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广东省深圳市罗湖区翠园中学2014-2015学年高二下学期期末复习数学文科试卷3

翠圆中学高二下学期期末文科数学复习题六
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项符合题目要求.
1.集合 A ? {1, 2}, B ? {2, 4},U ? {1, 2,3, 4} ,则 ? U ( A ? B) ? A. {2} 2.复数 B. {3} C. {1, 2,3} D. {1, 4}

1? i 的实部是 i
B. ? 1 C. 1 D. i

A. ? i

3.抛物线 y ? x2 的焦点坐标为 A. ( , 0)

1 4

B. ( , 0)

1 2

C. (0, )

1 2

D. (0, )
城市 有冰箱 无冰箱 农村

1 4

4.某地共有 10 万户家庭,其中城市住户与农村住户之比 为 4 : 6 ,为了落实家电下乡政策,现根据分层抽样的方法, 调查了该地区 1000 户家庭冰箱拥有情况,调查结果如右表, 那么可以估计该地区农村住户中无冰箱总户数约为 A. 1.6 万户 5. x ? 1 是 | x | ? B. 1.76 万户 C. 0.24 万户

356(户) 440(户) 44(户) 160(户)

D. 4.4 万户

1 的 x
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充要条件 6.下列函数中,周期为 1 的奇函数是 A. y ? 1 ? 2sin C. y ? tan
2

?x

B. y ? sin ? x cos ? x D. y ? sin(2? x ?

?
2

x

?
3

)

7.设 m 、 n 是两条直线, ? 、 ? 是两个不同平面,下列命题中正确的是 A.若 m ? ? , n ? ? , m ? n ,则 ? ? ? C.若 ? ? ? , ? ? ? ? m, m ? n ,则 n ? ? B.若 ? ? ? , m ? ? , n // ? ,则 m ? n D.若 ? // ? , m ? ? , n // ? ,则 m ? n

8.点 P (a, b) 关于 l : x ? y ? 1 ? 0 对称的点仍在 l 上,则 a ? b ? A. ? 1 B. 1 C. 2 D. 0
开始

S ?1 i ?3

9.已知如右程序框图,则输出的 i 是 A. 9 C. 13 B. 11 D. 15

10.为加强食品安全管理,某市质监局拟招聘专业技术人员 x 名, 行政管理人员 y 名,若 x 、 y 满足 ? 则 z ? 3x ? 3 y 的最大值为 A. 4 C. 18 B. 12 D. 24

?y ? x , ? y ? ?x ? 4

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.
(一)必做题(11~13 题) 11.在等比数列 {an } 中,公比 q ? 2 ,前 3 项和为 21,则 a3 ? a4 ? a5 ? 12.设 a, b 都是单位向量,且 a 与 b 的夹角为 60 ? ,则 | a ? b | ? 13.比较大小: lg9 ? lg11 . .

? ?

?

?

? ?

1 (填“ ? ” , “ ? ”或“ ? ” )

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题;如果二题都做,则按第 14 题评分) 14. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,点 M (2, 距离为 .

?

? 2 ) 到直线 l : ? sin(? ? ) ? 的 3 4 2
O

C

15. (几何证明选讲选做题)如图,已知 OA ? OB ? OC, ?ACB ? 45? , 则 ?OBA 的大小为 .

A

B

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演

算 步骤.
16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin(2 x ?

y

?
3

)
?
3 ? 7? 12 5? 6

(1)在给定的坐标系内,用五点法画出 函数 y ? f ( x) 在一个周期内的图象;
?
6

3 ? (2)若 f ( x) ? ? , x ? (0, ) ,求 5 2
sin 2 x 的值.

O

?
12

?
2

?

x

17. (本小题满分 12 分) 口袋中装有质地大小完全的 5 个球,编号分别为 1,2,3,4,5,甲、乙两人玩一种游戏: 甲先摸一个球,记下编号,放回后乙再摸一个球,记下编号.如果两个编号的和为偶数就 算甲 胜,否则算乙胜. (1)求甲胜且编号的和为 6 的事件发生的概率; (2)这种游戏规则公平吗?说明理由.

18. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C 的两个焦点为 F 1 (?1,0) , F 2 (1,0) ,点 A(1, (1)求椭圆 C 的方程; (2)已知点 B(2, 0) ,设点 P 是椭圆 C 上任一点,求 PF 1 ? PB 的取值范围.

2 ) 在椭圆 C 上. 2

??? ? ??? ?

19. (本小题满分 14 分) 如图,矩形 ABCD 中, AD ? 平面 ABE, AE ? EB ? BC ? 2, D

C G

F

F 为 CE 上的点,且 BF ? 平面 ACE , BD ? AC ? G.
(1)求证: AE ? 平面 BCE ; (2)求证: AE // 平面 BFD ; (3)求三棱锥 E ? ADC 的体积.

20. (本小题满分 14 分) 已知各项都不为零的数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)求证:

1 an an ?1 (n ? N *) , a1 ? 1. 2

1 1 1 1 7 ? 2 ? 2 ??? 2 ? . 2 a1 a2 a3 an 4

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 3x.
3

(1)求曲线 y ? f ( x) 在点 x ? 2 处的切线方程; (2)若过点 A(1, m) (m ? ?2) 可作曲线 y ? f ( x) 的三条切线,求实数 m 的取值范围.

数学(文科)参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.

题号 答案

1 B

2 C

3 D

4 A

5 A

6 B

7 D

8 A

9 C

10 B

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能 选做一题,两题全答,只计算前一题得分. 11.

84

12.

3

13. ?

14.

6 2

15. 45 ?

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.解: (1)列表:

x
2x ?

?

?
6

? 12

? 3

7? 12 3? 2
?1

5? 6
2?
0
??????????????2 分

?
3

0
0

? 2
1

?
0

f ( x)

y
1
7?

描点,连线,得 y ? f ( x) 在一个周期 内的图象。如右图所示.????5 分 (2)由已知得 sin(2 x ? ∵0 ? x ?
?

5? 6

12

?
6

O
?1

?
12

?
3

x

?
2

3 )?? ?0 3 5 ? ? 4? ∴ ? 2x ? ? 3 3 3

?

??????6 分

(描 5 个点正确给 1 分, 图象基本正确给 2 分)

∴ cos(2 x ?

?

? 3 4 ) ? ? 1 ? sin 2 (2 x ? ) ? ? 1 ? (? ) 2 ? ? ??????????8 分 3 3 5 5
? ?

sin 2 x ? sin[(2 x ? ) ? ] 3 3


? sin(2 x ? ) cos ? cos(2 x ? ) sin 3 3 3 3 3 1 4 3 4 3 ?3 ?? ? ? ? ? 5 2 5 2 10

?

?

?

?

??????????????10 分

??????????????12 分

17.解: (1)设“甲胜且两个编号的和为 6”为事件 A .甲编号 x ,乙编号 y , ( x, y ) 表示一个 基本事件,则两人摸球结果包括(1,1) , (1,2) ,??, (1,5) , (2,1) , (2,2) ,??, (5,4) , (5,5)共 25 个基本事件;?????????????????????????1 分

A 包含的基本事件有(1,5) , (2,4) , (3,3) , (4,2) , (5,1)共 5 个

????3 分

所以 P( A) ?

5 1 ? 25 5

??????????????????????????4 分

答:编号之和为 6 且甲胜的概率为 (2)这种游戏不公平.

1 。 5

?????????????5 分

设“甲胜”为事件 B , “乙胜”为事件 C .甲胜即两编号之和为偶数所包含基本事件数为以下 13 个: (1,1) , (1,3) , (1,5) , (2,2) , (2,4) , (3,1) , (3,3) , (3,5) , (4,2) , (4, 4) , (5,1) , (5,3) , (5,5) 所以甲胜的概率为 P ( B ) ? ????????????????????????7 分

13 ,????????????????????????9 分 25 13 12 ? 乙胜的概率为 P (C ) ? 1 ? ,?????????????????????11 分 25 25
∵ P( B) ? P(C ) ,∴这种游戏规则不公平.

x2 y 2 18.解: (1)设椭圆 C 的方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ?????????????1 分 a b
由椭圆定义, 2a ?| AF1 | ? | AF2 |? (1 ? 1)2 ? ( ∴ a ? 2,

2 2 2 ) ? (1 ? 1)2 ? ( )2 ? 2 2 ??4 分 2 2

2 2 2 .???????????????????5 分 ? c ? 1 ,?b ?a ?c ? 1

故所求的椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1. 2

?????????????????????6 分

(2)设 P( x, y). PF 1 ? (?1 ? x, ? y), PB ? (2 ? x, ? y) ??????????????7 分
2 2 2 ∴ PF 1 ? PB ? (?1 ? x, ? y) ? (2 ? x, ? y) ? (?1 ? x)(2 ? x) ? y ? x ? x ? 2 ? y ????9 分

????

??? ?

???? ??? ?

∵点 P 在椭圆上,∴ y ? 1 ?
2

x2 ???????????????????????10 分 2

∴ PF1 ? PB ? ∵? 2 ? x ?

???? ??? ?

1 2 1 3 x ? x ? 1 ? ( x ? 1) 2 ? 2 2 2

2

???????????????????????????12 分

???? ??? ? 3 1 ? (? 2) 2 ? 2 ? 1 ? 2 ; x ? ? 2 , PF 1 ? PB 有最大值 2 2 ? ???? ??? ? 3 ???? ??? 3 [? , 2] ??????????14 分 ∴ ? ? PF1 ? PB ? 2 ,∴ PF 1 ? PB 的范围是 2 2
? ∴ x ? 1, PF 1 ? PB 有最小值

???? ??? ?

19. (1)证明:∵ AD ? 平面 ABE , AD // BC ,∴ BC ? 平面 ABE ,∴ AE ? BC . ??2 分 又∵ BF ? 平面 ACE , ∴ BF ? AE , ∵ BC ? BF ? B ,∴ AE ? 平面BCE ??????????????????4 分

(2)证明:连结 GF ,∵ BF ? 平面 ACE ,∴ BF ? CE ∵ BE ? BC , ∴ F 为 EC 的中点;∵矩形 ABCD 中, G 为 AC 中点, ∴ GF // AE . ???????????????????????????7 分 ∴ AE // 平面 BFD . ?????????????9

∵ AE ? 面BFD,GF ? 面BFD , 分

(3)解:取 AB 中点 O ,连结 OE ,∵ AE ? EB ,∴ OE ? AB ∵ AD ? 平面 ABE ,∴ OE ? AD ∴ OE ? 平面ADC ???????????11 分

∵ AE ? 平面 BCE ,∴ AE ? EB ,∴ AB ? ∴ OE ?

AE 2 ? BE 2 ? 2 2 ???????12 分

1 AB ? 2 2

故三棱锥 E ? ADC 的体积为

1 1 1 4 VE ? ADC ? S△AdC ? OE ? ? ? 2 ? 2 2 ? 2 ? ?????14 分 3 3 2 3 1 1 20. (1)∵ S n ? an an ?1 ① ∴ S n ?1 ? an ?1an (n ? 2) ② 2 2 1 ① ? ②得 an ? S n ? S n ?1 ? (an ?1 ? an ?1 )an ?????????????????2 分 2
∵ an ? 0 ,∴ an?1 ? an?1 ? 2 ???????????????????????3 分

数列 {an } 的奇数项组成首项为 a1 ,公差为 2 的等差数列,偶数项组成首项为 a2 , 公差为 2 的等差数列 ∵ a1 ? 1, ∴ a2 ? ???????????????????????5 分 ∴ a2n?1 ? 1 ? (n ?1) ? 2 ? 2n ?1 ????????6 分

S1 ?2 1 a1 2

a2n ? 2 ? (n ?1) ? 2 ? 2n

?????????????????????7 分

∴数列 {an } 的通项公式为 an ? n. (n ? N*) ; (2)证明:当 n ? 3 时,

1 1 1 1 1 ? 2? ? ? 2 an n (n ? 1)n (n ? 1) n

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? 2 ?? ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ?? ? 2 ? 1? ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? 2 a1 a2 a3 an 1 2 3 n 4 2 3 3 4 (n ? 1) n ? 7 1 7 ? ? 4 n 4
??????????????12 分

当 n ? 1 时,

1 7 1 1 5 7 ? 1 ? ; 当 n ? 2 时, 2 ? 2 ? ? ;?????????13 分 2 a1 4 a1 a2 4 4
???????????????????14 分



1 1 1 1 7 ? 2 ? 2 ??? 2 ? 2 a1 a2 a3 an 4

21.解(1) f ?( x) ? 3x2 ? 3, f ?(2) ? 9, f (2) ? 23 ? 3 ? 2 ? 2

????????2 分

∴曲线 y ? f ( x) 在 x ? 2 处的切线方程为 y ? 2 ? 9( x ? 2) ,即 9 x ? y ? 16 ? 0 ;??4 分 (2)过点 A(1, m) 向曲线 y ? f ( x) 作切线,设切点为 ( x0 , y0 ) 则 y0 ? x03 ? 3x0 , k ? f ?( x0 ) ? 3x02 ? 3. 则切线方程为 y ? ( x03 ? 3x0 ) ? (3x02 ? 3)( x ? x0 ) ???????????????6 分 整理得 2x03 ? 3x02 ? m ? 3 ? 0 (*) ∵过点 A(1, m) (m ? ?2) 可作曲线 y ? f ( x) 的三条切线 ∴方程(*)有三个不同实数根. 记 g ( x) ? 2x ? 3x ? m ? 3, g ?( x) ? 6x ? 6x ? 6x( x ?1)
3 2 2

令 g ?( x) ? 0, x ? 0 或 1.

?????????????????????10 分

则 x, g ?( x), g ( x) 的变化情况如下表

x
g ?( x)

(??, 0)

0 0
极大

(0,1)

1

(1, ??)

?
?

?
?

0
极小

?
?
????????12 分

g ( x)

当 x ? 0, g ( x) 有极大值 m ? 3; x ? 1, g ( x) 有极小值 m ? 2 . 由 g ( x) 的简图知,当且仅当 ?

? g (0) ? 0 ?m ? 3 ? 0 ,即? , ? 3 ? m ? ?2 时,函数 g ( x) 有三个不 ? g (1) ? 0 ?m ? 2 ? 0

同零点,过点 A 可作三条不同切线.

所以若过点 A 可作曲线 y ? f ( x) 的三条不同切线, m 的范围是 (?3, ?2) .?????14 分