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惠州一中2011级高二第一学期理科数学期末练习2

惠州一中 2011 级高二第一学期理科数学期末练习 2
一、选择题:本大题共 8 个小题,每小题 4 分,共 32 分. 1. 下列叙述随机事件的频率与概率的关系中哪个是正确的 A.频率就是概率 B.频率是客观存在的,与试验次数无关 C.随着试验次数的增加,频率一般会越来越接近概率 D.概率是随机的,在试验前不能确定 2.对总数为 N 的一批零件用简单随机抽样方法抽取一个容量为 30 的样本,若每个零件被抽到的概率为 0.25,则 N 的值为 A.100 B.120 C.150 D. 200 3. 右边的程序运行后输出的结果是 S=1 A. 16 B. 32 i =1 C. 64 D. 128 DO

S=2*S
i = i+1 LOOP UNTIL i ? 6 PRINT S END D.

4. 先后抛掷一 枚质地均匀的硬币两次,则至少一次正面朝上的概率为 A.

3 4

B.

1 2

C.

1 4

2 3

5. 从已编号为 1~50 的 50 枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取 5 枚来进行发射试验, 若采用每部分 选取的号码间隔一样的系统抽样方法,则所选取 5 枚导弹的编号可能是 A. 5,10,15,20,25 B. 3,13,23,33,43 C. 3,6,12,24,48 D. 8,16,24,32,40
6 5 4 3 2 6. 用秦九韶算法计算多项式 f ( x) ? 3x ? 5x ? 6 x ? 79 x ? 8x ? 35x ? 12 在 x ? ?4 时的值时, v 2 的

值为 A. -57 B. -22 C. 34 D. 74 7. 从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋中任取 2 个球,那么互斥而不对立的事件是 A.至少一个黑球与都是黑球 B.至少一个黑球与至少一个红球 C.至少一个黑球与都是红球 D.恰有一个黑球与恰有两个黑球 8. 某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表 广告费用 x(万元) 销售额 y(万元) 4 49 2 26 3 39 5 54

? ? ? ? 根据上表可得回归方程 y ? bx ? a 中的 b 为 9.4,据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额为
A.63.6 万元 B.65.5 万元 C.67.7 万元 D.72.0 万元 二、填空题:本大题共6个小题,每小题 4 分,共 24 分,请把答案的最简形式填在横线上. 9. 在如图所示的茎叶图中,甲、乙两组数据的 中位数分别是__________、___________. 甲 乙 8 9 1 2 5 7 8 5 6
第 1 页 共 8 页

来源:www.shulihua.net]

2 3 4 5 6

9 4 5 8 2 6 3 5 7

10. 将二进制数 110011(2)化为五进制数,结果为___________(5). 11. 已知一个样本数据:1,3,2,5,x,它的平均数是 3,则这个样本的标准差是______. 12. 读程序,该程序表示的函数是_________.

INPUT x IF x<1 THEN y = x+1 ELSE y = –x+1 END IF PRINT y END

13. 甲、乙两人下棋,甲获胜的概率为

1 1 ,两人下成和棋的概率为 ,则乙不输的概率为______. 3 2

14. 利用随机模拟方法计算如右图中阴影部分( y ? 1 和 y ? x2 所围成的部分)的面积 S 时,若向矩形 ABCD 内随机撒 1000 粒豆子, 落在阴影区域内的有 698 粒,由此可得 S 的近似值 为 .

y
1

D

C

A

O

B

x

三、解答题:本大题共 4 个小题,共 44 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 15.(本题满分 10 分) 从某小学随机抽取 100 名学生, 将他们的身高 (单位: 厘米) 按照区间 [ 100 , 110) [ 110 , 120) [ 120 , , , 130) ,[130 ,140) , [140 , 150] 进行分组,得到频率分布直方图(如图). (Ⅰ)求直方图中 a 的值; (Ⅱ)若要从身高在[ 1 20 , 130) ,[130 ,140) , [140 , 150] 三组内的学生中,用分层抽样的方法选取 18 人参加一项活动,求从身高在[140 ,150]内的学生中应选取的人数; (Ⅲ)这 100 名学生的平均身高约为多少厘米?

16.(本题满分10分) 下面有两个关于“袋子中装有红、白两种颜色的相同小球,从袋中无放回地取球”的游戏规则,这两个

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游戏规则公平吗?为什么? 游 戏 1 2个红球和2个白球 取1个球,再取1个球 取出的两 个球同色→甲胜 取出的两个球不同色→乙胜 游 戏 2 3个红球和1个白球 取1个球,再取1个球 取出的两个球同色→甲胜 取出的两个球不同色→乙胜

17.(本小题满分12分) 如图是一个计算 n (n ? N ? ) 个数 2,

3 4 5 n ?1 , , , ?, 的和的程序框图,请完成该图的程序框: 2 3 4 n

(I)请在图中判断框内(1)处和执行框中的(2)处填上合适的语句,使之能完成该题算法功能; (II)根据程序框图写出程序. 开 始 输入 n i=1 S=0

i = i+1 (2) (1) 否 输出 S 结 束 18.(本小题满分12分) 设函数 f ( x) ? x ? 2ax ? b ? 4 .
2 2



(Ⅰ)若 a 是从-2、-1、0、1、2 五个数中任取的一个数, b 是从 0、1、2 三个数中任取的一个数, 求函数 f ( x ) 无零点的概率; (Ⅱ)若 a 是从区间[-2,2]任取的一个数,b 是从区间[0,2]任取的一个数,求函数 f ( x ) 无零点的概率.
第 3 页 共 8 页

20.(本小题满分 12 分) 已知 f ( x) ?

sin(

5? ? x) 2 ? sin( x ? ? ) ? cos(? ? x).

cos( x ? ) 2
(Ⅰ )当 tan(? ? x) ? ?2 时,求 f ( x ) 的值; (Ⅱ 指出 f ( x ) 的最大值与最小值,并分别写出使 f ( x ) 取得最大值、最小值的自变量 x 的集合. )

?

21.(本小题满分 13 分) 如图,在三棱锥 S-ABC 中,∠ SAB=∠ SAC=∠ ABC=90°,SA=AB,SB=BC. (Ⅰ )证明:平面 SBC⊥ 平面 SAB; (Ⅱ )求二面角 A-SC-B 的平面角的正弦值.

S

A

C

B 22.(本小题满分 13 分) 已知圆 C 的圆心在直线 y ? ?2 x 上,并且与直线 x ? y ? 1 相切于点 A(2,-1). (Ⅰ )求圆 C 的方程; (Ⅱ )从圆 C 外一点 M 引圆 C 的切线 MN,N 为切点,且 MN=MO(O 为坐标原点) ,求 MN 的最小值.

惠州一中 2011 级高二第一学期理科数学期末练习 2 参考答案
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一、选择题 题号 答案 二、填空题 9. 45;46 12. y ? ? 10. 201 13. 11. 1 C 2 B 3 C A 4
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5 B

6 C

7 D

8 B

2

? x ? 1, x ? 1, ?? x ? 1,x ? 1.

2 3

14. 1.396

三、解答题 15.解: )由直方图可知,第三个小矩形的面积为 (Ⅰ

[来源:www.shulihua.net]

1 ? (0.005? 0.035? 0.02 ? 0.01) ? 10 ? 0.3 所以 a ? 0.3 ? 10 ? 0.03

……2 分 ……3分

(Ⅱ )身高在[ 120 , 130) ,[130 ,140) , [140 , 150] 三组内的学生人数比为3:2:1,用分层抽样的 方 法 选 取 18 人 参 加 活 动 , 从 身 高 在 [140 , 150] 内 的 学 生 中 应 选 取 的 人 数 为 :

18 ?

1 ? 3. 3 ? 2 ?1

……6 分

(Ⅲ )这 100 名学生的平均身高约为:

105 ? 0.05 ? 115 ? 0.35 ? 125 ? 0.3 ? 135 ? 0.2 ? 145 ? 0.1 ? 124 .5 (厘米) ……10 分
16.解:游戏1:从2个红球和2个白球中,取1个球,再取1个球,基本事件共有12个. “取出的两个球同色”包含的基本事件有4个. ……3分 所以P(甲胜)=

1 2 1 ,P(乙胜)=1- = . 3 3 3

因此规则是不公平的. ……5分 游戏2:从3个红球和1个白球中,取1个球,再取1个球,基本事件共有12个. “取出的两个球同色”包含的基本事件有6个. 所以P(甲胜)= ……8分

1 1 1 ,P(乙胜)=1- = . 2 2 2
……10分 …………………………………………3分 …………………………………………6分

因此规则是公平的. 17. (I)(1)处应填写: i ? n ? (2)处应填写: s ? s ? (II)程序:

i ?1 i

………………………………………………8分
[来源:www.shulihua.net]

………………………………………………11分 ………………………………………………12分

第 5 页 共 8 页

18.解:

函数f ( x) ? x 2 ? 2ax ? b 2 ? 4无零点 ? 方程x 2 ? 2ax ? b 2 ? 4 ? 0无实根 ? a 2 ? b 2 ? 4
记事件 A 为 函数( x) ? x 2 ? 2ax ? b 2 ? 4无零点.

………………2 分

(Ⅰ )基本事件共有 15 个: (-2,0)(-2,1)(-2,2)(-1,0)(-1,1)(-1,2)(0, , , , , , , 0) (0,1) (0,2) (1,0) (1,1) (1,2) (2,0) (2,1) (2, , , , , , , , , 2). ………………4 分 事件 A 包含 6 个基本事件. … ………5 分 所以 P(A)=

6 2 ? . 15 5

…………6 分

[来源:Z+X+X+K]

b

(Ⅱ )如图,试验的全部结果所构成的区域为

?,…………8 分 ? ? ?(a, b) | ?2 ? a ? 2,  b ? 2  0?
事件 A 所构成的区域为

2

A ? (a, b) | a 2 ? b 2 ? 4, 且(a, b) ? ? ?,…………10 分
即图中的阴影部分. 所以 P( A) ?

?

-2

O

2

a

S A 2? ? ? ? . S? 8 4

…………12 分

19. 解: )由 ? (Ⅰ

?1 ? x ? 0 , ?1 ? x ? 0
? ?1 ? x ? 1

……………………2 分

? x ? ?1 ?? ?x ? 1

……………………3 分

∴ 函数 f ( x ) 的定义域为 ?x | ?1 ? x ? 1 ?.

……………………4 分

(Ⅱ )函数 f ( x ) 的定义域为 ?x | ?1 ? x ? 1 ?, ∵ f (? x) ? log2 [1 ? (? x)] ? log2 [1 ? (? x)]

? l o g(1 ? x) ? l o g(1 ? x) 2 2 ? f ( x)
∴函数 f ( x) ? log 2 (1 ? x) ? log 2 (1 ? x) 是偶函数. (Ⅲ )

……………………8 分

……………………9 分

第 6 页 共 8 页

2 2 2 ) ? log2 (1 ? ) ? log2 (1 ? ) 2 2 2 2 2 ? log2 [(1 ? )(1 ? )] 2 2 1 ? log2 (1 ? ) 2 1 ? log2 2 ? ?1 f(
……………………12 分 20.解: (Ⅰ )

5? ? x) cos x 2 f ( x) ? ? sin( x ? ? ) ? cos(? ? x) ? ? (? sin x) ? (? cos x) ? cos 2 x ? sin x cos( x ? ) 2 sin(
……………………3 分 由 tan(? ? x) ? ?2 ,得 tan x ? ?2 . ……………………4 分

所以 f ( x) ? cos x ?
2

1 1 ? . 2 1 ? tan x 5

……………………6 分

(Ⅱ )因为 f ( x) ? cos2 x ,所以 f ( x ) 的最大值为 1,最小值为 0. ……………………8 分 当 f ( x) ? 1 时, cos x ? ?1 ,此时 x ? k? , k ? Z . 所以使 f ( x ) 取得最大值的自变量 x 的集合为 ?x | x ? k? , k ? Z? . ……………………10 分 当 f ( x) ? 0 时, cos x ? 0 ,此时 x ? k? ?

?
2

,k ?Z .

所以使 f ( x ) 取得最小值的自变量 x 的集合为 ? x | x ? k? ?

? ?

?

? ,k ?Z ?. 2 ?

……………………12 分 21. 解: )平面 SBC⊥ (Ⅰ 平面 SAB.理由如下: 因为∠ SAB=∠ SAC=90°, 所以 SA⊥ AB,SA⊥ AC, 所以 SA⊥ 底面 ABC. ………………………………2 分 又 BC 在平面 ABC 内,所以 SA⊥ BC. 又 AB⊥ BC,所以 BC⊥ 平面 SAB. ………………………………4 分 因为 BC 在平面 SBC 内,所以平面 SBC⊥ 平面 SAB. ………6 分

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(Ⅱ )作 AD⊥ SB,垂足为 D. 由(Ⅰ )知平面 SBC⊥ 平面 SAB, 则有 AD⊥ 平面 SBC. 作 AE⊥ SC,垂足为 E,连结 DE, 则∠ 为二面角 A-SC-B 的平面角. AED

S …………8 分 ………10 分 D A C E

设 SA=AB=2,则 SB=BC = 2 2 ,AD= 2 , AC= 2 3 ,SC=4,可求得 AE= 3 .

B

Rt?ADE中, ?AED= sin

AD 2 6 = = , AE 3 3
6 .……13 分 3

所以二面角 A-SC-B 的平面角的正弦值为

22.解: (1)与直线 x ? y ? 1 相切于点 A(2,-1)的圆的圆心在经过点 A 且与直线 x ? y ? 1 垂直的直线 上,该直线的方程是 x ? y ? 3 . 又所求圆的圆心在直线 y ? ?2 x 上,解方程组 …………2 分

?x ? y ? 3 ? 0 ? ?2 x ? y ? 0
得 x=1,y=-2. 所以圆心 C 的坐标是(1,-2).
2 2 因为|AC|= ( 2 ? 1) ? ( ?1 ? 2) ?

…………4 分

2,

…………5 分

所以所求圆的方程为 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 2. …………6 分
2 2 2 2 (2)设 M(x,y) ,则 MO= x ? y ,MN= ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 2 ,

由 MN=MO,得 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 ,
2 2 2 2 MN=MO= x ? y = (2 y ? ) ? y ?

…………8 分

3 2

5y2 ? 6y ?

9 3 9 ? 5( y ? ) 2 ? . 4 5 20
…………11 分

当y??

3 3 3 3 5 3 5 . 因此,MN 的最小值为 . 此时点 M 的坐标为 ( , ? ) . 时,MN= 5 10 5 10 10
…………13 分

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