当前位置:首页 >> >>

【2019年整理】12(1)常数项级数的概念和性质_图文

铛!铛!铛! ……

The class has already begun!

1

第十二章

无穷级数

R

2

级数论研究什么问题?
★ 1+2+3+4=10 一般的,a1 ? a 2 ? ... ? a n 的结果是一个数,但是
当 n 趋近于无穷大时, 即a1 ? a 2 ? ... ? a n ? ...其 结果是不是仍然是一个数呢?

1 1 1 例如:1) ? ? ... ? n ? ...的结果为 1。 2 4 2 2 n 2) 2 ? 2 ? ... ? 2 ? ...不是一个数。

3

问题1: a1 ? a 2 ? ... ? a n ? ... 什么时候表示数?什么时候
不表示数?进一步,当表示一个数时,是不是仍然 象有限个数的加法一样满足结合律,交换律?

4



f ( x ), g ( x )是[a , b]上的函数,则 f ( x ) ? g ( x )也是[a , b]上的函数

一般的,有限个函数的和仍然是函数,但是 无限个函数的和呢?
2 n 1 ? x ? x ? ... ? x ? ...当 x ? ( ?1,1) 时表示 例如:

一个函数,但是当 x ? ( ?1,1) 不是一个函数。

5

问题2:
无限个函数的和的结果什么时候是函数?什么 时候不是函数?

问题3:
有限个连续函数的和仍然是连续函数,那么 如果无限个连续函数的和仍然是函数,是不 是仍然连续?

6

本章的级数理论,主要是考虑如上的一些在有 限和的情况下成立的结论,在无限和的情况下 是否仍然成立,即无穷级数的收敛性问题。 在积分运算和微分方程求解时,也经常使用 到无穷级数。 在自然科学和工程技术中,也常用无穷级数来 分析问题。

7

第一节 常数项级数的概念和性质
常数项级数的概念 收敛级数的基本性质

8

一、常数项级数的概念
人们认识事物在数量方面的特性,往往有一个 由近似到精确的过程,在这种过程中,会遇到由 有限到无穷多个数量相加的问题。



计算圆面积
方法:以圆内接正多边形的面积 近似表示圆面积。

9

内接正六边形面积为 a1 内接正十二边形面积为a1 ? a2 (a2为6个等腰三角形面积)
内接正二十四边形面积为 a1 ? a2 ? a3 内接正 3 ? 2n边形面积为
n n? ? n

A ? a1 ? a2 ?

? an? ? ai
i ?1

圆面积 A ? lim ? ai ? a1 ? a2 ? ... ? an ? ...
i ?1

无穷多个数量依次相加。

10

1. 级数的定义
给定一个数列

?u
n ?1

?

u1 , u2 , u3 ,?, un ? 一般项
(1)

n

? u1 ? u2 ? u3 ? ? ? un ? ?

3 3 3 ? ? ? ? n ? ?; 如 10 100 10 1 1 1 n ?1 1 1 ? ? ? ? ? ? ( ?1) ? ?; 2 3 4 n 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? (?1)n?1 ? ?.

(常数项)无穷级数

问题:这种表达式是什么意思?

11

2. 级数的收敛与发散概念

?u
n ?1

?

n

? u1 ? u2 ? u3 ? ? ? un ? ?

含义是 什么?

明显:

按通常的加法运算一项一项的加下去,永远

也算不完, 那么级数的结果是什么呢? 级数是不是表示一个数,等价于部分和数列 {s n }是 不是存在极限! 称无穷级数的 前n项和

sn ? u1 ? u2 ? ? ? un ? ? ui 为级数的 部分和.
这样, 级数对应一个部分和数列{sn}:
i ?1

n

s1 ? u1 , s2 ? u1 ? u2 , s3 ? u1 ? u2 ? u3 , ?, sn ? u1 ? u2 ? ? ? un , ?
12

给定级数就可以决定{sn},反之一样.

定义 当n无限增大时, 如果级数? un的部分和

?

数列sn有极限s, 即 lim sn ? s. 则称无穷级数
s叫 做 级 数 ? u 收 敛, 这 时 极 限 ? u 的 和.
n ?1 n
n ?1 n

n ?1

?

n? ?

?

并写成 s ? u1 ? u2 ? ? ? un ? ?

如果sn没有极限 , 则称无穷级数 ? un发 散.
n ?1

?

即 lim sn存在 (不存在) ?常数项级数收敛 (发散).
n? ?

13

?u
n ?1

?

n

? u1 ? u2 ? u3 ? ? ? un ? ? (1)

级数的敛散性它与部分和数列是否有

极限是等价的.
这种等价关系将级数的敛散性,转化为 数列极限是否存在的问题。 它是最基本的级数敛散性的判断方法。

14

?u
n ?1

?

n

? u1 ? u2 ? u3 ? ? ? un ? ? (1)
?

对收敛级数(1), 称差

rn ? s ? sn ? un?1 ? un? 2 ? ? ? ? un? i
rn ? 0 为级数(1)的余项或余和.显然有 lim n? ?
i ?1

当n充分大时, sn ? s

误差为 | rn |

15

例 级数 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? ? 的部分和



n( n ? 1) sn ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 2 n( n ? 1) lim sn ? lim ? ? n? ? n? ? 2

所以, 级数发散.

16

例 讨论等比级数(几何级数)
n 2 n aq ? a ? aq ? aq ? ? ? aq ? ? ( a ? 0) ? n? 0 ?

的收敛性. 解 如果q ? 1 时

sn ? a ? aq ? aq 2 ? ? ? aq n?1

a ? aq n a aq n ? ? ? 1? q 1? q 1? q

17

当 q ? 1 时, ? lim q n ? 0
a ? lim sn ? n? ? 1 ? q 级数收敛
n? ?

a aqn sn ? ? 1? q 1? q

sn ? ? 级数发散 q n ? ? ? lim 当 q ? 1 时, ? lim n ? ? n? ?

如果 q ? 1 时 当q ? 1 时, sn ? na ? ? 级数发散 级数发散 当q ? ?1 时, 级数变为 a ? a ? a ? a ? ?
? ?当 q ? 1时, 收敛 综上 ? aq ? ? n? 0 ?当 q ? 1时, 发散
? n

以后会经常用到, 必须记住!

18

例 讨论级数 ? 3 ln n a(a ? 0) 的敛散性.
n 3 ln a 是以 ln a 为公比的等比级数, 解 因为 ? ?
n ?1

?

故 | ln a |? 1, 当 1 ? a ? e时, 级数 收敛. e 1 | ln a |? 1, 当0 ? a ? 或a ? e时, 发散. e
? ?当 q ? 1时, 收敛 aq ? ? ? n? 0 ?当 q ? 1时, 发散
? n

n ?1

19

例 判定级数

1 1 1 ? ? ?? ? ? 的收敛性. 1? 3 3 ? 5 ( 2n ? 1) ? ( 2n ? 1)
1 1 1 1 解 ? un ? ? ( ? ) ( 2n ? 1)( 2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 ? sn ? ? ? ?? 1? 3 3 ? 5 ( 2n ? 1) ? ( 2n ? 1)
1 1 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) 2 3 2 3 5 2 2n ? 1 2n ? 1

20

1 1 sn ? (1 ? ) 2 2n ? 1 1 1 1 ? lim sn ? lim (1 ? )? n?? n?? 2 2n ? 1 2

1 ? 级数收敛 , 和为 . 即 2 1 1 1 1 s? ? ? ?? ??? 1? 3 3 ? 5 ( 2n ? 1) ? ( 2n ? 1) 2

21

练习 判定级数

1 1 1 ? ? ?? ? ? 的收敛性. 1? 2 2 ? 3 n ? ( n ? 1)
级数收敛, 且其和为1.

22

二、收敛级数的基本性质
性质1 若
?

? un收敛于s, 则 ? kun 收敛于ks. n ?1
?

?

?

n ?1

证 令? un与? kun 的部分和分别为 sn 及? n . 则

? n ? ku1 ? ku2 ? ? ? kun ? k ( u1 ? u2 ? ? ? un ) ?ksn 于是 当sn ? s, ? n ? ksn ? ks ; 得证.

n ?1

n ?1

23

性质1 若

? un收敛于s, 则 ? kun 收敛于ks. n ?1
n ?1

?

?

? n 也不存在极限.

由 ? n ? ksn知, 当sn不存在极限且 k ? 0时,

即 k ? 0 时,数列 {? n },{ sn } 的敛散性相同. 所以 k ? 0 时,级数? un , ? kun的敛散性相同.
n ?1 n ?1 ? ?

结论1: 级数的每一项同乘一个不为零的常 数,敛散性不变.

结论2:收敛级数对非零乘数的分配律成立.

24

性质2 设有两个级数

若? un ? s,
n ?1

?

vn ? ? , 则? ( un ? vn ) ? s ? ? . ? n ?1
n ?1
n

?

un与? vn , ? n ?1 n ?1
?

?

?

证 级数的部分和 ? ( ui ? vi ) ? ? ui ? ? vi
i ?1

n

n

ui ? lim ? vi ? s ? ? 所以 lim? ( ui ? v i ) ? lim ? n? ? n? ? n? ? i ? 1 i ?1 i ?1 得证.

n

n

i ?1

i ?1 n

结论: 收敛级数逐项相加减后保持收敛性.

25

1 例 ? n?1 , ? n 都收敛. n ?1 2 n ?1 3
?

?

1

?

? ?当 q ? 1时, 收敛 aq ? ? ? n? 0 ?当 q ? 1时, 发散
? n

? 1 1 1 1 ? ? ? n ?1 ? n ? ? ? n ?1 ? ? n ? 3 ? n ?1 2 n ?1 ? 2 n ?1 3

?

1 1 5 ? ? ? ? 1 3 1 2 1? 1? 2 3

1

26

性质2 设有两个级数
若? un ? s ,
n ?1 ?
?

un与? vn , ? n ?1 n ?1
? n ?1

?

?

vn ? ? , 则? ( un ? vn ) ? s ? ? . ? n ?1

问题1
若? un 收敛, ? v n 发散, 则? ( un ? vn ) 敛散性如何?
n ?1 ?

?

?

n ?1

n ?1

必发散.

27

性质2 设有两个级数
若? un ? s ,
n ?1 ?
?

un与? vn , ? n ?1 n ?1
? n ?1

?

?

vn ? ? , 则? ( un ? vn ) ? s ? ? . ? n ?1

问题2
若? un , ? v n 均发散, 则? ( un ? vn ) 敛散性如何?
n ?1 ?

?

?

n ?1

n ?1

可能发散也可能收敛.

28

例 1 ? 1 ? 1 ? ?, (?1) ? (?1) ? (?1) ? ?, 都发散.

[1 ? ( ?1)] ? [1 ? ( ?1)] ? ? ? 0 ? 0 ? ? ? 0 ? ?? 0
收敛. 能否举出发散级数的和仍然发散的例子?

1 ? 1 ? 1 ? ?, 1 ? 2 ? 3 ? ?, 都发散.
2 ? 3 ? 4 ? ?, 发散.

29

性质3 添加、去掉或者改变有限项不影响一个级数 的敛散性. 1 1 1 ? 2 ? ? ? n ? ? 收敛 例 2 2 2 1 1 1 1 ? 2 ? ... ? 100 ? ? 2 ? ? ? n ? ? 收敛 2 2 2 1 1 1 ? 6 ? 7 ?? 收敛 2 2 2 1 1 1 1 ? 2 ? 3 ? ? n ? ? 收敛 100 ? 2 2 2 2 问题 收敛的情况下,是否收敛于同样的和?

30

性质4 设级数? un 收敛, 则对其各项任意加括号所得
n ?1

?

新级数仍收敛,且收敛于原级数的和. 例 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ?? ? 1 2 2 2 2 3 24 25 26
1 1 1 1 1 1 ? ( 2 ? 3)? ( 4 ? 5 ? 6)?? 2 2 2 2 2 2 1 3 7 ? ? ? ?? ? 1 2 8 64 证明作为课下练习.

31

性质4 设级数? un 收敛, 则对其各项任意加括号所得
n ?1

?

新级数仍收敛,且收敛于原级数的和. 注

①一个级数加括号后所得新级数发散,则

原级数发散. 事实上, 设原来的级数收敛, 则根据性 质4, 加括后的级数就应该收敛了. ②一个级数加括号后收敛, 原级数 敛散性不确定.

例如 (1 ? 1) ? (1 ? 1) ? ? 1?1?1?1??

收敛
发散

32

性质5 (级数收敛的必要条件)
收敛级数的一般项趋于零,即

lim un ? 0
证 令 ? un 的部分和为
n ?1 ?

n? ?

sn , 且

lim sn ? s,
n? ?

un ? lim( sn ? sn?1 ) 则 lim n? ? n? ?

? lim sn ? lim sn?1
n?? n??

? 0.

33

性质5 收敛级数的一般项趋于零。

注 ① 级数收敛的必要条件,常用判别级数发散;
②逆命题不成立. 一般项趋于零时,级数可能收敛也可能发散 1 1 1 un ? 0且级数收敛. ? 2 ? ? ? n ? ? lim 如 n? ? 2 2 2
1 1 1 调和级数 1 ? ? ? ? ? ? ? 有 lim un ? 0 n? ? 2 3 n

但级数是否收敛

34

1 1 1 调和级数 1 ? ? ? ? ? ? ? 是否收敛 ? 一定发散 常用! 2 3 n

讨论 假设级数收敛于s, 部分和为sn,明显:
lim sn ? s n? ? lim s2 n ? s
n? ?

lim( s2 n ? sn ) ? s ? s ? 0 n? ? 1 1 1 ? ? ... ? 由于 s2 n ? sn ? n?1 n? 2 2n 1 1 1 1 ? . ? ? ? ... ? 2n 2n 2n 2 s2 n ? sn 不可能以零为极限. 矛盾!
所以

35

例 判别下列级数的敛散性 3 ? n ? 2n ? 5 (1) ? n?1 ( 2n ? 1)( 2n ? 1)( 2n ? 3) n ? 3n ( 2) ? n ( 1 ? n ) n ?1
? 1 ln n 3 ? ( 3) ? ? ? 3n ? 3 n ? ? n ?1 ? ?
?

36

n ? 2n ? 5 发散 (1) ? n?1 ( 2n ? 1)( 2n ? 1)( 2n ? 3) n 3 ? 2n ? 5 1 解 由于 lim un ? lim ? ?0 n ? ? n? ? ( 2n ? 1)( 2n ? 1)( 2n ? 3) 8
3

?

3n n ( 2) ? n ( 1 ? n ) n ?1

?

发散

1 3 ? ?0 解 由于 lim un ? 3 lim n n? ? n? ? e 1? ? ?1 ? ? n? ?

37

? 1 ln n 3 ? ( 3) ? ? ? 3n ? 3 n ? ? n ?1 ? ?
?
? 1 1 因调和级数 解 发散, 由性质1知, ? 发散. ? n ?1 n n ?1 3n ? ln n 3 l n3 而级数 ? n 是以 r ? 为公比的等比级数, 3 n ?1 3 ln 3 ? 1 所以这个等比级数 收敛. | r |? 3

?

? 1 ln n 3 ? 由性质2知, ? ? ? 3n ? 3 n ? ? 发散. n ?1 ? ?
?

38

练习
n??
?

判断题

(1) 若 lim un ? 0, 则? un必收敛.
n ?1

?



un ? 0. 错 ( 2 ) 若? un发散, 则必有lim n??
n ?1

( 3 ) 若 lim un ? 0, 则必有? un发散.
n??
n ?1

?

正确

39

(4) 收敛级数改变前100项得到的新级数可 能收敛也可能发散。 错 (5) 添加或者去掉级数的项不会影响级数的 错 敛散性。 (6) 级数加括号后收敛,则原级数必收敛。错

(7) 级数加括号后发散,则原级数必发散。 正确
(8) 收敛级数加括号必收敛。 正确

40

总结
本节课学习了哪些方法可以判断级数的敛散性? 1. 由定义, sn ? s 等价于级数收敛. 2.当 lim un ? 0, 则级数发散.
n??

3. 按基本性质.
4. 利用特殊级数:等比级数和调和级数.

41

作 业
习题11-1 3(2,3),4(1,2,5)

42