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2014-2015学年高二数学课件2.3《数学归纳法》(人教A版选修2-2)_图文

2.3 数学归纳法

问题 1.数学归纳法的概念是什么?适用范围是什么? 引航 2.数学归纳法的证题步骤是什么?

1.数学归纳法 证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行: 第一步,归纳奠基:证明当n取_第__一__个__值__n_0_(_n_0∈__N_*_)_时命题成立. 第二步,归纳递推:假设_n_=_k_(_k_≥__n_0_,__k_∈__N_*)_时命题成立,证 明当_n_=_k_+_1_时命题也成立. 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数 n都成立.上述证明方法叫做数学归纳法.

2.数学归纳法的框图表示

n=k(k≥n0) n=k+1

1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法.( ) (2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1.( ) (3)数学归纳法的两个步骤缺一不可.( )

【解析】(1)错误.数学归纳法只能证明与正整数n有关的数学 命题,但与n有关的数学命题不一定只用数学归纳法来证明. (2)错误.数学归纳法的第一步n0不一定为1,要视具体情况而 定. (3)正确.根据数学归纳法的定义可知,两个步骤缺一不可. 答案:(1)× (2)× (3)√

2.做一做(请把正确的答案写在横线上)

(1)用数学归纳法证明“2n>n2+1对于n≥n0的正整数n都成立” 时,第一步证明中的初始值n0应取__________. (2)定义一种运算“*”,对于正整数n,满足以下运算性质:

①1*1=2;②(n+1)*1=3(n*1),则n*1的运算结果用含n的代数

式表示为__________.

(3)设Sk=

1? k ?1

k

1 ?2

?

1 k?3

???

1 2k

,则Sk+1=________.(用含Sk

的代数式表示)

【解析】(1)当n=1时,左=右,当n=2,3,4时,左<右,当n=5 时,左=32,右=26,左>右,故初始值应取5. 答案:5 (2)根据题意,1*1=2=2×30,进而可得2*1=3(1*1)=2×3= 2×31,3*1=3(2*1)=3×2×3=2×32. … n*1=3[(n-1)*1]=2×3n-1. 答案:2×3n-1

(3)Sk+1= 1 ? 1 ??? 1 ? 1 ? 1

k?2 k?3

2k 2k ?1 2k ? 2

? 1 ? 1 ? 1 ??? 1 ? 1 ? 1 ? 1

k ?1 k ? 2 k ?3

2k 2k ?1 2k ? 2 k ?1

?

Sk

?

1 2k ?1

?

1 2k ?

2

.

答案:Sk

?

1 2k ?1

?

1 2k ?

2

【要点探究】 知识点 数学归纳法 1.数学归纳法的实质 数学归纳法是一种以数字归纳原理为根据的演绎推理,它将一 个无穷归纳过程转化为一个有限步骤的演绎过程.所以它是证 明有关正整数问题的有力工具.

2.数学归纳法两个步骤的联系 第一步是验证命题递推的基础,第二步是论证命题递推的依据, 这两个步骤缺一不可,只完成第一步而缺少第二步就作出判断, 可能得出不正确的结论.因为单靠第一步,无法递推下去,即n 取n0以后的数时命题是否正确,我们无法判定,同样只有第二 步而缺少第一步时,也可能得出不正确的结论,缺少第一步这 个基础,假设就失去了成立的前提,第二步也就没有意义了.

【知识拓展】数学归纳法证题的口诀 数归证题真是妙, 递推基础不可少, 归纳假设要用到, 结论写明莫忘掉.

【微思考】 (1)用数学归纳法证明不等式时是否通常与直接证明的方法同 时使用? 提示:是.尤其是证明n=k+1这一步时,会经常使用分析、综合、 放缩等方法. (2)与正整数n无关的数学命题能否应用数学归纳法? 提示:不能.数学归纳法是证明与正整数n有关的数学命题的一 种方法.

【即时练】

1.(2014·西安高二检测)下面四个判断中,正确的是( )

A.式子1+k+k2+…+kn(n∈N*)中,当n=1时,式子的值为1

B.式子1+k+k2+…+kn-1(n∈N*)中,当n=1时,式子的值为1+k

C.式子 1? 1 ? 1 ??? 1 (n∈N*)中,当n=1时,式子的值为

23

2n ?1

1? 1 ? 1 23

D.设f(x)= 1 ? 1 ??? 1 (n∈N*),则f(k+1)=f(k)+

n ?1 n ? 2

3n ?1

1?1?1 3k ? 2 3k ? 3 3k ? 4

2.用数学归纳法证明1+2+22+…+2n+1=2n+2-1(n∈N*)的过程中,

在验证n=1时,左端计算所得的项为( )

A.1

B.1+2

C.1+2+22

D.1+2+22+23

【解析】1.选C.A错,n=1时,式子的值为1+k;B错,n=1时,
式子值为k0=1;C正确,D错,f(k+1)= f (k) ? 1 ? 1 ? 1
3k ? 2 3k ? 3 3k ? 4 ?1.
k ?1
2.选C.n=1时,左边=1+2+21+1=1+2+22.

【题型示范】

类型一 用数学归纳法证明等式

【典例1】(1)(2014·合肥高二检测)用数学归纳法证明

(n+1)·(n+2)·…·(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)(n∈N*),“从k

到k+1”左端增乘的代数式为__________.

(2)用数学归纳法证明:1? 1 ? 1 ? 1 ??? 1 ? 1 ?

234

2n ?1 2n

1 ? 1 ??? 1 (n∈N*).

n ?1 n ? 2

2n

【解题探究】1.题(1)中n=k+1时左端的代数式是什么? 2.题(2)中由n=k到n=k+1等式左边增加了什么项? 【探究提示】1.当n=k+1时,左端代数式为(k+2)·(k+3)· …·(k+k)·(2k+1)·(2k+2). 2.左边增加了 1 ? 1 .
2k ?1 2k ? 2

【自主解答】(1)令f(n)=(n+1)(n+2)…(n+n),则
f(k)=(k+1)(k+2)…(k+k),
f(k+1)=(k+2)(k+3)…(k+k)(2k+1)(2k+2),所以 f (k ?1) ?
f (k)
(2k ?1)(2k ? 2) =2(2k+1).
k ?1
答案:2(2k+1)

(2)证明如下:当n=1时,左边= 1? 1 ? 1 ,右边= 1 ,所以等式

22

2

成立.

假设n=k(k≥1,k∈N*)时命题成立,即1? 1 ? 1 ? 1 ??? 1 ? 1

234

2k ?1 2k

= 1 ? 1 ??? 1 成立,那么n=k+1时,

k ?1 k ? 2

2k

1? 1 ? 1 ? 1 ??? 1 ? 1 ? 1 ? 1

234

2k ?1 2k 2(k ?1) ?1 2(k ?1)

? 1 ? 1 ??? 1 ? 1 ? 1

k ?1 k ? 2

2k 2k ?1 2(k ?1)

? 1 ? 1 ??? 1 ? 1 ?[ 1 ? 1 ]

k?2 k?3

2k 2k ?1 k ?1 2(k ?1)

? 1 ? 1 ??? 1 ? 1 ,

(k ?1) ?1 (k ?1) ? 2

(k ?1) ? k 2(k ?1)

即n=k+1时,等式也成立. 综上所述,对于任何n∈N*,等式都成立.

【延伸探究】题(1)中n=1时,左边的值为_______. 【解析】当n=1时,左边=(1+1)=2. 答案:2

【方法技巧】数学归纳法证题的三个关键点 (1)验证是基础. 数学归纳法的原理表明:第一个步骤是要找一个数n0(n0≥1, n∈N*),这个n0,就是我们要证明的命题对象对应的最小正整 数,这个正整数并不一定都是“1”,因此“找准起点,奠基 要稳”是第一个关键点.

(2)递推是关键. 数学归纳法的实质在于递推,所以从“k”到“k+1”的过程中, 要正确分析式子项数的变化.关键是弄清等式两边的构成规律, 弄清由n=k到n=k+1时,等式的两边会增加多少项.增加怎样的 项.

(3)利用假设是核心. 在第二步证明n=k+1成立时,一定要利用归纳假设,即必须把 归纳假设“n=k时命题成立”作为条件来导出“n=k+1”,在书 写f(k+1)时,一定要把包含f(k)的式子写出来,尤其是f(k)中 的最后一项,这是数学归纳法的核心,不用归纳假设的证明就 不是数学归纳法.

【变式训练】用数学归纳法证明:

(1 ?

1 )(1 ? 4

1 )(1 ? 9

1 )?(1? 16

1 n2

)

?

n ?1 2n

(n≥2,n∈N*).

【证明】(1)当n=2时,左边=1- 1 ? 3 ,右边= 2 ?1 ? 3,

44

2?2 4

所以左边=右边.

(2)假设n=k(k≥2,k∈N*)时结论成立,即

(1

?

1 4

)(1

?

1 9

)?(1

?

1 k2

)

?

k ?1. 2k

那么n=k+1时,(1

?

1 4

)(1

?

1 9

)?(1

?

1 k2

)[1

?

(k

1 ?1)

2

]

? k ?1[1? 1 ] ? k ?1 k(k ? 2) 2k (k ?1)2 2k (k ?1)2
? k ? 2 ? (k ?1) ?1, 2(k ?1) 2(k ?1)

即n=k+1时等式也成立.

综合(1)(2)知,对任意n≥2,n∈N*等式恒成立.

【补偿训练】用数学归纳法证明:

1 ? 1 ? 1 ??? 1 ? n (n ? N*).

2?4 4?6 6?8

2n(2n ? 2) 4(n ?1)

【证明】(1)当n=1时,等式左边=

1

? 1,

2?1? (2?1? 2) 8

等式右边= 1 ? 1.
4? (1?1) 8

等式左边=等式右边,所以等式成立.

(2)假设n=k(k∈N*,且k≥1)时等式成立,即有 1 ? 1 ?

1 ??? 1 ? k ,

2?4 4?6

6?8

2k(2k ? 2) 4(k ?1)

则当n=k+1时,

1 2?

4

?

1 4?

6

?

1 6?8

???

1 2k(2k

?

2)

?

2(k

1 ?1[) 2(k

? 1)

?

2]

?k?

1

4(k ?1) 4(k ?1)(k ? 2)

? k(k ? 2) ?1 ? (k ?1)2 4(k ?1)(k ? 2) 4(k ?1)(k ? 2)

? k ?1 ? k ?1 . 4(k ? 2) 4(k ?1?1)
所以当n=k+1时,等式也成立,

由(1),(2)可知,对于一切n∈N*,等式都成立.

类型二 利用数学归纳法证明不等式

【典例2】(1)用数学归纳法证明不等式 1 ? 1 ??? 1 ? 13

n ?1 n ? 2

n ? n 24

(n≥2,n∈N*)的过程中,由n=k推导n=k+1时,不等式的左边

增加的式子是_______.

(2)用数学归纳法证明:对一切大于1的正整数,不等式

(1? 1)(1? 1) (1? 1 ) ? 2n ?1 均成立.

35

2n ?1

2

【解题探究】1.题(1)中n=k+1时左边的代数式是什么?

2.题(2)中由n=k到n=k+1推导过程中常用的方法和技巧是什么?

应该注意什么问题?

【探究提示】1.当n=k+1时左边的代数式是 1 ? 1 ?
k?2 k?3 ?1.
2k ? 2

?1 2k ?1

2.利用放缩法.在利用放缩法时,注意把握放缩的“度”.

【自主解答】(1)当n=k+1时左边的代数式是 1 ? 1 ? ?

k?2 k?3

1? 2k ?1

1 2k ?

,增加了两项, 1

2

2k ?

1

?

1 2k ? 2

,但是少了一项

1, k ?1

故不等式的左边增加的式子是 1 ? 1 ? 1 ?

1



2k ?1 2k ? 2 k ?1 (2k ?1)(2k ? 2)

故填

1

.

(2k ?1)(2k ? 2)

答案:

1

(2k ?1)(2k ? 2)

(2)①当n=2时,左边= 1? 1 ? 4 ;右边= 5 ,

33

2

因为左边>右边,所以不等式成立.

②假设n=k(k≥2,且k∈N*)时不等式成立,

即 (1? 1)(1? 1) (1? 1 ) ? 2k ?1,

35

2k ?1

2

则当n=k+1时,

(1? 1)(1? 1) (1? 1 )[1? 1 ] ? 2k ?1 2k ? 2 ? 2k ? 2

35

2k ?1 2(k ?1) ?1

2 2k ?1 2 2k ?1

? 4k2 ? 8k ? 4 ? 4k2 ? 8k ? 3 ? 2k ? 3 2k ?1

2 2k ?1

2 2k ?1

2 2k ?1

? 2(k ?1) ?1, 2

所以当n=k+1时,不等式也成立. 由①②知,对于一切大于1的正整数n,不等式都成立.

【延伸探究】试用数学归纳法证明(1)中的不等式.

【证明】①当n=2时, 1 ? 1 ? 7 ? 13 .
2 ?1 2 ? 2 12 24
②假设当n=k(k≥2且k∈N*)时不等式成立,

即 1 ? 1 ??? 1 ? 13,

k ?1 k ? 2

2k 24

那么当n=k+1时,

1 ? 1 ??? 1

k?2 k?3

2(k ?1)

? 1 ? 1 ??? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1

k?2 k?3

2k 2k ?1 2k ? 2 k ?1 k ?1

? ( 1 ? 1 ? 1 ??? 1 )? 1 ? 1 ? 1

k ?1 k ? 2 k ?3

2k 2k ?1 2k ? 2 k ?1

? 13 ? 1 ? 1 ? 1 24 2k ?1 2k ? 2 k ?1

? 13 ? 1 ? 1 24 2k ?1 2k ? 2

? 13 ?

1

? 13 .

24 2(2k ?1)(k ?1) 24

这就是说,当n=k+1时,不等式也成立.

由①②可知,原不等式对任意大于1的正整数都成立.

【方法技巧】用数学归纳法证明不等式的四个关键 (1)验证第一个n的值时,要注意n0不一定为1,若n>k(k为正整 数),则n0=k+1. (2)证明不等式的第二步中,从n=k到n=k+1的推导过程中,一 定要用到归纳假设,不应用归纳假设的证明不是数学归纳法, 因为缺少归纳假设.

(3)用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式: 一是直接给出不等式,按要求进行证明;二是给出两个式子, 按要求比较它们的大小,对第二类形式往往要先对n取前几个 值的情况分别验证比较,以免出现判断失误,最后猜出从某个 n值开始都成立的结论,常用数学归纳法证明. (4)用数学归纳法证明不等式的关键是由n=k时成立得n=k+1时 成立,主要方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等.

【变式训练】用数学归纳法证明:1 ?

1 22

?

1 32

???

1 n2

?

3n 2n ?1

(n∈N*).

【证明】①当n=1时,左边=1,右边=1,左边≥右边,结论成

立;

②假设n=k(k∈N*)时,不等式成立,

即 1?

1 22

?

1 32

???

1 k2

?

3k . 2k ?1

当n=k+1时,1?

1 22

?

1 32

???

1 k2

?

(k

1 ?1)2

?

3k 2k ?1

?

(k

1 ? 1)2



下面证: 3k ?
2k ?1

(k

1 ? 1) 2

?

3(k ?1) , 2(k ?1) ?1

作差得

3k 2k ?

1

?

(k

1 ? 1)2

? 3(k ?1) 2(k ?1) ?1

=

k(k ? 2)

>0,

(k ?1)2 (2k ?1)(2k ? 3)

得结论成立,

即当n=k+1时,不等式也成立.

由①和②知,不等式对一切n∈N*都成立.

【补偿训练】已知函数f(x)=ax- 3 x2的最大值不大于 1 ,又当

2

6

x∈[ 1,1 ]时,f(x)≥ 1 .

42

8

(1)求a的值.

(2)设0<a1<

1 2

,an+1=f(an),n∈N*,证明:a n

?

1. n ?1

【解析】(1)由题意,知f(x)= ax ? 3 x2 ? ? 3 (x ? a )2 ? a2 ,

2

236

又f(x)max≤ 1 ,所以 f (a ) ? a2 ? 1 .

6

3 66

所以a2≤1,

又当x∈[ 1,1 ]时,f(x)≥ 1,

42

8

所以

???f ? ???f

( (

1) 2 1) 4

? ?

1,
8即
1, 8

? ?? ? ? ??

a 2 a 4

? ?

3 ? 1, 88 3 ? 1, 32 8

解得a≥1.

又因为a2≤1,所以a=1.

(2)用数学归纳法证明:

①当n=1时,0

?

a1

?

1 2

,显然结论成立.

因为当x∈(0,1 )时,0<f(x)≤ 1,

2

6

所以0<a2=f(a1)≤

1 6

?

1, 3

故n=2时,原不等式也成立.

②假设当n=k(k≥2,k∈N*)时,不等式0<ak< 1 成立,
k ?1

因为f(x)=ax- 3 x2的对称轴为直线x= 1,

2

3

所以当x∈(0,1 ]时,f(x)为增函数.

3

所以由0<ak<

1 k ?1

?

1 3

,得0<f(ak)<f(

1 ).
k ?1

于是,0<ak+1=f(ak)<

1 ?3 k ?1 2

1 (k ?1)2

?1?1 k?2 k?2

?

k

1 ?

2

?

2(k

k?4 ?1)2 (k

?

2)

?

k

1 ?

2

?

(k

1 ?1)

. ?1

所以当n=k+1时,原不等式也成立.

根据①②,知对任意n∈N*,不等式

an

?

1 n ?1

成立.

类型三 归纳——猜想——证明

【典例3】(1)已知数列{an}的前n项和Sn=n2an(n≥2),而a1=1,

通过计算a2,a3,a4,猜想an=( )

A.

(n

2 ? 1)

2

2 C. 2n ?1

B. 2 n(n ?1)
D. 2 2n ?1

(2)(2014·重庆高二检测)在数列{an}中,a1=1,an+1=can+ cn+1(2n+1)(n∈N*),其中实数c≠0. ①求{an}的通项公式并用数学归纳法证明. ②若对一切k∈N*有a2k>a2k-1,求c的取值范围.

【解题探究】1.题(1)中怎样计算a2,a3,a4的值,猜想an的依 据是什么? 2.题(2)①中怎样处理an+1中的c,用数学归纳法证明的关键是 什么?②中对恒成立问题怎样处理? 【探究提示】1.利用an与Sn之间的关系将条件转化为an+1与an的 关系,求a2,a3,a4,猜想的依据是归纳推理. 2.①中将c视为常数,利用数学归纳法的关键是用上归纳假设. ②中将恒成立问题转化为函数问题解决.

【自主解答】(1)选B.由Sn=n2an知Sn+1=(n+1)2an+1,

所以Sn+1-Sn=(n+1)2an+1-n2an,

所以an+1=(n+1)2an+1-n2an,

所以an+1= n an(n≥2).
n?2
当n=2时,S2=4a2,又S2=a1+a2,

所以a2= 1 a1= 1 ,a3= 2 a2= 1 ,

33

46

a4=

3 5

a3=

1, 10

由a1=1= 2 ,a2= 1 ? 2 ,a3= 1 ? 2 ,a4= 2 ,猜想

1? 2

3 2?3

6 3?4

4?5

an

?

2. n(n ?1)

(2)①由a1=1,a2=ca1+c2·3=3c2+c=(22-1)c2+c, a3=ca2+c3·5=8c3+c2=(32-1)c3+c2, a4=ca3+c4·7=15c4+c3=(42-1)c4+c3, 猜想an=(n2-1)cn+cn-1,n∈N*. 下面用数学归纳法证明: (i)当n=1时,等式成立.

(ii)假设当n=k(k≥1,k∈N*)时,等式成立,即ak=(k2-1)ck +ck-1, 则当n=k+1时,ak+1=cak+ck+1(2k+1) =c[(k2-1)ck+ck-1]+ck+1(2k+1) =(k2+2k)ck+1+ck =[(k+1)2-1]ck+1+c(k+1)-1, 即当n=k+1时,等式也成立. 由(i),(ii)可知,an=(n2-1)cn+cn-1对任意n∈N*都成立.

②由a2k>a2k-1,得[(2k)2-1]c2k+c2k-1>[(2k-1)2-1]·c2k-1+c2k-2. 因为c2k-2>0,所以4(c2-c)k2+4ck-c2+c-1>0对k∈N*恒成立. 记f(x)=4(c2-c)x2+4cx-c2+c-1,下面分三种情况讨论. (i)当c2-c=0,即c=0(舍去)或c=1时,代入验证可知c=1满足要 求. (ii)当c2-c<0时,抛物线y=f(x)开口向下,因此当正整数k充 分大时,f(k)<0,不符合题意,此时无解.

(iii)当c2-c>0,即c<0或c>1时,抛物线y=f(x)开口向上,其
对称轴x= 1 必在直线x=1的左边,因此,f(x)在[1,+∞)
2(1? c)
上是增函数.

所以要使f(k)>0对k∈N*恒成立,只需 f(1)>0即可.

由f(1)=3c2+c-1>0,解得 c ? ?1? 13 或 c ? ?1? 13 .

6

6

结合c<0或c>1得 c ? ?1? 13 或c>1.
6

综合以上三种情况,c的取值范围为(-∞,?1? 13)∪[1,
6

+∞).

【方法技巧】 1.“归纳—猜想—证明”的一般环节

2.“归纳—猜想—证明”的主要题型 (1)已知数列的递推公式,求通项或前n项和. (2)由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题,求使命题 成立的参数值是否存在. (3)给出一些简单的命题(n=1,2,3,…),猜想并证明对任意 正整数n都成立的一般性命题.

【变式训练】(2014·厦门高二检测)已知函数y=f(n)(n∈N*), 设f(1)=2,且任意的n1,n2∈N*,有f(n1+n2)=f(n1)·f(n2). (1)求f(2),f(3),f(4)的值. (2)试猜想f(n)的解析式,并用数学归纳法给出证明. 【解析】(1)因为f(1)=2,f(n1+n2)=f(n1)·f(n2), 所以f(2)=f(1+1)=f(1)·f(1)=22=4, f(3)=f(2+1)=f(2)·f(1)=22·2=23=8. f(4)=f(3+1)=f(3)·f(1)=23·2=24=16.

(2)猜想:f(n)=2n(n∈N*). 用数学归纳法证明如下: ①当n=1时,f(1)=21=2,所以猜想正确. ②假设当n=k(k≥1,k∈N*)时猜想正确,即f(k)=2k, 那么当n=k+1时,f(k+1)=f(k)·f(1)=2k·2=2k+1, 所以,当n=k+1时,猜想正确. 由①②知,对任意的n∈N*,f(n)=2n正确.

【补偿训练】已知f(x)=

2x x?2

,x1=1,xn=f(xn-1)(n≥2,

n∈N*),则x2,x3,x4分别为多少?猜想xn,并用数学归纳法

证明.

【解题指南】利用xn=f(xn-1)结合函数解析式,准确计算出x2, x3,x4,猜想出一般性结论后用数学归纳法证明.

【解析】因为f(x)= 2x ,x1=1,xn=f(xn-1),
x?2
所以x2=f(x1)=f(1)= 2,
3

x3

?

f (x2)

?

f ( 2) 3

?

2? 2 3
2?2

?

1 2

?

2, 4

3

x4

?

f (x3)

?

f(1) 2

?

2? 1 2
1?2

?

2, 5

猜想:x n

?

2. n ?1

2

用数学归纳法证明如下:

(1)当n=1时,左边=x1=1,右边= 2 =1,左边=右边,等式成立.
1?1

(2)假设当n=k(k∈N*,k≥1)时,等式成立,



xk

?

2, k ?1

当n=k+1时,xk?1
4

?

f

(xk

)

?

2x k xk ? 2

?

k 2

?1 ?

2

?

4 2k ?

4

?

k

2 ?

2

?

(k

2 ? 1)

, ?1

k ?1

所以当n=k+1时,等式成立.

由(1),(2)可知猜想成立.

【拓展类型】用数学归纳法证明几何问题

【备选典例】(1)凸n边形有f(n)条对角线,则凸n+1边形对角

线的条数f(n+1)为( )

A.f(n)+n+1

B.f(n)+n

C.f(n)+n-1

D.f(n)+n-2

(2)平面内有n(n∈N*,n≥2)条直线,其中任何两条不平行,

任何三条不过同一点,求证交点的个数f(n)= n(n ?1) .
2

【解析】(1)选C.增加一个顶点,就增加n+1-3条对角线,另外
原来的一边也变成了对角线,故f(n+1)=f(n)+1+n+1-
3=f(n)+n-1.故应选C.
(2)①当n=2时,两条直线的交点只有一个,又f(2)= 1 ×2
2
×(2-1)=1,所以当n=2时,命题成立.
②假设当n=k(k∈N*,k≥2)时命题成立,即平面内满足题设的
任何k条直线的交点个数f(k)= 1 k(k-1),
2

那么,当n=k+1时,任取一条直线l,除l以外其他k条直线的交
点个数为f(k)= 1 k(k-1),l与其他k条直线交点个数为k,从而
2
k+1条直线共有f(k)+k个交点,

即f(k+1)=f(k)+k= 1 k(k-1)+k= 1 k(k-1+2)

2

2

= 1 k(k+1)= 1 (k+1)[(k+1)-1],

2

2

所以当n=k+1时,命题成立.

由①,②可知,对任意n∈N*(n≥2)命题都成立.

【方法技巧】用数学归纳法证明几何问题的三个关注点 (1)用数学归纳法可以证明与正整数n有关的几何问题,常见的 形式有交点的个数问题,直线的条数问题,划分区域问题,以 及构成的角的个数问题. (2)证明几何问题的关键是“找项”,即几何元素由k个变成 k+1个,所证的几何量将增加多少,这需要用到几何知识或借 助几何图形分析. (3)几何问题的证明既要注意数形结合,又要注意有必要的文 字证明.

【规范解答】数学归纳法在证明不等式中的应用

【典例】(12分)用数学归纳法证明 1? n ? 1? 1 ? 1 ?
2 23

?

1 2n

≤ 1 +n(n∈N*).

2

【审题】抓信息,找思路

【解题】明步骤,得高分

【点题】警误区,促提升

失分点1:若①处把“1+ 1 ”写成“1”,第一步就不能得分.

2

失分点2:解答中,若②处写成“1 ?

1 2

?

1 3

???

1 2k

?

1 2k?1

”,则

漏掉了中间的一些项,造成该步不得分,即使用了归纳假设也

是徒劳.

失分点3:在解答中,若③处放缩的方向不正确,或放缩不适

度,都直接导致解不出来,这一般要扣多半分数.

失分点4:解答时若忽视④处,则导致证明过程不完整,考试

时最多得11分.

【悟题】提措施,导方向
1.搞清式子结构
在使用数学归纳法时,要分析透彻式子的结构,防止验证初始 值或n=k+1时证明出错,如本例n=1时,中间为1+ 1 ;n=k+1时
2
增加的不是1项而是很多项.
2.放缩要适度
作为n=k+1时证明的目标,证明中要瞄准这个方向,既要有方
向性,也要放缩适度,如本例中③处,“度”的把握非常关键.

【类题试解】(2014·石家庄高二检测)求证: 1 ? 1 ??? 1

n ?1 n ? 2

3n

? 5 (n≥2,n∈N*).
6

【证明】(1)当n=2时,左边= 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 19 ? 5 ,不等式成立.
3 4 5 6 20 6

(2)假设n=k(k≥2,k∈N*)时命题成立,即 1 ? 1 ??? 1 ? 5,

k ?1 k ? 2

3k 6

则当n=k+1时, 1 ? 1 ??? 1 ? 1 ? 1 ? 1

(k ?1) ?1 (k ?1) ? 2

3k 3k ?1 3k ? 2 3k ? 3

? ( 1 ? 1 ??? 1 )? ( 1 ? 1 ? 1 ? 1 )

k ?1 k ? 2

3k 3k ?1 3k ? 2 3k ? 3 k ?1

? 5 ? ( 1 ? 1 ? 1 ? 1 ) ? 5 ? (3? 1 ? 1 ) ? 5,

6 3k ?1 3k ? 2 3k ? 3 k ?1 6

3k ? 3 k ?1 6

所以当n=k+1时,不等式也成立.

由(1)(2)可知,原不等式对一切n≥2,n∈N*均成立.