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正弦定理、余弦定理知识点


正弦定理、余弦定理
讲师:王光明

【基础知识点】
1. 三角形常用公式:A+B+C=π ;S=

1 1 1 ab sin C= bc sin A== ca sin B; 2 2 2

2.三角形中的边角不等关系: A>B ? a>b,a+b>c,a-b<c; ; 3. 【正弦定理】 :

a b c = = =2R(外接圆直径) ; sin A sin B sin C

?a ? 2 R sin A ? 正弦定理的变式: ?b ? 2 R sin B ; ?c ? 2 R sin C ?
4.正弦定理应用范围: ①已知两角和任一边,求其他两边及一角. ②已知两边和其中一边对角,求另一边的对角.

a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C.

③几何作图时,存在多种情况.如已知 a、b 及 A,求作三角形时,要分类讨论,确定解的个数. 已知两边和其中一边的对角解三角形,有如下的情况: (1)A 为锐角
C C C b a b a a b A B A a

B2

B1

A

B

a=bsin A
一解 (2)A 为锐角或钝角 当 a>b 时有一解. 5. 【余弦定理】

bsin A<a<b
两解

a?b
一解

a2=b2+c2-2bccosA.c2=a2+b2-2abcosC.b2=a2+c2-2accosB.

若用三边表示角,余弦定理可以写为



1

6.余弦定理应用范围: (1)已知三角形的三条边长,可求出三个内角; (2)已知三角形的两边及夹角,可求出第三边.

【习题知识点】
知识点 1 运用判断三角形形状

例题 1 在△ABC 中已知 acosB=bcosA,试判断△ABC 的形状.
【分析】利用正弦定理或余弦定理判断三角形形状,可以将三角形中的边用角表示,也可将角用边来表示.从中 找到三角形中的边角关系,判断出三角形的形状. 【解析】 解法 1: 由扩充的正弦定理:代入已知式 2RsinAcosB=2RsinBcosA sinAcosB-cosAsinB=0 , sin(A-B)=0 A-B=0 ∴A=B 即△ABC 为等腰三角形 解法 2: 由余弦定理: a ? a ? c ? b ? b ? b ? c ? a
2 2 2 2 2 2

即△ABC 为等腰三角形.

2ac

2bc

a2 ? b2

∴ a?b

知识点 2

运用正、余弦定理解三角形

解三角形问题中正、余弦定理的选择: (1)在下述情况下应首先使用余弦定理: ①已知三条边(边边边),求三个角; ②已知两边和它们的夹角(边角边),求其它一边和两角; (2)在下述情况下应首先使用正弦定理: ①已知两边和一边的对角(边边角),求其它一边和两角; ②已知两角和任一边(角角边、角边角),求其它两边和一角.

例题 2

在△ABC 中,已知 a ? 3 , b ? 2 ,B=45? 求 A、C 及 c.

【分析】在解斜三角形应用过程中,注意要灵活地选择正弦定和余弦定理,解得其它的边和角 【解析】 解法 1: 由正弦定理得: sin A ?

a sin B 3 sin 45 ? 3 ? ? b 2 2
∴A=60?或 120?

∵B=45?<90? 即 b<a

b sin C ? 当 A=60?时 C=75? c ? sin B

2 sin 75 ? ? sin 45 ?

6? 2 2

2

当 A=120?时 C=15?

b sin C 2 sin 15 ? c? ? ? sin B sin 45 ?

6? 2 2

解法 2: 设 c=x 由余弦定理 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B 将已知条件代入,整理: x ? 6 x ? 1 ? 0 解之: x ?
2

6? 2 2

当c ?

b2 ? c2 ? a2 6? 2 时 cos A ? ? 2 2bc

2?(

6? 2 2 ) ?3 1? 3 ? 2 从而 A=60? ,C=75? ? ? 6? 2 2( 3 ? 1) 2 2? 2 ? 2

当c ?

6? 2 时同理可求得:A=120? 2

C=15?.

知识点 3

解决与三角形在关的证明、计算问题

例题 3

已知 A、B、C 为锐角,tanA=1,tanB=2,tanC=3,求 A+B+C 的值.

【分析】本题是要求角,要求角先要求出这个角的某一个三角函数值,再根据角的范围确定角.本题应先求出 A+B 和 C 的正切值,再一次运用两角和的正切公式求出 A+B+C. 【解析】? A、B、C为锐角

? 0° ? A ? B ? C ? 270°

又 tan A ? 1, tan B ? 2,由公式可得

tan( A ? B) ?

tan A ? tan B 1? 2 ? ? ?3 1 ? tan A ? tan B 1 ? 2

t a nA ( ? B ? C) ? t a n( ? A ? B) ? C ?
所以 A+B+C=π

?

t a nA ( ? B) ? t a n C 1 ? t a nA ( ? B) ? t a n C

?

?3 ? 3 1 ? ( ?3) ? 3

=0

知识点 4

求三角形的面积

例题 4

△ABC 中,D 在边 BC 上,且 BD=2,DC=1,∠B=60o,∠ADC=150o,

求 AC 的长及△ABC 的面积.
【解析】在△ABC 中,∠BAD=150o-60o=90o,∴AD=2sin60o= 3 . 在△ACD 中,AD2=( 3 )2+12-2× 3 × 1× cos150o=7,∴AC= 7 .

A

B
3

2

D 1 C

∴AB=2cos60o=1. S△ABC=

1 3 × 1× 3× sin60o= 3. 2 4

知识点 4 解决实际为题

例题 4 如图,海中有一小岛,周围 3.8 海里内有暗礁。一军舰从 A 地出发由西向东航 行,望见小岛 B 在北偏东 75° ,航行 8 海里到达 C 处,望见小岛 B 在北端东 60° 。若 此舰不改变舰行的方向继续前进,问此舰有没有角礁的危险?

[来源:学§科§网 Z§X§X§K]

【解析】 : 过点 B 作 BD⊥AE 交 AE 于 D 由已知,AC=8,∠ABD=75° ,∠CBD=60° 在 Rt△ABD 中, AD=BD· tan∠ABD=BD· tan 75° 在 Rt△CBD 中, CD=BD· tan∠CBD=BD· tan60° ∴AD-CD=BD(tan75° -tan60° )=AC=8,…9 分 ∴ BD ?

8 ? 4 ? 3.8 tan 75 ? tan 60 0
0

4

【课堂训练题】
一、填空题
1.在 ?ABC 中,角 A : B : C ? 1: 2: 3 ,则边 a : b : c 等于 2.以 4 、 5 、 6 为边长的三角形一定是 3.在 ?ABC 中,若 b ? 2a sin B ,则角 A 等于 4.边长为 5, 7,8 的三角形的最大角与最小角的和是 5.在 ?ABC 中,若 a 2 ? b2 ? bc ? c 2 ,则角 A ? _________. 三角形 (填 锐角 直角 或 钝角)

【解析】
1.

A?

?
6

,B ?

?
3

,C ?

?
2

, a : b : c ? sin A : sin B : sin C ?

1 3 2 : : ? 1: 3 : 2 . 2 2 2

2. 由余弦定理得: cos ? ?

4 2 ? 52 ? 6 2 1 ? ? 0 ,且角 ? 最大, ∴最大内角为锐角. 2? 4?5 8

3. b ? 2a sin B,sin B ? 2sin A sin B,sin A ?

1 , A ? 30? ,或 150? . 2

4. 设中间角为 ? ,则 cos ? ?

52 ? 82 ? 7 2 1 ? ,? ? 60? ,180? ? 60? ? 120? 为所求. 2? 5?8 2

? 5. 120

cos A ?

b2 ? c2 ? a 2 1 ? ? , A ? 120? . 2bc 2

二、解答题
1. 在 ?ABC 中,若 (a ? b ? c)(b ? c ? a) ? 3bc ,求角 A

5

2.已知△ ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,其中 c ? 2 , 又向量 m ? (1 , cosC ) ,n ? ( cosC , 1) ,m·n=1. (1)若 A ? 45? ,求 a 的值; (2)若 a ? b ? 4 ,求△ ABC 的面积.

6

答案
1、解:依题意: (a ? b ? c)(b ? c ? a) ? 3bc, (b ? c) ? a ? 3bc,
2 2

从而得

b2 ? c 2 ? a 2 ? 3bc, cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 1 ? , A ? 60? 2bc 2

即:角 A=60

2、解:(1)∵mn ? cos C ? cos C ? 2 cos C ? 1



cos C ?

1 2

? 0? ? C ? 180?

∴ C ? 60?

a 2 ? 由正弦定理得, sin 45? sin 60? ,
a?


2 2 3

?

2 6 3

2 2 (2)∵ c ? 2 , ?C ? 60? , ?a ? b ? 2ab cos60? ? 4 ,

∴ a ? b ? ab ? 4 ,
2 2

又∵ a ? b ? 4 ,∴ a ? b ? 2ab ? 16 ,∴ ab ? 4 ,
2 2



S ?ABC ?

1 ab sin C ? 3 2 .

7


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