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2014年南开大学数学试点班自主招生考试题解析


2014 年南开大学数学试点班自主招生考试题(A 卷) 总分:200 分 一.填空题(每小题 7 分,共 70 分) 1.若单位向量 a , b 满足 | 2a ? 3b |? 10 ,则 | 3a ? 2b |? 【答案】4 【解析】由 | 2a ? 3b |? 10 平方得: 13 ? 12a ? b ? 10 ? a ? b ? 考试时间:2014-2-16 ? ? 8:30-11:30 ? ? ? ? . 1 , 4 ? ? 2 ? ? ? ? 则 | 3a ? 2b | ? 13 ? 12a ? b ? 13 ? 3 ? 16 ,所以 | 3a ? 2b |? 4 . 2 ? ? ? ? ? ? 2.若非零复数 z 满足 | z | ? z ? (1 ? i ) ? z ? 0 ,则复数 z 的实部为 【答案】 ? . 2 5 2 【解析】设 z ? x ? yi( x, y ? R) ,由 | z | ? z ? (1 ? i ) ? z ? 0 得: ( x ? y ? y ) ? ( x ? 2 y )i ? 0 . 2 2 2 ? x?? ? ?x ? y ? y ? 0 ?x ? 0 2 ? 5 ?? 则? ,或 ? .又 z ? 0 ,所以 z 的实部为 ? . 5 ?y ? 0 ?x ? 2 y ? 0 ?y ? 1 ? 5 ? 2 2 3.无重复数字(不含 0)且 4 与 5 不相邻的五位数共有 【答案】13440 【解析】用排除法. 不含 0 的无重复数字的五位数共 A9 ? 15120 个, 5 个. 其中,4 和 5 相邻的无重复数字(不含 0)的五位数共 C7 A4 A2 ? 1680 个, 3 4 2 所以,无重复数字(不含 0)且 4 与 5 不相邻的五位数共有 15120 ?1680 ? 13440 个. 4.在三棱锥 P ? ABC 中,底面为边长为 3 的正三角形,且 PA ? 3 , PB ? 4 , PC ? 5 ,则三棱锥 P ? ABC 的体积 VP ? ABC ? 【答案】 11 . P 3 4 A 3 B 3 3 C 【解析】易知 ?PBC 是直角三角形,取斜边 PC 的中点为 O , 因为 AP ? AB ? AC ,所以点 A 在平面 PBC 上的射影为直 角 ?PBC 的外心 O ,连接 AO ,即有 AO ? 平面 PBC . O 5 在直角三角形 AOP 中, AO ? 5 11 AP 2 ? PO 2 ? 32 ? ( ) 2 ? , 2 2 则 VP ? ABC ? VA? PBC ? 1 1 11 ? S?PBC ? AO ? ? 6 ? ? 11 . 3 3 2 . 5.在△ ABC 中, A 为钝角,以下结论正确的是 ① sin B ? cos C ;② sin A ? sin B ? sin C ;③ tan B ? tan C ? 2 ;④ sin B ? sin C ? 【答案】①②④ 【解析】 A 为钝角,则 0 ? B ? C ? 2. ? 2 ?0? B? ? 2 ?C ? ? ? sin B ? sin( ? C ) ? cos C ,①√; 2 2 ? 易知 B, C 均为锐角,则 sin A ? sin( B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C ? sin B ? sin C ,②√; ? ? ? 取 A ? 100 , B ? 75 ,

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