为 2 ;(3) S?OPQ 的最小值是 2 . a ? b2 a ? b2
2 2 2.若椭圆方程为 x 2 ? y2 ? 1 (a ? b ? 0) ,半焦距为 c ,焦点 F1 ? ?c,0? , F2 ? c,0? ,设

a

b

过 F1 的直线 l 的倾斜角为 ? ,交椭圆于 A、B 两点,则有:①

AF1 ?

b2 b2 2ab2 , BF1 ? ;② AB ? 2 2 2 a ? c cos ? a ? c cos ? a ? c cos ?

2 2 若椭圆方程为 x 2 ? y2 ? 1 (a ? b ? 0) ,半焦距为 c ,焦点 F1 ? ?c,0? , F2 ? c,0? ,设

a

b

过F 2 的直线 l 的倾斜角为 ? ,交椭圆于 A、B 两点,则有:①

b2 b2 2ab 2 AF , BF ;② AB ? 2 2 2 2 ? 2 ? a+c cos ? a-c cos ? a ? c cos ?

同理 可求得焦点在 y 轴上的过焦点弦长为 AB ? 半焦距)

2ab2 (a 为长半轴,b 为短半轴,c 为 a2 ? c2 sin2?

? 2ab2 ? 焦点在x轴上? ? ? a2 ? c2 cos2? 结论:椭圆过焦点弦长公式: AB ? ? 2ab2 ? ? 焦点在y轴上? ? ? a2 ? c2 sin2?
3.设 AB 为过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 焦点的弦, A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ,直线 AB 的倾斜角为 ? ,则
2

p2 , y1 y2 ? ? p 2 ; ①. x1 x2 ? 4
②. AF ? x1 ?

p p p p ? , BF ? x2 ? ? 2 1 ? cos ? 2 1 ? cos ?

③. AB ? x1 ? x2 ? p ? ④.

2p ; sin 2 ?

1 1 2 ? ? ; | FA | | FB | P
3 2 p ; 4

⑤. OA ? OB ? ? ⑥. S?AOB ?

1 1 p2 OA OB sin ?AOB ? ? OF ? hF ? ; 2 2 2sin ?

【同步训练】
1. 已知椭圆 的离心率 ,过点 A(0,﹣b)和 B(a,0)的直线与原点的距

离为



(1)求椭圆的方程; (2)已知定点 E(﹣1,0) ,若直线 y= kx+2(k≠0)与椭圆交于 C、D 两点,问:是否存在 k 的值,使以 CD 为直径的圆过 E 点?请说明理由.

【思路点拨】 (1)直线 AB 方程为 bx﹣ay﹣ab=0,依题意可得:

,由此能求出椭圆的方程.

(2)假设存在这样的值. 进行求解. 【详细解析】 2.已知椭圆 (1)若 (2)设直线 上,且

,得(1+3k2)x2+12kx+9=0,再由根的判别式和根与系数的关系

的右焦点为 ,求椭圆的方程; 与椭圆相交于 两点,

,离心率为 .

分别为线段

的中点,若坐标原点 在以

为直径的圆

,求 的取值范围.

【思路点拨】(1)结合所给的数据计算可得



,所以椭圆的方程为

.

(2) 联 立 直 线 与 椭 圆 的 方 程 , 集 合 韦 达 定 理 和 平 面 向 量 数 量 积 的 坐 标 运 算 法 则 可 得

,结合离心率的范围可知 . 【详细解析】
3.已知椭圆 : (Ⅰ)求椭圆 的方程; (Ⅱ)椭圆 长轴两端点分别为 点,又点 说明理由. ,过 ,点 为椭圆上异于 的动点,直线 : 过点 ,且离心率 .

则 的取值范围是

与直线

分别交于



三点的圆是否过 轴上不同于点 的定点?若经过,求出定点坐标;若不存在,请

【思路点拨】(1)运用椭圆的离心率公式和点代入椭圆方程,由 a,b,c 的关系,即可 得到椭圆方程; (2)设 【详细 解析】 4.已知椭圆 E1 : ,由椭圆方程和直线的斜率公式,以及两直线垂直的条件,计算即可得证.

x2 y 2 ? ? 1 的焦点 F1 、 F2 在 x 轴上,且椭圆 E1 经过 P ? m, ?2? (m ? 0) ,过点 P 的直线 l a2 6
2

与 E1 交于点 Q ,与抛物线 E2 : y ? 4 x 交于 A 、 B 两点,当直线 l 过 F2 时 ?PF1Q 的周长为 20 3 . (Ⅰ)求 m 的值和 E1 的方程; (Ⅱ)以线段 AB 为直径的圆是否经过 E2 上一 定点,若经过一定点求出定点坐标,否则说明理由。 【思路点拨】 (1)由 ?PF1Q 的周长为 20 3 求得 a,再根据椭圆 E1 经过 P ? m, ?2? 求得 m.
[来源:Z.xx.k.Com]

(2)设直线 l 方程 : x ? 5 ? n ? y ? 2? ,与抛物线方程联立方程组,消 x 得关于 y 的一元二次方程,结合韦 达定理,化简以线段 AB 为直径的圆方程,按参数 n 整理,根据恒等式成立条件求出定点坐标 【详细解析】 5.已知抛物线 C 顶点在原点,焦点在 y 轴上,抛物线 C 上一点 Q ? a,2? 到焦点的距离为 3,线段 AB 的两端 点 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 在抛物线 C 上. (1)求抛物线 C 的方程; (2)若 y 轴上存在一点 M ? 0, m? (m ? 0) ,使线段 AB 经过点 M 时,以 AB 为直径的圆经过原点,求 m 的 值; (3)在抛物线 C 上存在点 D ? x3 , y3 ? ,满足 x3 ? x1 ? x2 ,若 ?ABD 是以角 A 为直角的等腰直角三角形, 求 ?ABD 面积的最小值.

【思路点拨】 (1)根据抛物线的定义 ,丨 QF 丨=丨 QQ1 丨,即可求得 p 的值,即可求得抛物线方程; (2)设 AB 的方程,代入椭圆方程,由 OA ? OB ? 0 ,根据向量数量积的坐标运算及韦达定理,即可求得 m 的值; ( 3 )设 A ? x1 ,

??? ? ??? ?

? ?

2 ? x2 x12 ? ? , B ? x2 , 4 ? 4 ?

2 ? x3 ? ? , C x , ? 3 ? ,根据抛物线关于 y 轴对称,取 x1 ? 0 ,记 k AB ? k1 , ? 4 ? ? ?

k AD ? k2 , 则 有 k1 ?

x ? x1 x2 ? x1 , k2 ? 3 , 所 以 x2 ? 4 k1 ? x1, x3 ? 4k2 ? x1 , k1 ? k2 ? ?1 , 由 4 4
2 1 2 2

AB ? AD , 即 1 ? k ? x2 ? x1 ? 1 ? k ? x3 ? x1 , 进 而 化 简 求 出 x1 , 得 :
? 4k 2 ? 4 ? 1 1 ? ? | AB |2 ? ? 1 ? k12 ? ? 21 ? ,即可求得△ ABD 面积的最小值. 2 2 ? k1 ? k1 ?

4k13 ? 4 , x1 ? 2 2k1 ? 2k1

S?ABD

?

?

2

【 详细解析】 6.已知椭圆 C : 腰直角三角形. (1)求椭圆的方程;

? x2 y 2 2? ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )经过点 P ? 1, 2 ? 2 ? ? ,且两焦点与短轴的一个端点的连线构成等 a b ? ?

1 n ? 0 ( m , n ? R )交椭圆 C 于 A 、 B 两点,试问:在坐标平面上是否存 3 在一个定点 T ,使得以 AB 为直径的圆恒过点 T .若存在,求出点 T 的坐标;若不存在,请说明理由.
(2)动直线 l : mx ? ny ? 【思路点拨】 (1)由题设知 a=

2b ,所以

x2 y2 ? ?1 2b 2 b 2

,椭圆经过点 P(1,

2 ) ,代入可得 b=1, 2

a= 2 ,由此可知所求椭圆方程. (2)首先求出动直线过(0,﹣

1 1 16 )点.当 l 与 x 轴平行时,以 AB 为直径的圆的方程:x2+(y+ )2= ; 3 3 9
2 2

1 16 x2 ? (y ? ) 2? 当 l 与 y 轴平行时,以 AB 为直径的圆的方程:x +y =1.由 { 3 9 .由此入手可求出点 T 的 2 2 x ? y ?1
坐标. 【详细解析】 7.如图, 曲线 C 由上半椭圆 C1 :

y 2 x2 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 , y ? 0 ) 和部分抛物线 C : y ? ? x ? 1 ( y ? 0) 2 a b
3 . 2

连接而成, C1 与 C2 的公共点为 A , B ,其中 C1 的离心率为

(1)求 a , b 的值; (2)过点 B 的直线 l 与 C1 , C2 分别交于点 P , Q (均异于点 A , B ) ,是否存在直线 l ,使得以 PQ 为 直径的圆恰好过 A 点,若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由. 【思路点拨】 (1)在 C1 , C2 的方程中,令 y ? 0 ,可得 b ? 1 ,且 A ? ?1 ,0 ? , B ?1,0? 是上半椭圆 C1 的左、 右顶点,设 C1 半焦距为 c ,由

c 3 及 a 2 ? c 2 ? b2 ? 1 ,联立解得 a ; (2)由(1)知,上半椭圆 C1 的方 ? a 2

程为

y2 ? x 2 ? 1? y ? 0 ? ,由题意知,直线 l 与 x 轴不重合也不垂直,设其方程为 y ? k ? x ?1? ( k ? 0 ) , 4

2 2 2 代入 C1 的方程,整理得: k ? 4 x ? 2kx ? k ? 4 ? 0 ,设点 P 的坐标为 ? xP , yP ? ,由根公式,得点 P 的

?

?

坐标为 ?

???? ???? ? k 2 ? 4 ?8k ? 2 k , 2 ? ,同理,得点 Q 的坐标为 ? ? k ? 1, ? k ? 2k ? .由 AP 1 ? AQ ? 0 ,即可得出 的值, 2 k ? 4 k ? 4 ? ?

从而求得直线方程. 【详细解析】

x2 y 2 8.已知过点 A ? 0,1? 的椭圆 C : 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的左右焦点分别为 F1、F2 , B 为椭圆上的任意一点, a b
且 3 BF 1 , F 1 F2 , 3 BF2 成等差数列. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)直线 l : y ? k ? x ? 2? 交椭圆于 P, Q 两点,若点 A 始终在以 PQ 为直径的圆外,求实数 k 的取值范围.
源:Zxxk.Com] [来

【思路点拨】 (1)由题意,利用等差数列和椭圆的定义求出 a , c 的关系,再根据椭圆 C 过点 A ,求出 a , b 的 值,即 可写出椭圆的标准方程; (2) 设 P? xy , y? ? 1 , 1 Qx 2, 2 根据题意知 x1 ? ?2, y ? 0 , 联立方程组, 由方程的根与系数的关系求解 x2 , y2 , ?,

再由点 A 在以 PQ 为直径的圆外,得 ?PAQ 为锐角, AP ? AQ ? 0 ,由此列出不等式求出 k 的取值范围. 【详细解析】

??? ? ????

9.已知动点 M 到点 N(1,0)和直线 l:x=﹣1 的距离相等. (1)求动点 M 的轨迹 E 的方程; (2)已知不与 l 垂直的直线 l'与曲线 E 有唯一公共点 A,且与直线 l 的交点为 P,以 AP 为直径作圆 C.判 断点 N 和圆 C 的位置关系,并证明你的结论. 【思路点拨】 (1)利用抛物线的定义,即可求动点 M 的轨迹 E 的方程; (2)由题意可设直线 l':x=my+n,由 积,即可得出结论. 【详细解析】 10.已知抛物线 C1:y2=2px(p>0)的焦点为 F,抛物线上存在一点 G 到焦点的距离为 3,且点 G 在圆 C: x2+y2=9 上. (Ⅰ)求抛物线 C1 的方程; (Ⅱ)已知椭圆 C2: =1(m>n>0)的一个焦点与抛物线 C1 的焦点重合,且离心率为 .直线 l: 可得 y2﹣4my﹣4n=0,求出 A,P 的坐标,利用向量的数量

y=kx﹣4 交椭圆 C2 于 A、B 两个不同的点,若原点 O 在以线段 AB 为直径的圆的外部,求 k 的取值范围. 【思路点拨】 (1)设点 G 的坐标为(x0,y0) ,列出关于 x0,y0,p 的方程组,即可求解抛物线方程.
[来源:学*科*网 Z*X*X*K]

(2)利用已知条件推出 m、n 的关系,设(x1,y1) 、B(x2,y2) ,联立直线与椭圆方程,利用韦达定理以 及判别式大于 0,求出 K 的范围,通过原点 O 在以线段 AB 为直径的圆的外部,推出 k 的范围即可. 【详细解析】 ? >0,然后求解

x2 y 2 11.已知双曲线 2 ? 2 ? 1? b ? a ? 0 ? 渐近线方程为 y ? ? 3x , O 为坐标原点,点 M ? 3, 3 在双曲 a b
线上. (Ⅰ)求双曲线的方程; (Ⅱ)已知 P, Q 为双曲线上不同两点,点 O 在以 PQ 为直径的圆上,求

?

?

1 OP
2

?

1 OQ
2

的值.

【思路点拨】 (1)根据渐近线方程得到设出双曲线的标准方程,代入点 M 的坐标求得参数即可; ( 2 )由条件可得 OP ? OQ ,可设出直线 OP, OQ 的方程,代入双曲线方程求得点 P, Q 的坐标可求得

1 OP
2

?

1 OQ
2

?

1 。 3

【详细解析】 12.已知点 P 是圆 F1: (x﹣1)2+y2=8 上任意一点,点 F2 与点 F1 关于原点对称,线段 PF2 的垂直平分线分别 与 PF1,PF2 交于 M,N 两点. (1)求点 M 的轨迹 C 的方程; (2)过点 G(0,

1 )的动直线 l 与点的轨迹 C 交于 A,B 两点,在 y 轴上是否存在定点 Q,使以 AB 为直 3

径的圆恒过这 个点?若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由. 【思路点拨】 (1)由圆的方程求出 F1、F2 的坐标,结合题意可得点 M 的轨迹 C 为以 F1,F2 为焦点的椭圆, 并求得 a,c 的值,再由隐含条件求得 b,则椭圆方程可求; (2)直线 l 的方程可设为 y ? kx ?

1 ,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,联立直线方程与椭圆方程,化为关于 3

x 的一元二次方程, 利用根与系数的关系求出 A, B 横坐标的和与积, 假设在 y 轴上是否存在定点 Q (0, m) , 使以 AB 为直径的圆恒过这个点, 可得 AQ ? BQ , 即A QB ?Q 即定点 Q 得坐标. 【详细解析】

????

??? ?

???? ??? ?

利用向量的坐标运算即可求得 m 值, ?0 .


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