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4.1.2 圆的一般方程(人教高中课标必修模块二精品教案)


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4.1.2

圆的一般方程

【教学目标】 1.使学生掌握圆的一般方程的特点;能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆 心的坐标和半径;能用待定系数法,由已知条件导出圆的方程. 2.使学生掌握通过配方求圆心和半径的方法,熟练地用待定系数法由已知条件导出圆 的方法,熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程,培养学生用配方法和待定系数法解 决实际问题的能力. 3.通过对待定系数法的学习为进一步学习数学和其他相关学科的基础知识和基本方法 打下牢固的基础. 【教学重难点】 教学重点:(1)能用配方法,由圆的一般方程求出圆心坐标和半径;(2)能用待定系数法, 由已知条件导出圆的方程. 教学难点:圆的一般方程的特点. 【教学过程】 (一)情景导入、展示目标

前面,我们已讨论了圆的标准方程(x-a) +(y-b) =r ,现将展开可得 x +y -2ax-2by+a +b -r =0.可见,任何一个圆的方程都可以写成 x +y +Dx+Ey+F=0.请 大家思考一下:形如 x +y +Dx+Ey+F=0 的方程的曲线是不是圆?下面我们来深入研究这一 方面的问题.复习引出课题为“圆的一般方程” . (二)检查预习、交流展示 1.写出圆的标准方程. 2.写出圆的标准方程中的圆心与半径. (三)合作探究、精讲精练 探究一:圆的一般方程的定义
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

2

1.分析方程 x +y +Dx+Ey+F=0 表示的轨迹

将方程 x +y +Dx+Ey+F=0 左边配方得:

2

2

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(1)

(1)当 D +E -4F>0 时,方程(1)与标准方程比较,可以看出方程

2

2

半径的圆;

(3)当 D +E -4F<0 时,方程 x +y +Dx+Ey+F=0 没有实数解,因而它不表示任何图形.

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2

2

2

这时,教师引导学生小结方程 x +y +Dx+Ey+F=0 的轨迹分别是圆、

2

2

法. 2.引出圆的一般方程的定义
2 2 2 2

当 D +E -4F>0 时,方程 x +y +Dx+Ey+F=0 称为圆的一般方程. 探究二:圆的一般方程的特点 请同学们分析下列问题: 问题:比较二元二次方程的一般形式
2 2

Ax +Bxy+Cy +Dx+Ey+F=0.

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(2) 与圆的一般方程 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0,(D 2 +E 2 -4F>0). (3) 的系数可得出什么结论?启发学生归纳结论.
2 2

当二元二次方程 Ax +Bxy+Cy +Dx+Ey+F=0 具有条件:

(1)x 和 y 的系数相同,不等于零,即 A=C≠0; (2)没有 xy 项,即 B=0;
2 2

2

2

(3)D +E -4AF>0. 它才表示圆.条件(3)通过将方程同除以 A 或 C 配方不难得出. 强调指出: (1)条件(1)、(2)是二元二次方程(2)表示圆的必要条件,但不是充分条件; (2)条件(1)、(2)和(3)合起来是二元二次方程(2)表示圆的充要条件. 例1
2

求下列圆的半径和圆心坐标:
2

(1)x +y -8x+6y=0,

(2)x +y +2by=0. 解析:先配方,将方程化为标准形式,再求圆心和半径. 解:(1)圆心为(4,-3),半径为 5;(2)圆心为(0,-b),半径为|b|,注意半径不为 b. 点拨:由圆的一般方程求圆心坐标和半径,一般用配方法,这要熟练掌握. 变式训练1: 1.方程 x2+y2+2kx+4y+3k+8=0 表示圆的充要条件是(

2

2



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A.k>4 或者 k<-1 B.-1<k<4 C.k=4 或者 k=-1 D.以上答案都不对 2 2 2.圆 x +y +Dx+Ey+F=0 与 x 轴切于原点,则有( ) 2 2 A.F=0,DE≠0 B.E +F =0,D≠0 2 2 C.D +F =0,E≠0 D.D2+E2=0,F≠0 答案:1.A 例2 2.C

求过三点 O(0,0)、A(1,1)、B(4,2)的圆的方程.

解析:已知圆上的三点坐标,可设圆的一般方程,用待定系数法求圆的方程.
2 2

解:设所求圆的方程为 x +y +Dx+Ey+F=0,由 O、A、B 在圆上,则有

解得:D=-8,E=6,F=0, 故所求圆的方程为 x +y -8x+6=0. 点拨:1.用待定系数法求圆的方程的步骤: (1)根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式; (2)根据条件列出关于 a、b、r 或 D、E、F 的方程; (3)解方程组,求出 a、b、r 或 D、E、F 的值,代入所设方程,就得要求的方程. 2.关于何时设圆的标准方程,何时设圆的一般方程:一般说来,如果由已知条件容易求 圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题,往往设圆的标准方程;如果已 知条件和圆心坐标或半径都无直接关系,往往设圆的一般方程. 求圆心在直线 l:x+y=0 上,且过两圆 C 1 ∶x +y -2x+10y-24=0 和
2 2 2 2

变式训练2:
2 2

C 2 ∶x +y +2x+2y-8=0 的交点的圆的方程.

解:解方程组 ?

?x 2 ? y 2 - 2x ? 10y - 24 ? 0 ,得两圆交点为(-4,0),(0,2). 2 2 x ? y ? 2x ? 2y 8 ? 0 ?

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设所求圆的方程为(x-a) +(y-b) =r ,因为两点在所求圆上,且圆心在直线 l 上所以
2 2 ? (?4 ?a ) 2 +b =r ?2 2 2 得方程组为 ? a +(2-b) =r ? a+b=0 ?

2

2

2

解得a=-3,b=3,r= 10 .

故所求圆的方程为:(x+3) 2 +(y-3) 2 =10. (四)反馈测试 导学案当堂检测 (五)总结反思、共同提高 1.圆的一般方程的定义及特点; 2.用配方法求出圆的圆心坐标和半径; 3.用待定系数法,导出圆的方程. 【板书设计】 一:圆的一般方程的定义
2 2

1.分析方程 x +y +Dx+Ey+F=0 表示的轨迹 2.圆的一般方程的定义 二:圆的一般方程的特点 (1) (2) (3) 例1 变式训练1: 例2 变式训练2: 【作业布置】

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导学案课后练习与提高

4. 1. 2
一.预习目标

圆的一般方程
课前预习学案

回顾圆的标准方程,了解用圆的一般方程及其特点. 二.预习内容 1.圆的标准方程形式是什么?圆心和半径呢? 2.圆的一般方程形式是什么?圆心和半径呢? 3.圆的方程的求法有哪些? 三.提出疑惑 同学们,通过你的自主学习,你还有那些疑惑,请填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容

课内探究学案 一.学习目标 1.掌握圆的一般方程的特点;能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐 标和半径;能用待定系数法,由已知条件导出圆的方程. 2.掌握通过配方求圆心和半径的方法,熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方法, 熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程,培养用配方法和待定系数法解决实际问题的 能力. 3.通过对待定系数法的学习为进一步学习数学和其他相关学科的基础知识和基本方法 打下牢固的基础. 学习重点:(1)能用配方法,由圆的一般方程求出圆心坐标和半径;(2)能用待定系数法, 由已知条件导出圆的方程. 学习难点:圆的一般方程的特点. 二.学习过程

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前面,我们已讨论了圆的标准方程(x-a) +(y-b) =r ,现将展开可得 x +y -2ax-2by+a2+b -r =0.可见,任何一个圆的方程都可以写成 x +y +Dx+Ey+F=0.请 大家思考一下:形如 x +y +Dx+Ey+F=0 的方程的曲线是不是圆?下面我们来深入研究这一 方面的问题.复习引出课题为“圆的一般方程” . 探究一:圆的一般方程的定义
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

2

1.分析方程 x +y +Dx+Ey+F=0 表示的轨迹

2.引出圆的一般方程的定义

探究二:圆的一般方程的特点 请同学们分析下列问题: 问题:比较二元二次方程的一般形式 Ax +Bxy+Cy +Dx+Ey+F=0. 与圆的一般方程
2 2 2 2 2 2

(2)

x +y +Dx+Ey+F=0,(D +E -4F>0). 的系数可得出什么结论?

(3)

例1
2

求下列圆的半径和圆心坐标:
2

(1)x +y -8x+6y=0,

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(2)x +y +2by=0.

2

2

变式训练1: 1.方程 x2+y2+2kx+4y+3k+8=0 表示圆的充要条件是( ) A.k>4 或者 k<-1 B.-1<k<4 C.k=4 或者 k=-1 D.以上答案都不对 2 2 2.圆 x +y +Dx+Ey+F=0 与 x 轴切于原点,则有( ) 2 2 A.F=0,DE≠0 B.E +F =0,D≠0 C.D +F =0,E≠0
2 2

D.D +E =0,F≠0

2

2

例2

求过三点 O(0,0)、A(1,1)、B(4,2)的圆的方程.

变式训练2:
2 2

求圆心在直线 l:x+y=0 上,且过两圆 C1∶x +y -2x+10y-24=0

2

2

和 C2∶x +y +2x+2y-8=0 的交点的圆的方程.

三.反思总结 圆的一般方程 成立的条件 方程特征 待定系数法法 配方法

四.当堂检测 1.方程 y ?

? x 2 ? 4 x ? 3 表示的曲线是(



A.在 x 轴上方的圆 C.x 轴下方的半圆

B.在 y 轴右方的圆 D.x 轴上方的半圆

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2.以(0,0) 、 (6,-8)为直径端点的圆的方程是
2 2 2 2

.

3.求经过两圆 x +y +6x-4=0 和 x +y +6y-28=0 的交点,并且圆心在直线 x-y-4=0 上的圆的方程.

参考答案:1.D 2.x +y -6x+8y=0 3.x +y -x+7y-32=0

2

2

2

2

课后练习与提高 1.方程 x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0 表示圆,则实数 m 的取值范围是 ( )

1 <m<1 7 1 C.m<- 或 m>1 7
A.-

B.-1<m<

1 7 1 7

D.m<-1 或 m>

2.方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)表示的曲线关于直线 x+y=0 对称,则有 ( ) A.D+E=0 B.D+F=0 C.E+F=0 D.D+E+F=0 3.经过三点 A(0,0)、B(1,0)、C(2,1)的圆的方程为( ) A.x2+y2+x-3y-2=0 B. x2+y2+3x+y-2=0 C. x2+y2+x+3y=0 D. x2+y2-x-3y=0 4.方程 x ? y ? x ? y ? k ? 0 表示一个圆,则实数 k 的取值范围是
2 2

.

5.过点 A(-2,0) ,圆心在(3,-2)的圆的一般方程为

.

6.等腰三角形的顶点是 A(4,2),底边一个端点是 B(3,5),求另一个端点的轨迹方程, 并说明它的轨迹是什么.

参考答案:1.A 2.A
2 2

3.D 4. k ?

1 2

5.x +y -6x+4y-16=0 6.所

2

2

求的轨迹方程为 x +y -8x-4y+10=0(x≠3,x≠5),轨迹是以 A 为圆心、 10 为半径的圆,但 除去两点.


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