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2013年全国高考理科数学试题分类汇编——解析几何


2013 年全国高考理科数学试题分类汇编——解析几何

【直线与圆】
一、选择题 1 . (2013 上海春季)直线 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 的一个方向向量是

( D. (3, 【答案】D 2)



A. (2, 3) ?

B. (2, 3)

C. (?3, 2)

2 . (2013 新课标Ⅱ卷(理)已知点 A( ?1, 0), B (1, 0), C (0,1) ,直线 y

? ax ? b(a ? 0) 将△ ABC 分割为面积相等的两部
( )

分,则 b 的取值范围是 A. (0,1) B. (1 ?

2 1 , ) 2 2

( C) (1 ?

1 1 2 1 , ] D. [ , ) 【答案】B 2 3 3 2

3 . 2013 山东 数学(理) 过点 (3,1)作圆 (

( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 的两条切线,切点分别为 A , B ,则直线 AB 的方程为
( ) C. 4 x ? y ? 3 ? 0 D. 4 x ? y ? 3 ? 0 【答案】A ( )

A. 2 x ? y ? 3 ? 0

B. 2 x ? y ? 3 ? 0

4 . (2013 辽宁数学(理)已知点 O ? 0, 0 ? , A ? 0, b ? , B a, a

?

3

? .若? ABC 为直角三角形, 则必有
1 a
3

A. b ? a

3

B. b ? a ?
3

C. b ? a

?

3

??b ? a ? ?

3

1? ? ??0 a?

D. b ? a ? b ? a ?
3

1 ? 0 【答案】C a

5 . (2013 年高考江西卷(理) 如图,半径为 1 的半圆 O 与等边三角形 ABC 夹在两平行线, l1 , l2 之间 l // l1 , l 与半圆相交 )

? 于 F,G 两点,与三角形 ABC 两边相交于 E,D 两点,设弧 FG 的长为 x(0 ? x ? ? ) , y ? EB ? BC ? CD ,若 l 从 l1 平行
移动到 l 2 ,则函数 y ? f ( x) 的图像大致是

【答案】D 6 . (2013 年高考湖南卷(理)在等腰三角形 ABC 中, AB=AC ? 4, P 是边 AB 上异于 A, B 的一点,光线从点 P 出发, 点

经 BC , CA 发射后又回到原点 P (如图 1 ).若光线 QR 经过 ?ABC 的中心,则 AP 等

( A. 2
二、解答题



B. 1

C.

8 3

D.

4 【答案】D 3

7 . (2013 江苏卷(数学)本小题满分 14 分.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,3) ,直线 l : y ? 2 x ? 4 ,设圆 C 的

半径为 1,圆心在 l 上. (1)若圆心 C 也在直线 y ? x ? 1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的方程; (2)若圆 C 上存在点 M ,使 MA ? 2MO ,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围. y A O l

x

【答案】解:(1)由 ?

? y ? 2x ? 4 得圆心 C 为(3,2),∵圆 C 的半径为 1 ?y ? x ?1
2 2

∴圆 C 的方程为: ( x ? 3) ? ( y ? 2) ? 1 显然切线的斜率一定存在,设所求圆 C 的切线方程为 y ? kx ? 3 ,即 kx ? y ? 3 ? 0



3k ? 2 ? 3 k ?1
2

? 1 ∴ 3k ? 1 ? k 2 ? 1 ∴ 2k (4k ? 3) ? 0 ∴ k ? 0 或者 k ? ?

3 4

∴所求圆 C 的切线方程为: y ? 3 或者 y ? ?

3 x ? 3 即 y ? 3 或者 3x ? 4 y ? 12 ? 0 4

(2)解:∵圆 C 的圆心在在直线 l : y ? 2 x ? 4 上,所以,设圆心 C 为(a,2a-4) 则圆 C 的方程为: ( x ? a) ? ? y ? (2a ? 4)? ? 1
2 2
2 2 2 2 2 2 又∵ MA ? 2MO ∴设 M 为(x,y)则 x ? ( y ? 3) ? 2 x ? y 整理得: x ? ( y ? 1) ? 4 设为圆 D

∴点 M 应该既在圆 C 上又在圆 D 上 ∴ 2 ?1 ?
2
2

即:圆 C 和圆 D 有交点

a 2 ? ?(2a ? 4) ? ( ?1)? ? 2 ? 1

由 5a ? 8a ? 8 ? 0 得 x ? R 由 5a ? 12 a ? 0 得 0 ? x ?
2

12 5

终上所述, a 的取值范围为: ?0,

? 12 ? ? ? 5?

【圆锥曲线】
一、选择题 1 . (2013 年高考江西卷(理) 过点 ( 2,0) 引直线 l 与曲线 y ? 1 ? x 相交于 A,B 两点,O 为坐标原点,当 ? AOB 的面积 )
2

取最大值时,直线 l 的斜率等于 A. y ? EB ? BC ? CD
【答案】B 2 . (2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学(理)试题(纯 WORD 版) 双曲线 )

( B. ?



3 3

3 3

C. ?

3 3

D. ? 3

x2 ? y 2 ? 1 的顶点到其渐近线的距离 4
( )

等于 A.

2 5

B.

4 5

C.

2 5 5

D.

4 5 5

【答案】C

3 . (2013 广东省(理)已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为

F ? 3, 0 ?

3 ,离心率等于 2 ,在双曲线 C 的方程是(



x2 y 2 ? ?1 4 5 A.

x2 y 2 ? ?1 5 B. 4

x2 y 2 ? ?1 5 C. 2

x2 y 2 ? ?1 2 5 D. 【答案】B
( )

4. (2013 新课标(理)已知双曲线 C :

x2 y 2 5 ? 2 ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的离心率为 ,则 C 的渐近线方程为 2 a b 2
C. y ? ?

A. y ? ?

1 x 4

B. y ? ?

1 x 3

1 x 2

D. y ? ? x 【答案】C

5 . (2013 年高考湖北卷(理) 已知 0 ? ? ? )

?
4

,则双曲线 C1 :

x2 y2 y2 x2 ? 2 ? 1 与 C2 : 2 ? 2 ? 1的 cos2 ? sin ? sin ? sin ? tan 2 ?
( )A.实轴长相等

B.虚轴长相等 C.焦距相等 D.离心率相等【答案】D

y ? 1 的渐近线的距离是 6 . (2013 年高考四川卷(理) 抛物线 y ? 4 x 的焦点到双曲线 x ? ) 3
2

2

2





A.

1 2

B.

3 2

C. 1

D. 3 【答案】B

7 . (2013 浙江(理)如图, F1 , F2 是椭圆 C1 :

x2 ? y 2 ? 1 与双曲线 C 2 的公共焦点, A, B 分别是 C1 , C 2 在第二、四象限 4

的公共点.若四边形 AF1 BF2 为矩形,则 C 2 的离心率是

y A F1 O B (第 9 题图) F2 x

( C.



A. 2

B. 3

3 2

D.

6 【答案】D 2

8 . (2013 天津(理)已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两条渐近线与抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的准线分别交于 A, B 两 a 2 b2
( )

点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为 2, △AOB 的面积为 3 , 则 p = A.1 B.
3 2

C.2

D.3【答案】C

9 . (2013 大纲版(理)椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 的左、右顶点分别为 A1 , A2 ,点 P 在 C 上且直线 PA2 的斜率的取值范围是 4 3
( )

? ?2, ?1? ,那么直线 PA1 斜率的取值范围是
A. ? , ? 2 4

?1 3? ? ?

B. ? , ? 8 4
2

?3 3? ? ?

C. ? , 1?

?1 ? ?2 ?

D. ? , 【答案】B 1?

?3 ? ?4 ?

10. (2013 大纲版(理)已知抛物线 C : y ? 8 x 与点 M ? ?2, 2 ? ,过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A, B 两点,若

???? ???? MA?MB ? 0 ,则 k ? (

)A.

2 1 B. C. 2 D. 2 【答案】D 2 2
( )

x2 y2 11. (2013 北京(理)若双曲线 2 ? 2 ? 1 的离心率为 3 ,则其渐近线方程为 a b
A.y=±2x B.y= ? 2x C. y ? ?

1 x 2

D. y ? ?

2 x 【答案】B 2

12. (2013 山东(理)已知抛物线

C1

y?
:

1 2 x2 x ? y2 ? 1 C 2 p ( p ? 0) 的焦点与双曲线 C2 : 3 的右焦点的连线交 1 于第一
C2
的一条渐近线,则 p ? ( )

象限的点 M .若

C1

在点 M 处的切线平行于

3 A. 16

3 B. 8

2 3 C. 3

4 3 D. 3 【答案】D

13. (2013 年高考新课标 1(理) 已知椭圆 E : )

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F (3,0) ,过点 F 的直线交椭圆于 A, B a 2 b2
( )

两点.若 AB 的中点坐标为 (1, ?1) ,则 E 的方程为

x2 y 2 ? ?1 A. 45 36

x2 y 2 ? ?1 B. 36 27

x2 y 2 ? ?1 C. 27 18

x2 y2 ? ? 1 【答案】D D. 18 9

14. (2013 新课标Ⅱ卷(理)设抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,点 M 在 C 上,
2

MF ? 5 ,若以 MF 为直径的圆

过点 (0,2) ,则 C 的方程为( A. y 2 ? 4 x 或 y 2 ? 8 x C. y 2 ? 4 x 或 y 2 ? 16 x

) B. y 2 ? 2 x 或 y 2 ? 8 x D. y 2 ? 2 x 或 y 2 ? 16 x
【答案】C

15. (2013 上海春) 已知 A、 为平面内两定点,过该平面内动点 M 作直线 AB 的垂线,垂足为 N .若 MN ? ? AN ? NB , B

???? 2 ?

2

???? ??? ?

其中 ? 为常数,则动点 M 的轨迹不可能是 A.圆 B.椭圆 C.抛物线

( D.双曲线【答案】C

16 . 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 重 庆 数 学 ( 理 ) 试 题 ( 含 答 案 ) 已 知 圆 C1 : ? x ? 2 ? ? ? y ? 3? ? 1 , 圆 ( )
2

C2 : ? x ? 3? ? ? y ? 4 ? ? 9 , M , N 分别是圆 C1 , C2 上的动点, P 为 x 轴上的动点,则 PM ? PN 的最小值为
2 2


二、填空题

)A. 5 2 ? 4 B. 17 ? 1 C. 6 ? 2 2 D. 17 【答案】A

x2 y2 3 17. (2013 江苏卷(数学)双曲线 ? ? 1 的两条渐近线的方程为_____________.【答案】 y ? ? x 16 9 4
18. (2013 江西(理)抛物线 x ? 2 py ( p ? 0) 的焦点为 F,其准线与双曲线
2

x2 y 2 ? ? 1 相交于 A, B 两点,若 ?ABF 为等 3 3

边三角形,则 P ? _____________【答案】6
19. (2013 湖南卷(理)设 F1 , F2 是双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个焦点,P 是 C 上一点,若 PF 1 ? PF2 ? 6a, a 2 b2

? 且 ?PF1 F2 的最小内角为 30 ,则 C 的离心率为___.【答案】 3

20. (2013 上海(理)设 AB 是椭圆 ? 的长轴,点 C 在 ? 上,且 ?CBA ?

?
4

,若 AB=4, BC ?

2 ,则 ? 的两个焦点之间的距

离为________【答案】

4 6 . 3
2

21. (2013 安徽数学(理)已知直线 y ? a 交抛物线 y ? x 于 A, B 两点.若该抛物线上存在点 C ,使得 ?ABC 为直角,则

a 的取值范围为___ _____.【答案】 [1,??)
22. 2013 江苏卷(数学)抛物线 y ? x 在 x (
2

? 1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为 D (包含三角形内部与边界).
? ? 1? ?

若点 P( x, y ) 是区域 D 内的任意一点,则 x ? 2 y 的取值范围是__________.【答案】 ? ? 2, ? 2

23. (2013 江苏卷) 在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) ,右焦点为 F ,右准线为 l , a 2 b2
6d1 ,则椭圆 C 的离心率为

短轴的一个端点为 B ,设原点到直线 BF 的距离为 d1 , F 到 l 的距离为 d 2 ,若 d 2 ?

_______.【答案】

3 3

24. (2013 福建(理)椭圆 ? :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左.右焦点分别为 F1 , F2 ,焦距为 2c,若直线 y ? 3( x ? c) 与椭 a 2 b2

圆 ? 的一个交点 M 满足 ?MF1 F2 ? 2?MF2 F1 ,则该椭圆的离心率等于__________【答案】 3 ? 1
25. (2013 陕西卷(理) 双曲线 )

x2 y 2 5 ? ? 1 的离心率为 , 则 m 等于________.【答案】9 16 m 4

26. (2013 辽宁(理) 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F , C 与过原点的直线相交于 A, B 两点,连接 a 2 b2

AF , BF ,若 AB ? 10, AF ? 6, cos ? ABF ?
2

4 5 ,则 C 的离心率 e= ______.【答案】 5 7

27. (2013 上海春季)抛物线 y ? 8 x 的准线方程是_______________【答案】 x ? ?2 28. (2013 江苏卷 (数学) 在平面直角坐标系 xOy 中,设定点 A(a, a) , P 是函数 y

?

1 ( x ? 0 )图象上一动点,若点 P,A x

之间的最短距离为 2 2 ,则满足条件的实数 a 的所有值为_______.【答案】 ?1 或 10
29. (2013 浙江(理)设 F 为抛物线 C : y ? 4 x 的焦点,过点 P(?1,0) 的直线 l 交抛物线 C 于两点 A, B ,点 Q 为线段 AB
2

的中点,若 | FQ |? 2 ,则直线的斜率等于________.【答案】 ?1
三、解答题 30. (2013 上海春季)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 9 分.

, 0) B 已知椭圆 C 的两个焦点分别为 F1 (?1 0) 、 F2 (1, ,短轴的两个端点分别为 B1、 2
(1)若 ?F1 B1 B2 为等边三角形,求椭圆 C 的方程; (2)若椭圆 C 的短轴长为 2 ,过点 F2 的直线 l 与椭圆 C 相交于 P、 两点,且 F1 P ? F1Q ,求直线 l 的方程. Q [解](1) (2)

????

????

x2 y 2 【答案】[解](1)设椭圆 C 的方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) . a b
根据题意知 ?

? a ? 2b ?a ? b ? 1
2 2

, 解得 a ?
2

4 2 1 ,b ? 3 3

故椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 1 3 3

x2 ? y 2 ? 1. (2)容易求得椭圆 C 的方程为 2

当直线 l 的斜率不存在时,其方程为 x ? 1 ,不符合题意; 当直线的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) .

? y ? k ( x ? 1) ? 2 2 2 2 由 ? x2 得 (2k ? 1) x ? 4k x ? 2(k ? 1) ? 0 . 2 ? ? y ?1 ?2
y Q y 设 P( x1,1 ), ( x2,2 ) ,则

???? 4k 2 2(k 2 ? 1) ???? x1 ? x2 ? 2 ,1 x2 ? x , 1P ? ( x1 ? 1,1 ), 1Q ? ( x2 ? 1, 2 ) F y F y 2k ? 1 2k 2 ? 1
因为 F1 P ? F1Q ,所以 F1 P ? F1Q ? 0 ,即

????

????

???? ????

( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? y1 y2 ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? k 2 ( x1 ? 1)( x2 ? 1)
? (k 2 ? 1) x1 x2 ? (k 2 ? 1)( x1 ? x2 ) ? k 2 ? 1

7k 2 ? 1 ? 2 ?0, 2k ? 1
解得 k ?
2

7 1 ,即 k ? ? . 7 7

故直线 l 的方程为 x ? 7 y ? 1 ? 0 或 x ? 7 y ? 1 ? 0 .
31. (2013 年高考四川卷(理) 已知椭圆 C : )

x2 y 2 ? ? 1, (a ? b ? 0) 的两个焦点分别为 F1 (?1,0), F2 (1,0) ,且椭圆 C 经 a 2 b2

过点 P ( , ) .

4 1 3 3 (Ⅰ)求椭圆 C 的离心率;
(Ⅱ)设过点 A(0, 2) 的直线 l 与椭圆 C 交于 M 、 N 两点,点 Q 是线段 MN 上的点,且 求点 Q 的轨迹方程.

2 1 1 , ? ? 2 2 | AQ | | AM | | AN |2

【答案】解: 2a ? PF1 ? PF2 ?

? 4 ? ?1? ? 4 ? ?1? ? ? 1? ? ? ? ? ? ? 1? ? ? ? ? 2 2 ? 3 ? ?3? ? 3 ? ? 3?

2

2

2

2

所以, a ? 2 . 又由已知, c ? 1 , 所以椭圆 C 的离心率 e ?

c 1 2 ? ? a 2 2

? ?? ? 由 ? ? ? 知椭圆 C 的方程为
设点 Q 的坐标为(x,y).

x2 ? y2 ? 1. 2

(1)当直线 l 与 x 轴垂直时,直线 l 与椭圆 C 交于 ? 0,1? , ? 0, ?1? 两点,此时 Q 点坐标为 ? 0, 2 ? (2) 当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2 . 因为 M , N 在直线 l 上,可设点 M , N 的坐标分别为 ( x1 , kx1 ? 2),( x2 , kx2 ? 2) ,则

? ? ?

3 5? ? 5 ? ?

AM ? (1 ? k 2 ) x12 , AN ? (1 ? k 2 ) x2 2 .
2 2

又 AQ ? x ? ? y ? 2 ? ? (1 ? k ) x .
2 2 2 2 2



2 AQ
2

?

1 AM
2

?

1 AN
2

,得

2 1 1 ? ? ,即 2 2 2 2 ?1 ? k ? x ?1 ? k ? x1 ?1 ? k 2 ? x22
2 1 1 ? x ? x ? ? 2x x ? 2 ? 2 ? 1 22 2 1 2 2 x x1 x2 x1 x2
2



x2 将 y ? kx ? 2 代入 ? y 2 ? 1 中,得 2

? 2k

2

? 1? x 2 ? 8kx ? 6 ? 0
2



2 2 由 ? ? ? 8k ? ? 4 ? 2k ? 1 ? 6 ? 0, 得 k ?

?

?

3 . 2

8k 6 , x1 x2 ? 2 , 2 2k ? 1 2k ? 1 18 2 代入①中并化简,得 x ? ③ 10k 2 ? 3 y?2 2 2 因为点 Q 在直线 y ? kx ? 2 上,所以 k ? ,代入③中并化简,得 10 ? y ? 2 ? ? 3 x ? 18 . x
由②可知 x1 ? x2 ? ? 由③及 k ?
2

? 6 ? ? 6? 3 3 2 ,可知 0 ? x ? ,即 x ? ? ? ? 2 ,0 ? ? ? 0, 2 ? . ? ? ? 2 2 ? ? ? ?

又 ? 0, 2 ?

? ? ?

? 3 5? 6 6? 2 2 ? 满足 10 ? y ? 2 ? ? 3 x ? 18 ,故 x ? ? ? ? 2 , 2 ?. ? 5 ? ? ? ?

由题意, Q ? x, y ? 在椭圆 C 内部,所以 ?1 ? y ? 1 , 又由 10 ? y ? 2 ? ? 18 ? 3 x 有
2 2

? y ? 2?

2

?1 3 5? ?9 9 ? ? ? , ? 且 ?1 ? y ? 1 ,则 y ? ? , 2 ? ?. ?2 5 ? ?5 4 ? ?
2 2

所以点 Q 的轨迹方程是 10 ? y ? 2 ? ? 3 x ? 18 ,其中, x ? ? ?

? ? ?

?1 6 6? 3 5? , ? , y ?? ,2 ? ? ?2 2 2 ? 5 ? ? ?
2 2

x y 32. (2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学(理)试题(含答案) 椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右焦点 ) a b

分别是 F1 , F2 ,离心率为 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

3 ,过 F1 且垂直于 x 轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为 1. 2

(Ⅱ)点 P 是椭圆 C 上除长轴端点外的任一点,连接 PF1 , PF2 ,设 ?F1 PF2 的角平分线 PM 交 C 的长轴于点

M (m, 0) ,求 m 的取值范围;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过 P 点作斜率为 k 的直线 l ,使得 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点,设直线 PF1 , PF2 的斜率分 别为 k1 , k 2 ,若 k ? 0 ,试证明

1 1 ? 为定值,并求出这个定值. kk1 kk2

x2 y 2 b2 ? 2 ?1 y ? ? 2 2 2 2 a b 【答案】解:(Ⅰ)由于 c ? a ? b ,将 x ? ?c 代入椭圆方程 a 得 2b 2 ?1 2 由题意知 a ,即 a ? 2b

e?


3 c ? 2 a

所以 a ? 2 , b ? 1

x2 ? y2 ? 1 所以椭圆方程为 4

???? ???? ? ???? ???? ? ? ???? ???? ???? ???? ? ? ? PF1 ? PM PF2 ? PM PF1 ? PM PF2 ? PM 2 ? ? ? ? ,设 P( x0 , y0 ) 其中 x0 ? 4 ,将向量坐标代入 (Ⅱ)由题意可知: ???? ???? = ???? ???? , ???? = ???? | PF1 || PM | | PF2 || PM | | PF1 | | PF2 |
并化简得:m( 4 x0 ? 16) ? 3x0 ? 12 x0 ,因为 x0 ? 4 ,
2 3 2

所以 m ?

3 3 3 x0 ,而 x0 ? (?2, 2) ,所以 m ? (? , ) 4 2 2

(3)由题意可知,l 为椭圆的在 p 点处的切线,由导数法可求得,切线方程为:

x y0 y0 x0 x 1 1 ? , k2 ? ,代入 中得 ? y0 y ? 1 ,所以 k ? ? 0 ,而 k1 ? 4 y0 kk1 kk2 4 x? 3 x? 3
x ? 3 x0 ? 3 1 1 ? ? ?4( 0 ? ) ? ?8 为定值. kk1 kk2 x0 x0

x2 ? y 2 ? 1 ,曲线 C2 :| y |?| x | ?1 ,P 是平面上一点, 33. (2013 年高考上海卷(理) (3 分+5 分+8 分)如图,已知曲线 C1 : ) 2

若存在过点 P 的直线与 C1 , C2 都有公共点,则称 P 为“C1—C2 型点”. (1)在正确证明 C1 的左焦点是“C1—C2 型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要 求验证); (2)设直线 y ? kx 与 C2 有公共点,求证 | k |? 1 ,进而证明原点不是“C1—C2 型点”; (3)求证:圆 x 2 ? y 2 ?

1 内的点都不是“C1—C2 型点”. 2

【答案】:(1)C1 的左焦点为 F ( ? 3, 0) ,过 F 的直线 x ? ? 3 与 C1 交于 (? 3, ?

2 ) ,与 C2 交于 (? 3, ?( 3 ? 1)) , 2

故 C1 的左焦点为“C1-C2 型点”,且直线可以为 x ? ? 3 ; (2)直线 y ? kx 与 C2 有交点,则

? y ? kx ? (| k | ?1) | x |? 1 ,若方程组有解,则必须 | k |? 1 ; ? ?| y |?| x | ?1
直线 y ? kx 与 C2 有交点,则

? y ? kx 1 ? (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 2 ,若方程组有解,则必须 k 2 ? ? 2 2 2 ?x ? 2 y ? 2
故直线 y ? kx 至多与曲线 C1 和 C2 中的一条有交点,即原点不是“C1-C2 型点”. (3)显然过圆 x ? y ?
2 2

1 内一点的直线 l 若与曲线 C1 有交点,则斜率必存在; 2

根据对称性,不妨设直线 l 斜率存在且与曲线 C2 交于点 (t , t ? 1)(t ? 0) ,则

l : y ? (t ? 1) ? k ( x ? t ) ? kx ? y ? (1 ? t ? kt ) ? 0
直线 l 与圆 x ? y ?
2 2 2

|1 ? t ? kt | 2 1 ? 内部有交点,故 2 2 k 2 ?1

化简得, (1 ? t ? tk ) ?

1 2 (k ? 1) ............① 2

若直线 l 与曲线 C1 有交点,则

? y ? kx ? kt ? t ? 1 1 ? ? (k 2 ? ) x 2 ? 2k (1 ? t ? kt ) x ? (1 ? t ? kt ) 2 ? 1 ? 0 ? x2 2 2 ? y ?1 ? ? 2

1 ? ? 4k 2 (1 ? t ? kt )2 ? 4(k 2 ? )[(1 ? t ? kt )2 ? 1] ? 0 ? (1 ? t ? kt ) 2 ? 2(k 2 ? 1) 2

化简得, (1 ? t ? kt ) ? 2(k ? 1) .....②
2 2

1 2 (k ? 1) ? k 2 ? 1 2 1 但此时,因为 t ? 0,[1 ? t (1 ? k )]2 ? 1, (k 2 ? 1) ? 1 ,即①式不成立; 2 1 当 k 2 ? 时,①式也不成立 2 1 综上,直线 l 若与圆 x 2 ? y 2 ? 内有交点,则不可能同时与曲线 C1 和 C2 有交点, 2 1 即圆 x 2 ? y 2 ? 内的点都不是“C1-C2 型点” . 2
由①②得, 2(k 2 ? 1) ? (1 ? t ? tk ) 2 ?
34. (2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学 (理) 试题 (纯 WORD 版) 如图,在正方形 OABC 中, O 为坐标原点,点 A )

的坐标为 (10, 0) ,点 C 的坐标为 (0,10) .分别将线段 OA 和 AB 十等分,分点分别记为 A1 , A2 ,.... A9 和 B1 , B2 ,....B9 , 连结 OBi ,过 Ai 做 x 轴的垂线与 OBi 交于点 P (i ? N * ,1 ? i ? 9) . i (1)求证:点 P (i ? N * ,1 ? i ? 9) 都在同一条抛物线上,并求该抛物线 E 的方程; i (2)过点 C 做直线与抛物线 E 交于不同的两点 M , N ,若 ?OCM 与 ?OCN 的面积比为 4 :1 ,求直线的方程.

【答案】解:(Ⅰ)依题意,过 Ai (i ? N

*

,1 ? i ? 9) 且与 x 轴垂直的直线方程为 x ? i
i x 10

? Bi (10, i ) ,? 直线 OBi 的方程为 y ?

? x?i 1 2 ? x ,即 x 2 ? 10 y , 设 Pi 坐标为 ( x, y ) ,由 ? i 得: y ? 10 ? y ? 10 x ?

? Pi (i ? N * ,1 ? i ? 9) 都在同一条抛物线上,且抛物线 E 方程为 x 2 ? 10 y
(Ⅱ)依题意:直线的斜率存在,设直线的方程为 y ? kx ? 10

由?

? y ? kx ? 10 2 得 x ? 10kx ? 100 ? 0 2 ? x ? 10 y
2

此时 ? ? 100k +400 ? 0 ,直线与抛物线 E 恒有两个不同的交点 M , N 设: M ( x1 , y1 ) N ( x2 , y2 ) ,则 ?

? x1 ? x2 ? 10k ? x1 ? x2 ? ?100

? S?OCM ? 4 S?OCN ? x1 ? 4 x2
又? x1 ? x2 ? 0 ,? x1 ? ?4 x2 分别带入 ?

? y ? kx ? 10 3 ,解得 k ? ? 2 2 ? x ? 10 y

直线的方程为 y ? ?

3 x +10 ,即 3x ? 2 y ? 20 ? 0 或 3x +2 y ? 20 ? 0 2
2

35. (2013 年高考湖南卷(理) 过抛物线 E : x ? 2 py( p ? 0) 的焦点 F 作斜率分别为 k1 , k 2 的两条不同的直线 l1 , l2 ,且 )

k1 ? k2 ? 2 , l1与E 相交于点 A,B, l2与E 相交于点 C,D.以 AB,CD 为直径的圆 M,圆 N(M,N 为圆心)的公共弦所在的直
线记为 l . (I)若 k1 ? 0, k2 ? 0 ,证明; FM ?FN ? 2 P ;
2

???? ???? ?

(II)若点 M 到直线 l 的距离的最小值为
【答案】解: (Ⅰ)

7 5 ,求抛物线 E 的方程. 5

p F (0, ).设A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), C ( x3 , y3 ), D( x4 , y4 ), M ( x12 , y12 ), N ( x34 , y34 ), 2 p 直线l1方程:y ? k1 x ? , 与抛物线E方程联立,化简整理得: x 2 ? 2 pk1 x ? p 2 ? 0 ? 2 x ?x p 2 2 ? x1 ? x2 ? 2k1 p, x1 ? x2 ? ? p 2 ? 0 ? x12 ? 1 2 ? k1 p, y12 ? k1 p ? ? FM ? (k1 p,?k1 p) 2 2 x1 ? x2 p 2 2 同理, ? x34 ? ? k2 p, y34 ? k2 p ? ? FN ? (k2 p,?k2 p) . 2 2
? FM ? FN ? k1k2 p 2 ? k1 k 2 p 2 ? p 2 k1k 2 (k1k2 ? 1)
2 2

? k1 ? 0, k2 ? 0, k1 ? k2 ,2 ? k1 ? k2 ? 2 k1k2 ? k1k2 ? 1,? FM ? FN ? p 2 k1k2 (k1k2 ? 1) ? p 2 ?1 ? (1 ? 1) ? 2 p 2
以, FM ? FN ? 2 p 2 成立. (证毕) (Ⅱ) 设圆M、N的半径分别为r1 , r2 ? r1 ?



1 p p 1 p 2 2 [( ? y1 ) ? ( ? y2 )] ? [ p ? 2(k1 p ? )] ? k1 p ? p, 2 2 2 2 2

? r1 ? k1 p ? p,同理2r1 ? k2 p ? p,
2 2

设圆M、N的半径分别为r1 , r2 . 则 M、N的方程分别为( x ? x12 )2 ? ( y ? y12 )2 ? r1 ,
2

( x ? x34 ) 2 ? ( y ? y34 ) 2 ? r2 ,直线l的方程为:
2

2( x34 ? x12 ) x ? 2( y34 ? y12 ) y ? x12 ? x34 ? y12 ? y34 - r1 ? r2 ? 0 .
2 2 2 2 2 2

? 2 p(k2 ? k1 ) x ? 2 p(k2 ? k1 ) y ? ( x12 ? x34 )( x12 ? x34 ) ? ( y12 ? y34 )( y12 ? y34 ) ? (r2 - r1 )( r2 ? r1 ) ? 0
2 2

? 2 p(k2 ? k1 ) x ? 2 p(k2 ? k1 ) y ? 2 p 2 (k1 ? k2 ) ? p 2 (k1 ? k2 )( k1 ? k2 ? 1) ? p 2 (k2 ? k1 )( k1 ? k2 ? 2) ? 0
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

? x ? 2 y ? p ? p(k1 ? k2 ? 1) ? p(k1 ? k2 ? 2) ? 0 ? x ? 2 y ? 0
2 2 2 2

x ? 2 y12 2k ? k1 ? 1 点M ( x12 , y12 )到直线l的距离d ?| 12 |? p? | 1 |? p ? 5 5
2

1 1 2(? ) 2 ? (? ) ? 1 7p 7 4 4 ? ? 5 5 8 5 5

? p ? 8 ? 抛物线的方程为x2 ? 16 y .
36 . 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 浙 江 数 学 ( 理 ) 试 题 ( 纯 WORD 版 ) 如 图 , 点 P(0,?1) 是 椭 圆 ( )

C1 :

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的一个顶点, C1 的长轴是圆 C2 : x 2 ? y 2 ? 4 的直径. l1 , l2 是过点 P 且互相垂直的两条 2 a b

直线,其中 l1 交圆 C 2 于两点, l 2 交椭圆 C1 于另一点 D (1)求椭圆 C1 的方程;
y l1 D O P A (第 21 题图) l2 B x

(2)求 ?ABD 面积取最大值时直线 l1 的方程.

【答案】解:(Ⅰ)由已知得到 b

? 1 ,且 2a ? 4 ? a ? 2 ,所以椭圆的方程是

x2 ? y 2 ? 1; 4

(Ⅱ) 因 为 直 线 l1 ? l2 , 且 都 过 点 P(0, ?1) , 所 以 设 直 线 l1 : y ? kx ? 1 ? kx ? y ? 1 ? 0 , 直 线

1 l2 : y? ? k

x ? ? x ? k y ? ,所以圆心 (0, 0) 到直线 l1 : y ? kx ? 1 ? kx ? y ? 1 ? 0 的距离为 d ? 1 0? k
2 3 ? 4k 2 1? k2

1 1? k2

,

2 2 2 所以直线 l1 被圆 x ? y ? 4 所截的弦 AB ? 2 4 ? d ?

;

? x ? ky ? k ? 0 ? ? k 2 x 2 ? 4 x 2 ? 8kx ? 0 ,所以 由 ? x2 2 ? ? y ?1 ?4
xD ? xP ? ? 8k 1 64k 2 8 k2 ?1 ?| DP |? (1 ? 2 ) 2 ? 2 ,所以 k2 ? 4 k (k ? 4) 2 k ?4

S ?ABD ?

1 1 2 3 ? 4k 2 8 k 2 ? 1 8 4k 2 ? 3 4 ? 8 4k 2 ? 3 | AB || DP |? ? ? 2 ? ? 2 2 2 k ?4 k2 ? 4 4k 2 ? 3 ? 13 1? k

?

32 4k ? 3
2

4k 2 ? 3
2

?

13 4k 2 ? 3
13 4k ? 3
2

?

32 4k 2 ? 3 ? 13 4k ? 3
2

?

32 2 13

?

16 13 , 13

当 4k ? 3 ?

? k2 ?

5 10 10 ?k?? x ?1 时等号成立,此时直线 l1 : y ? ? 2 2 2

37. (2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学(理)试题(含答案) 如题(21)图,椭圆的中心为原点 O ,长轴在 x 轴 )

上,离心率 e ?

2 ,过左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于 A, A? 两点, AA? ? 4 . 2

(1)求该椭圆的标准方程; (2)取垂直于 x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点 P, P? ,过 P, P? 作圆心为 Q 的圆,使椭圆上的其余点均在圆 Q 外. 若 PQ ? P?Q ,求圆 Q 的标准方程.

【答案】

38. (2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)试题(纯 WORD 版) 设椭圆 E : )

x2 y2 ? ? 1的焦点在 x 轴上 a2 1 ? a2

(Ⅰ)若椭圆 E 的焦距为 1,求椭圆 E 的方程; (Ⅱ) 设 F1 , F2 分 别 是 椭 圆 的 左、 右 焦 点 , P 为 椭 圆 E 上 的 第一 象 限 内 的 点 , 直 线 F2 P 交 y 轴与 点 Q , 并 且

F1 P ? F1Q ,证明:当 a 变化时,点 p 在某定直线上.
【答案】解: (Ⅰ)? a ? 1 ? a ,2c ? 1, a ? 1 ? a ? c ? a ?
2 2 2 2 2 2

5 8x 2 8x 2 ,椭圆方程为: ? ? 1. 8 5 3

( (Ⅱ) 设F1 (?c,0), F2 (c,0), P( x, y ), Q(0, m), 则F2 P ? x ? c, y ), QF2 ? (c,?m) .
由 1 ? a ? 0 ? a ? (0,1) ? x ? (0,1), y ? (0,1) .
2

?m(c ? x) ? yc F1 P ? ( x ? c, y ), F1Q ? (c, m).由F2 P // QF2 , F1 P ? F1Q得: ? ?c( x ? c) ? my ? 0

? x2 y2 ?1 ? 2 ? a 1? a2 ? ? ? ( x ? c)( x ? c) ? y 2 ? x 2 ? y 2 ? c 2 .联立? x 2 ? y 2 ? c 2 解得 ? 2 2 2 ?a ? 1 ? a ? c ? ?
? 2x 2 2y2 ? ? 1 ? x 2 ? ( y ? 1) 2 . ? x ? (0,1), y ? (0,1) ? x ? 1 ? y 2 2 2 2 x ? y ?1 1? x ? y

所以动点 P 过定直线 x ? y ? 1 ? 0 .
39. (2013 年高考新课标 1(理) 已知圆 M : ( x ? 1) )
2

? y 2 ? 1 ,圆 N : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 9 ,动圆 P 与 M 外切并且与圆 N 内

切,圆心 P 的轨迹为曲线 C. (Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ) l 是与圆 P ,圆 M 都相切的一条直线, l 与曲线 C 交于 A,B 两点,当圆 P 的半径最长时,求|AB|.
【答案】由已知得圆 M 的圆心为 M (-1,0),半径 r1 =1,圆 N 的圆心为 N (1,0),半径 r2 =3.

设动圆 P 的圆心为 P ( x , y ),半径为 R. (Ⅰ)∵圆 P 与圆 M 外切且与圆 N 内切,∴|PM|+|PN|= ( R ? r1 ) ? (r2 ? R ) = r1 ? r2 =4, 由椭圆的定义可知,曲线 C 是以 M,N 为左右焦点,场半轴长为 2,短半轴长为 3 的椭圆(左顶点除外),其方程为

x2 y 2 ? ? 1( x ? ?2) . 4 3
(Ⅱ)对于曲线 C 上任意一点 P ( x , y ),由于|PM|-|PN|= 2 R ? 2 ≤2,∴R≤2, 当且仅当圆 P 的圆心为(2,0)时,R=2. ∴当圆 P 的半径最长时,其方程为 ( x ? 2) ? y ? 4 ,
2 2

当 l 的倾斜角为 90 时,则 l 与 y 轴重合,可得|AB|= 2 3 . 当 l 的倾斜角不为 90 时,由 r1 ≠R 知 l 不平行 x 轴,设 l 与 x 轴的交点为 Q,则
0

0

| QP | R = ,可求得 Q(-4,0),∴设 | QM | r1

l : y ? k ( x ? 4) ,由 l 于圆 M 相切得

| 3k | 1? k 2

? 1 ,解得 k ? ?

2 . 4

当 k =

x2 y 2 2 2 ? ? 1( x ? ?2) 并 整 理 得 7 x 2 ? 8 x ? 8 ? 0 , 解 得 时 , 将 y? x? 2 代 入 4 3 4 4

x1,2 =

18 ?4 ? 6 2 ,∴|AB|= 1 ? k 2 | x1 ? x2 | = . 7 7
2 18 时,由图形的对称性可知|AB|= , 4 7
18 或|AB|= 2 3 . 7
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F, 离心 a 2 b2

当 k =-

综上,|AB|=

40. (2013 年普通高等学校招生统一考试天津数学(理)试题(含答案) 设椭圆 )

率为

3 4 3 , 过点 F 且与 x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 . 3 3 (Ⅰ) 求椭圆的方程;
???? ??? ???? ??? ? ? (Ⅱ) 设 A, B 分别为椭圆的左右顶点, 过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C, D 两点. 若 AC· ? AD· ? 8 , 求 DB CB

k 的值.
【答案】

41. (2013 年高考江西卷(理) 如图,椭圆 C: 2 + )

x2 a

y2 3 1 =1(a >b>0) 经过点 P (1, ), 离心率 e = ,直线 l 的方程为 x =4 . 2 b 2 2

(1) 求椭圆 C 的方程; (2) AB 是经过右焦点 F 的任一弦(不经过点 P ),设直线 AB 与直线 l 相交于点 M ,记 PA, PB, PM 的斜率分别为

k1 ,k2 ,k3 . 问:是否存在常数 ? ,使得 k1 +k2 =? k3 . ?若存在求 ? 的值;若不存在,说明理由.

【答案】解:(1)由 P(1,
2

3 1 9 ) 在椭圆上得, 2 ? 2 ? 1 2 a 4b
2



依题设知 a ? 2c ,则 b ? 3c



②代入①解得 c 2 ? 1, a 2 ? 4, b2 ? 3 .

故椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1. 4 3

(2)方法一:由题意可设 AB 的斜率为 k , 则直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1)
2 2


2 2 2 2

代入椭圆方程 3x ? 4 y ? 12 并整理,得 (4k ? 3) x ? 8k x ? 4(k ? 3) ? 0 , 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则有

x1 ? x2 ?

8k 2 4(k 2 ? 3) , x1 x2 ? 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3



在方程③中令 x ? 4 得, M 的坐标为 (4,3k ) .

3 3 3 y2 ? 3k ? 2 ,k ? 2 ,k ? 2 ?k?1. 从而 k1 ? 2 3 x1 ? 1 x2 ? 1 4 ?1 2 y1 ?
注意到 A, F , B 共线,则有 k ? k AF ? kBF ,即有

y1 y ? 2 ?k. x1 ? 1 x2 ? 1

3 3 y2 ? 2? 2 ? y1 ? y2 ? 3 ( 1 ? 1 ) 所以 k1 ? k2 ? x1 ? 1 x2 ? 1 x1 ? 1 x2 ? 1 2 x1 ? 1 x2 ? 2 y1 ?
x1 ? x2 ? 2 3 ? 2k ? ? 2 x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1


8k 2 ?2 3 4k 2 ? 3 ? 2k ? 1 , ④代入⑤得 k1 ? k2 ? 2k ? ? 8k 2 2 4(k 2 ? 3) ? ?1 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 1 又 k3 ? k ? ,所以 k1 ? k2 ? 2k3 .故存在常数 ? ? 2 符合题意. 2

方法二:设 B( x0 , y0 )( x0 ? 1) ,则直线 FB 的方程为: y ?

y0 ( x ? 1) , x0 ? 1

令 x ? 4 ,求得 M (4,

3 y0 ), x0 ? 1
2 y0 ? x0 ? 1 , 2( x0 ? 1)

从而直线 PM 的斜率为 k3 ?

y0 ? ? y ? x ? 1 ( x ? 1) 5 x ? 8 3 y0 ? 0 联立 ? ,得 A( 0 , ), 2 2 2 x0 ? 5 2 x0 ? 5 ?x ? y ?1 ?4 3 ?
则直线 PA 的斜率为: k1 ?

2 y0 ? 2 x0 ? 5 2 y0 ? 3 ,直线 PB 的斜率为: k2 ? , 2( x0 ? 1) 2( x0 ? 1)

所以 k1 ? k2 ?

2 y0 ? 2 x0 ? 5 2 y0 ? 3 2 y0 ? x0 ? 1 ? ? ? 2k3 , 2( x0 ? 1) 2( x0 ? 1) x0 ? 1

故存在常数 ? ? 2 符合题意.
42. (2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学(理)卷(纯 WORD 版) 已知抛物线 C 的顶点为原点,其焦点 )

F ? 0, c?? c ? 0? 到直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的距离为

3 2 .设 P 为直线 l 上的点,过点 P 作抛物线 C 的两条切线 2

PA, PB ,其中 A, B 为切点.
(Ⅰ) 求抛物线 C 的方程; (Ⅱ) 当点 P ? x0 , y0 ? 为直线 l 上的定点时,求直线 AB 的方程; (Ⅲ) 当点 P 在直线 l 上移动时,求 AF ? BF 的最小值.
【答案】(Ⅰ) 依题意,设抛物线 C 的方程为 x ? 4cy ,由
2

0?c?2 2

?

3 2 结合 c ? 0 ,解得 c ? 1 . 2

所以抛物线 C 的方程为 x ? 4 y .
2

(Ⅱ) 抛物线 C 的方程为 x ? 4 y ,即 y ?
2

1 2 1 x ,求导得 y? ? x 4 2

设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? (其中 y1 ?

x12 x2 1 1 , y2 ? 2 ),则切线 PA, PB 的斜率分别为 x1 , x2 , 4 4 2 2

所以切线 PA 的方程为 y ? y1 ?

x x2 x1 ? x ? x1 ? ,即 y ? 1 x ? 1 ? y1 ,即 x1 x ? 2 y ? 2 y1 ? 0 2 2 2

同理可得切线 PB 的方程为 x2 x ? 2 y ? 2 y2 ? 0 因为切线 PA, PB 均过点 P ? x0 , y0 ? ,所以 x1 x0 ? 2 y0 ? 2 y1 ? 0 , x2 x0 ? 2 y0 ? 2 y2 ? 0 所以 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? 为方程 x0 x ? 2 y0 ? 2 y ? 0 的两组解. 所以直线 AB 的方程为 x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? 0 .

(Ⅲ) 由抛物线定义可知 AF ? y1 ? 1 , BF ? y2 ? 1 , 所以 AF ? BF ? ? y1 ? 1?? y2 ? 1? ? y1 y2 ? ? y1 ? y2 ? ? 1 联立方程 ?

? x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? 0 ?x ? 4 y
2

,消去 x 整理得 y ? 2 y0 ? x0
2

?

2

?y? y

2 0

?0

由一元二次方程根与系数的关系可得 y1 ? y2 ? x0 ? 2 y0 , y1 y2 ? y0
2

2

所以 AF ? BF ? y1 y2 ? ? y1 ? y2 ? ? 1 ? y0 ? x0 ? 2 y0 ? 1
2 2

又点 P ? x0 , y0 ? 在直线 l 上,所以 x0 ? y0 ? 2 ,

1? 9 ? 所以 y0 ? x0 ? 2 y0 ? 1 ? 2 y0 ? 2 y0 ? 5 ? 2 ? y0 ? ? ? 2? 2 ?
2 2 2

2

所以当 y0 ? ?

1 9 时, AF ? BF 取得最小值,且最小值为 . 2 2

43. (2013 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学(理) (纯 WORD 版含答案) 平面直角坐标系 xOy 中,过椭圆 )

M:

1 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点 F 作直 x ? y ? 3 ? 0 交 M 于 A, B 两点, P 为 AB 的中点,且 OP 的斜率为 . 2 2 a b

(Ⅰ)求 M 的方程; (Ⅱ) C , D 为 M 上的两点,若四边形 ABCD 的对角线 CD ? AB ,求四边形 ABCD 面积的最大值.
【答案】

44. (2013 年高考湖北卷(理) 如图,已知椭圆 C1 与 C2 的中心在坐标原点 O ,长轴均为 MN 且在 x 轴上,短轴长分别为 )

2m , 2n ? m ? n ? ,过原点且不与 x 轴重合的直线 l 与 C1 , C2 的四个交点按纵坐标从大到小依次为 A , B , C , D .
记? ?

m , ?BDM 和 ?ABN 的面积分别为 S1 和 S2 . n

(I)当直线 l 与 y 轴重合时,若 S1 ? ? S2 ,求 ? 的值; (II)当 ? 变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线 l ,使得 S1 ? ? S2 ?并说明理由.

y
A B

M
C

O

N x

D
第 21 题图

m ?1 ? ?1 ?? ? n ? m ?1 ? ?1 S1 ? ? S2 ? m ? n ? ? ? m ? n ? , n 【答案】解:(I)
解得: ? ?

2 ? 1 (舍去小于 1 的根)

x2 y2 x2 y2 (II)设椭圆 C1 : 2 ? 2 ? 1 ? a ? m ? , C2 : 2 ? 2 ? 1 ,直线 l : ky ? x a m a n

? ky ? x a 2 ? m 2k 2 2 am ? 2 2 ? y ? 1 ? yA ? ?x y 2 2 2 am a ? m 2k 2 ? a 2 ? m2 ? 1 ?
同理可得, y B ?

an a 2 ? n 2k 2

又? ?BDM 和 ?ABN 的的高相等

?

S1 BD y B ? y D y B ? y A ? ? ? S2 AB y A ? y B y A ? y B

如果存在非零实数 k 使得 S1 ? ? S2 ,则有 ? ? ? 1? y A ? ? ? ? 1? y B ,
2 2 ? 2 ? ? ? 1? ? ? ? 1? ,解得 k 2 ? a 2 ? ? 2 ? 2? ? 1?? ? 2 ? 1? ? 2 a 2 ? ? 2n 2k 2 a ? n 2k 2 4n 2? 3

即:

? 当 ? ? 1 ? 2 时, k 2 ? 0 ,存在这样的直线 l ;当 1 ? ? ? 1 ? 2 时, k 2 ? 0 ,不存在这样的直线 l .

x2 ? y 2 ? 1 上的三个点,O 是坐标原点. 45. (2013 年高考北京卷(理) 已知 A、B、C 是椭圆 W: ) 4
(I)当点 B 是 W 的右顶点,且四边形 OABC 为菱形时,求此菱形的面积; (II)当点 B 不是 W 的顶点时,判断四边形 OABC 是否可能为菱形,并说明理由.

【答案】解:(I)椭圆 W:

x2 ? y 2 ? 1的右顶点 B 的坐标为(2,0).因为四边形 OABC 为菱形,所以 AC 与 OB 相互垂直平 4
3 1 . ? m2 ? 1 , 即 m ? ? 2 4
所 以 菱 形 OABC 的 面 积 是

分 . 所 以 可 设 A(1, m ), 代 入 椭 圆 方 程 得

1 1 | OB | ? | AC |? ? 2 ? 2 | m |? 3 . 2 2
(II)假设四边形 OABC 为菱形. 因为点 B 不是 W 的顶点,且直线 AC 不过原点,所以可设 AC 的方程为

y ? kx ? m k ? 0, m ? 0). (
? x2 ? 4 y2 ? 4 2 2 2 由? 消去 y 并整理得 (1 ? 4k ) x ? 8kmx ? 4m ? 4 ? 0 . ? y ? kx ? m

x1 ? x2 x ?x 4km y1 ? y2 m , . ?? ?k? 1 2 ?m? 2 2 1 ? 4k 2 2 1 ? 4k 2 4km m 所以 AC 的中点为 M( ? , ). 2 1 ? 4k 1 ? 4 k 2 1 因为 M 为 AC 和 OB 的交点,所以直线 OB 的斜率为 ? . 4k 1 因为 k ? (? ) ? ?1 ,所以 AC 与 OB 不垂直. 所以 OABC 不是菱形,与假设矛盾. 4k
设 A ( x1, y1 ) ,C ( x2, y2 ) ,则 所以当点 B 不是 W 的顶点时,四边形 OABC 不可能是菱形. 46. (2013 年高考陕西卷(理) 已知动圆过定点 A(4,0), 且在 y 轴上截得的弦 MN 的长为 8. ) (Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹 C 的方程; (Ⅱ) 已知点 B(-1,0), 设不垂直于 x 轴的直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 P, Q, 若 x 轴是 ?PBQ 的角平分线, 证 明直线 l 过定点.
【 答 案 】



:(Ⅰ)

A(4,0),







C

( x, y), MN线段的中点为E,由几何图像知ME ?

MN , CA2 ? CM 2 ? ME 2 ? EC 2 2

? x ? 4) 2 ? y 2 ? 4 2 ? x 2 ? y 2 ? 8x (
(Ⅱ) 点 B(-1,0), 设P( x1 , y1 ), Q( x 2 , y 2 ),由题知y1 ? y 2 ? 0,y1 y 2 ? 0, y1 ? 8 x1 , y 2 ? 8 x2 .
2 2

?

y1 ? y2 y ?y ? ? 2 1 ? 2 2 ? 8( y1 ? y 2 ) ? y1 y 2 ( y 2 ? y1 ) ? 0 ? 8 ? y1 y 2 ? 0 直 线 PQ 方 程 x1 ? 1 x 2 ? 1 y1 ? 8 y 2 ? 8

为: y ? y1 ?

y 2 ? y1 1 2 ( x ? x1 ) ? y ? y1 ? (8 x ? y1 ) x 2 ? x1 y 2 ? y1
2

? y( y 2 ? y1 ) ? y1 ( y 2 ? y1 ) ? 8 x ? y1 ? y( y 2 ? y1 ) ? 8 ? 8 x ? y ? 0, x ? 1
所以,直线 PQ 过定点(1,0)
47. (2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学 (理) (WORD 版) 如图,抛物线 C1 : x ? 4 y, C2 : x ? ?2 py ? p ? 0 ? , 试题 )
2 2

点 M ? x0 , y0 ? 在抛物线 C2 上,过 M 作 C1 的切线,切点为 A, B ( M 为原点 O 时, A, B 重合于 O ) x0 ? 1 ? 2 ,切线

1 MA. 的斜率为 - . 2 (I)求 p 的值;
(II)当 M 在 C2 上运动时,求线段 AB 中点 N 的轨迹方程. ? A, B重合于O时,中点为O ? .

【答案】

48.2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学 ( (理) WORD 版含答案 (已校对) 已知双曲线 C : )

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? a 2 b2

的左、右焦点分别为 F1,F2 ,离心率为 3, 直线 y ? 2 与 C 的两个交点间的距离为 6 . (I)求 a , b; ;

AB BF (II)设过 F2 的直线 l 与 C 的左、右两支分别相交于 A, B 两点,且 AF1 ? BF1 ,证明: AF2 、 、 2 成等比数
列.

【答案】

49. (2013 年上海市春季高考数学试卷(含答案))本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分.

y 已知抛物线 C: ? 4 x 的焦点为 F .
2

(1)点 A、 满足 AP ? ?2 FA .当点 A 在抛物线 C 上运动时,求动点 P 的轨迹方程; P

??? ?

??? ?

(2)在 x 轴上是否存在点 Q ,使得点 Q 关于直线 y ? 2 x 的对称点在抛物线 C 上?如果存在,求所有满足条件的点 Q 的坐标;如果不存在,请说明理由.

y y 【答案】(1)设动点 P 的坐标为 ( x, ) ,点 A 的坐标为 ( x A, A ) ,则 AP ? ( x ? x A, ? y A ) , y , 因为 F 的坐标为 (1 0) ,所以 FA ? ( xA ? 1 y A ) , , ??? ?

??? ?

y , 由 AP ? ?2 FA 得 ( x ? xA, ? y A ) ? ?2( xA ? 1 y A ) .
即?

??? ?

??? ?

? x ? x A ? ?2( x A ? 1) ? y ? y A ? ?2 y A
2

解得 ?

? xA ? 2 ? x ? yA ? ? y
2

代入 y ? 4 x ,得到动点 P 的轨迹方程为 y ? 8 ? 4 x . (2)设点 Q 的坐标为 (t, .点 Q 关于直线 y ? 2 x 的对称点为 Q?( x, ) , 0) y

1 ? y ?x?t ? ? 2 ? 则? ?y ? x?t ?2 ?

3 ? ?x ? ? 5 t ? 解得 ? ?y ? 4 t ? 5 ?
2

若 Q? 在 C 上,将 Q? 的坐标代入 y ? 4 x ,得 4t ? 15t ? 0 ,即 t ? 0 或 t ? ?
2

15 . 4

所以存在满足题意的点 Q ,其坐标为 (0, 和 (? 0)

15 , . 0) 4


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