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【步步高】届高三数学大一轮复习 3.2导数的应用(一)教案 理 新人教A版

§3.2 2014 高考会这样考 参数的函数的单调性、极值问题. 复习备考要这样做 导数的应用(一) 1.利用导数的有关知识,研究函数的单调性、极值、最值;2.讨论含 1.从导数的定义和“以直代曲”的思想理解导数的意义, 体会导数的工 具作用;2.理解导数和单调性的关系,掌握利用导数求单调性、极值、最值的方法步骤. 1. 函数的单调性 在某个区间(a,b)内,如果 f′(x)>0,那么函数 y=f(x)在这个区间内单调递增;如果 f′(x)<0,那么函数 y=f(x)在这个区间内单调递减. 2. 函数的极值 (1)判断 f(x0)是极值的方法 一般地,当函数 f(x)在点 x0 处连续时, ①如果在 x0 附近的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0,那么 f(x0)是极大值; ②如果在 x0 附近的左侧 f′(x)<0,右侧 f′(x)>0,那么 f(x0)是极小值. (2)求可导函数极值的步骤 ①求 f′(x); ②求方程 f′(x)=0 的根; ③检查 f′(x)在方程 f′(x)=0 的根的左右两侧导数值的符号. 如果左正右负, 那么 f(x) 在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么 f(x)在这个根处取得极小值. 3. 函数的最值 (1)在闭区间[a,b]上连续的函数 f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值. (2)若函数 f(x)在[a,b]上单调递增,则 f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值; 若函数 f(x)在[a,b]上单调递减,则 f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值. (3)设函数 f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,求 f(x)在[a,b]上的最大值和最小 值的步骤如下: ①求 f(x)在(a,b)内的极值; ②将 f(x)的各极值与 f(a),f(b)进行比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最 小值. [难点正本 疑点清源] 1. 可导函数的极值表示函数在一点附近的情况,是在局部对函数值的比较;函数的最值是 表示函数在一个区间上的情况,是对函数在整个区间上的函数值的比较. 2. f′(x)>0 在(a,b)上成立是 f(x)在(a,b)上单调递增的充分条件. 3. 对于可导函数 f(x),f′(x0)=0 是函数 f(x)在 x=x0 处有极值的必要不充分条件. 1. 若函数 f(x)= 答案 3 x2+a 在 x=1 处取极值,则 a=________. x+1 2x +2x-x -a x +2x-a 解析 f′(x)= = .因为 f(x)在 x=1 处取极值, 所以 1 是 f′(x) x+ 2 x+ 2 =0 的根,将 x=1 代入得 a=3. 2. 函数 f(x)=x +ax-2 在(1,+∞)上是增函数,则实数 a 的取值范围是________. 答案 [-3,+∞) 解析 f′(x)=3x +a,f′(x)在区间(1,+∞)上是增函数, 则f′(x)=3x +a≥0 在(1,+∞)上恒成立,即a≥-3x 在(1,+∞)上恒成立.∴a≥-3. 3. 如图是 y=f(x)导数的图象,对于下列四个判断: ①f(x)在[-2,-1]上是增函数; ②x=-1 是 f(x)的极小值点; ③f(x)在[-1,2]上是增函数,在[2,4]上是减函数; ④x=3 是 f(x)的极小值点. 其中正确的判断是________.(填序号) 答案 ②③ 解析 ①∵f′(x)在[-2,-1]上是小于等于 0 的, ∴f(x)在[-2,-1]上是减函数; ②∵f′(-1)=0 且在 x=0 两侧的导数值为左负右正, ∴x=-1 是 f(x)的极小值点; ③对, ④不对,由于 f′(3)≠0. 4. 设函数 g(x)=x(x -1),则 g(x)在区间[0,1]上的最小值为 A.-1 答案 C 解析 g(x)=x -x,由 g′(x)=3x -1=0,解得 x1= 当 x 变化时,g′(x)与 g(x)的变化情况如下表: 3 2 2 2 2 2 3 2 2 2 ( ) B.0 2 3 C.- 9 D. 3 3 3 3 ,x2=- (舍去). 3 3 x g′(x) g(x) 所以当 x= 0 3? ? ?0, ? 3 ? ? - 3 3 0 极小值 ? 3 ? ? ,1? ?3 ? + 1 0 0 3 2 3 ? 3? 时,g(x)有最小值 g? ?=- . 3 9 ?3? 5. (2011·辽宁)函数 f(x)的定义域为 R,f(-1)=2,对任意 x∈R,f′(x)>2,则 f(x)>2x +4 的解集为 ( ) B.(-1,+∞) D.(-∞,+∞) A.(-1,1) C.(-∞,-1) 答案 B 解析 设 m(x) = f(x) - (2x + 4) ,∵m′(x) = f′(x) - 2>0 ,∴m(x) 在 R 上是增函 数.∵m(-1)=f(-1)-(-2+4)=0,∴m(x)>0 的解集为{x|x>-1},即 f(x)>2x+4 的解集为(-1,+∞). 题型一 利用导数研究函数的单调性 例1 已知函数 f(x)=e -ax-1. (1)求 f(x)的单调增区间; (2)是否存在 a,使 f(x)在(-2,3)上为减函数,若存在,求出 a 的取值范围,若不存在, 说明理由. 思维启迪:函数的单调性和函数中的参数有关,要注意对参数的讨论. 解 x f′(x)=ex-a, x (1)若 a≤0,则 f′(x)=e -a≥0, 即 f(x)在 R 上递增, 若 a>0,e -a≥0,∴e ≥a,x≥ln a. 因此当 a≤0 时,f(x)的单调增区间为 R,当 a>0 时,f(x)的单调增区间是[ln a,+∞). (2)∵f′(x)=e -a≤0 在(-2,3)上恒成立. ∴a≥e 在 x∈(-2,3)上恒成立. 又∵-2<x<3,∴e <e <e ,只需 a≥e .

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