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高考理科数学第一轮复习测试题3


A级 基础达标演练 (时间:40 分钟 满分:60 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.用数学归纳法证明命题“当 n 是正奇数时,xn+yn 能被 x+y 整除”,在第二步时,正确 的 证法是( ). A.假设 n=k(k∈N+),证明 n=k+1 命题成立 B.假设 n=k(k 是正奇数),证明 n=k+1 命题成立 C.假设 n=2k+1(k∈N+),证明 n=k+1 命题成立 D.假设 n=k(k 是正奇数),证明 n=k+2 命题成立 解析 A、B、C 中,k+1 不一定表示奇数,只有 D 中 k 为奇数,k+2 为奇数. 答案 D 2.用数学归纳法证明 1+2+3+?+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时,从 n=k 到 n=k+1,左边 需增添的代数式是( A.2k+2 C.2k+1 ). B.2k+3 D.(2k+2)+(2k+3) 解析 当 n=k 时,左边是共有 2k+1 个连续自然数相加,即 1+2+3+?+(2k+1), 所以当 n=k+1 时,左边是共有 2k+3 个连续自然数相加,即 1+2+3+?+(2k+1)+(2k +2)+(2k+3). 答案 D 3.对于不等式 n2+n<n+1(n∈N*),某同学用数学归纳法的证明过程如下: (1)当 n=1 时, 12+1<1+1,不等式成立. (2)假设当 n=k(k∈N* 且 k≥1)时,不等式成立,即 k2+k<k+1,则当 n=k+1 时, ?k+1?2+?k+1?= k2+3k+2< ?k2+3k+2?+?k+2?= ?k+2?2=(k+1)+1, ∴当 n=k+1 时,不等式成立,则上述证法( A.过程全部正确 B.n=1 验得不正确 C.归纳假设不正确 D.从 n=k 到 n=k+1 的推理不正确 解析 在 n= k+1 时,没有应用 n=k 时的假设,不是数学归纳法. 答案 D 4.用数学归纳法证明“n3+(n+1)3+(n+2)3(n∈N*)能被 9 整除”,要利用归纳假设证 n=k +1 时的情况,只需展开( A.(k+3)3 1 ). ). B.(k+2)3 C.(k+1)3 D.(k+1)3+(k+2)3 解析 假设当 n=k 时,原式能被 9 整除,即 k3+(k+1)3+(k+2)3 能被 9 整除. 当 n=k+1 时,(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3 为了能用上面的归纳假设,只需将(k+3)3 展开, 让其出现 k3 即可. 答案 A n4+n2 5.用数学归纳法证明 1+2+3+?+n = ,则当 n=k+1 时左端应在 n=k 的基础上 2 2 加上( A.k2+1 ). B.(k+1)2 ?k+1?4+?k+1?2 C. [来源:学.科.网] 2 D.(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+?+(k+1)2 解析 ∵当 n=k 时,左侧=1+2+3+?+k2, 当 n=k+1 时, 左侧=1+2+3+?+k2+(k2+1)+?+(k+1)2, ∴当 n=k+1 时,左端应在 n=k 的基础上加上(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+?+(k+1)2. 答案 D 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 6.若 f(n)=12+22+32+?+(2n)2,则 f(k+1)与 f(k)的递推关系式是________. 解析 ∵f(k)=12+22+?+(2k)2, ∴f(k+1)=12+22+?+(2k)2+(2k+1)2+(2k+2)2; ∴f(k+1)=f(k)+(2k+1

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