当前位置:首页 >> 高二数学 >>

高中数学教案-人教A版必修5(13)——数列的求和方法


第 13 课时 数列的求和方法
(一)知识归纳: 1.拆项求和法:将一个数列拆成若干个简单数列(如等差数列、等比数列、常数数列 等等) ,然后分别求和. 2.并项求和法:将数列的相邻的两项(或若干项)并成一项(或一组)得到一个新的 且更容易求和的数列. 3.裂项求和法:将数列的每一项拆(裂开)成两项之差,使得正负项能互相抵消,剩 下首尾若干项. 4.错位求和法:将一个数列的每一项都作相同的变换,然后将得到的新数列错动一个 位置与原数列的各项相减,这是仿照推导等比数列前 n 项和公式的方法. 5.反序求和法:将一个数列的倒数第 k 项(k=1,2,3,…,n)变为顺数第 k 项,然后 将得到的新数列与原数列进行变换(相加、相减等) ,这是仿照推导等差数列前 n 项和公式 的方法. 6.分组组合求和:将数列中具有相同规律的项组合到一起分别求和 (二)学习要点: 1. “数列求和”是数列中的重要内容,在中学高考范围内,学习数列求和不需要学习任 何理信纸,上面所述求和方法只是将一些常用的数式变换技巧运用于数列求和之中. 在上面 提到的方法中, “拆项”“并项” “裂项”方法使用率比较高, 、 、 “拆项”的典型例子是数列 “ S n = 1 × 2 + 2 × 3 + L + n( n + 1) ” 的 求 和 ;“ 裂 项 ” 的 典 型 例 子 是 数 列 “ Sn =

1 1 1 + +L+ ” 的 求 和 ;“ 并 项 ” 的 典 型 例 子 是 数 列 1× 2 2 × 3 n(n + 1)
n +1

“ S n = 1 ? 2 + 3 ? 4 + 5 ? 6 + L + ( ?1)

? n ”的求和.

2. “错位”与“反序”求和方法是比较特殊的方法,使用率不高,其中“错位”求和方 法一般只要求解决下述数列的求和问题:若 {a n } 是等差数列,{ bn }是等比数列,则数列 { a n ? bn }的求和运用错位求和方法. 例 1.求下列数列的前 n 项和 Sn : (1)5,55,555,5555,…, (3) an =

5 n 1 1 1 1 (10 ? 1) ,…; (2) , , ,L , ,L ; 9 1× 3 2 × 4 3 × 5 n(n + 2)
(4) a, 2a 2 ,3a 3 ,L , na n ,L ; ( 6 )

1


n + n +1 ( 5 ) 1× 3, 2 × 4,3 × 5,L , n( n + 2),L ;
1

sin 2 1o + sin 2 2o + sin 2 3o + LL + sin 2 89o . 6n个 7 8 5 6n个 7 8 解: (1) S n = 5 + 55 + 555 + L + 55L 5 = (9 + 99 + 999 + L + 99L 9) 9 5 = [(10 ? 1) + (102 ? 1) + (103 ? 1) + L + (10n ? 1)] 9 5 50 5 = [10 + 10 2 + 103 + L + 10 n ? n] = (10n ? 1) ? n . 9 81 9 1 1 1 1 = ( ? ), (2)∵ n(n + 2) 2 n n + 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴ S n = [(1 ? ) + ( ? ) + ( ? ) + L + ( ? )] = (1 + ? ? ). 2 3 2 4 3 5 n n+2 2 2 n +1 n + 2 1 n +1 ? n (3)∵ an = = = n +1 ? n n + n + 1 ( n + n + 1)( n + 1 ? n ) 1 1 1 ∴ Sn = + +L + 2+ 1 3+ 2 n +1 + n = ( 2 ? 1) + ( 3 ? 2) + L + ( n + 1 ? n ) = n + 1 ? 1 .
(4) S n = a + 2a + 3a + L + na ,
2 3 n

当 a = 1 时, S n = 1 + 2 + 3 + … + n =

n(n + 1) , 2 2 3 n 当 a ≠ 1 时, S n = a + 2a + 3a + … + na ,

aS n = a 2 + 2a 3 + 3a 4 + … + na n +1 ,
两式相减得 (1 ? a ) S n = a + a + a + … + a ? na
2 3
n n +1

=

a (1 ? a n ) ? na n +1 , 1? a

na n + 2 ? (n + 1)a n +1 + a ∴ Sn = . (1 ? a) 2 (5)∵ n( n + 2) = n 2 + 2n ,
∴ 原式 = (12 + 2 2 + 32 + … + n 2 ) + 2 × (1 + 2 + 3 + … + n) = (6)设 S = sin 1 + sin 2 + sin 3 + LL + sin 89 ,
2 o 2
o

n(n + 1)(2n + 7) . 6

2

o

2

o

又∵ S = sin 89 + sin 88 + sin 87 + LL + sin 1 ,
2
o

2

o

2

o

2 o

∴ 2 S = 89 , S =

89 . 2

例 2.解答下述问题:

( 2n ) 2 (I)已知数列 {a n } 的通项公式 a n = ,求它的前 n 项和. (2n ? 1)(2n + 1)
2

n n + , 2n ? 1 2n + 1 1 2 2 n ?1 n ?1 n n + ∴ S n = (1 + ) + ( + ) + L + ( + )+( ), 3 3 5 2n ? 3 2n ? 1 2n ? 1 2n + 1 1 2 2 3 n ?1 n n n + = n+ =1 + ( + ) + ( + ) + L + ( )+ 3 3 5 5 2 n ? 1 2 n ? 1 2n + 1 2n + 1 2n(n + 1) = 2n + 1
[解析]Q a n = (II)已知数列 {a n } 的通项公式 a n =

2n + 1 , 求它的前 n 项和. [n(n + 1)]2

(n + 1) 2 ? n 2 1 1 [解析]Q a n = 2 = 2 ? , 2 n ? (n + 1) n (n + 1) 2

∴ S n = (1 ? = 1?

1 1 1 1 1 1 1 ) + ( 2 ? 2 ) +L+ ( ) ? 2)+( 2 ? 2 2 2 2 3 (n ? 1) n n (n + 1) 2

1 . (n + 1) 2

(III)求和: S n = 1 ? n + 2 ? ( n ? 1) + 3 ? ( n ? 2) + L + n ? 1; [解析]注意:数列的第 n 项“n·1”不是数列的通项公式,记这个数列为 {a n } , ∴其通项公式是

a k = k ? [n ? (k ? 1)] = kn ? k 2 + k (k = 1,2,3, L , n),

∴ S n = (1 + 2 + 3 + L + n) ? n ? (12 + 2 2 + 3 2 + L + n 2 ) + (1 + 2 + 3 + L + n)
n 2 (n + 1) n(n + 1)(2n + 1) n(n + 1) n(n + 1)(n + 2) = ? + = . 2 6 2 6 9 n (Ⅳ)已知数列 a n = ( n + 1) × ( ) , 求{a n }的前n项和S n . 10 9 n [解析] Q a n = n + 1为等差数列, bn = ( ) 为等比数列,∴应运用错位求和方法: 10

3

Q Sn = 2 ×

9 9 9 + 3 × ( ) 2 + L + (n + 1) × ( ) n ; 10 10 10 9 9 9 9 ∴ S n = 2 × ( ) 2 + 3 × ( ) 3 + L + (n + 1) × ( ) n +1 , 10 10 10 10 1 9 9 9 9 9 两式相减得 : S n = + [( ) 2 + ( ) 3 + L + ( ) n ] ? (n + 1) × ( ) n +1 10 5 10 10 10 10 9 81 9 9 99 9 = + × [1 ? ( ) n ] ? (n + 1) × ( ) n+1 = ? ( ) n +1 (n + 10), 5 10 10 10 10 10 9 ∴ S n = 99 ? 9(n + 10) × ( ) n . 10
(Ⅴ)求和 W = C n + 4C n + 7C n + 10C n + L + (3n + 1)C n
0 1 2 3 n

[解析]Q a n = 3n + 1为等差数列,∴ a 0 + a n = a1 + a n ?1 = L , 而 Cn = Cn
k n? k

,∴运用反序求和方法是比较好的想法,

0 1 2 n n Q W = C n + 4C n + 7C n + L + (3n ? 2)C n ?1 + (3n + 1)C n ①, 1 0 n n n = (3n + 1)C n + (3n ? 2)C n ?1 + (3n ? 5)C n ? 2 + L + 4C n + C n 0 1 1 0 n ∴W = (3n + 1)C n + (3n ? 2)C n + (3n ? 5)C n ? 2 + L + 4C n + C n ②,

①+②得 2W = (3n + 2)(C n + C n + C n + L + C n ) = (3n + 2) × 2 ,
0 1 2 n n

∴W = (3n + 2) × 2 n ?1.
[评析]例 1 讨论了数列求和的各种方法,关键是准确抓住数列通项公式呈现的规律,然 后选定一种求和方法,并作出相应的变换. 例 3.已知数列 {an } 的通项 an = ?

?6n ? 5 (n为奇数) ?2
n

(n为偶数)

,求其前 n 项和 Sn .

解:奇数项组成以 a1 = 1 为首项,公差为 12 的等差数列, 偶数项组成以 a2 = 4 为首项,公比为 4 的等比数列; 当 n 为奇数时,奇数项有

n +1 n ?1 (1 + 6n ? 5) 4(1 ? 4 2 ) (n + 1)(3n ? 2) 4(2n ?1 ? 1) ∴ Sn = 2 + = + , 2 1? 4 2 3
4

n +1 n ?1 项,偶数项有 项, 2 2

当 n 为偶数时,奇数项和偶数项分别有

n 项, 2

n n (1 + 6n ? 5) 4(1 ? 4 2 ) n(3n ? 2) 4(2 n ? 1) ∴ Sn = 2 + = + , 2 1? 4 2 3 ? (n + 1)(3n ? 2) 4(2 n ?1 ? 1) + (n为奇数) ? ? 2 3 . 所以, S n = ? n(3n ? 2) 4(2n ? 1) ? + (n为偶数) ? 2 3 ?
例 4.解答下列问题: 设 f ( x) =

x 2 ? 9 ( x ≤ ?3),
?1

(1)求 f (x ) 的反函数 f (2)若 u1 = 1, u n = ? f (3)若 a k =

( x);

?1

(u n?1 ), (n ≥ 2), 求u n ;

1 , k = 1,2,3, L , 求数列{a n }的前n项和S n ; u k + u k +1
?1

[解析](1) f (2)Q ?

( x) = ? x 2 + 9
2 ∴{u n } 是公差为 9 的等差数列,

?u1 = 1 ?u = u
2 n 2 n ?1

+ 9(n ≥ 2),

2 ∴ u n = 9n ? 8,

Q u n > 0,
1

∴ u n = 9k ? 8 ,
= 1 ( 9k + 1 ? 9k ? 8 ), 9

(3) a k =

9k ? 8 + 9k + 1

1 ∴ S n = [( 10 ? 1) + ( 19 ? 10 ) + L + ( 9n + 1 ? 9n ? 8 )] 9 1 = ( 9n + 1 ? 1); 9
(II)设函数 f ( x ) =

2x + 3 1 , 作数列{bn } : b1 = 1, bn = f ( )(n ≥ 2), 3x bn ?1
n ?1

求和: Wn = b1b2 ? b2 b3 + b3 b4 ? L + (?1)
5

? bn bn +1 .

2 2n + 1 1 ,∴ bn bn +1 = (4n 2 + 8n + 3), + bn ?1 ,∴ bn = 3 3 9 4 2 2 2 2 2 2 ①当 n 为偶数时 Wn = {(1 ? 2 ) + (3 ? 4 ) + L + [(n ? 1) ? n ]} 9
[解析]Q bn =

8 + {(1 ? 2) + (3 ? 4) + L + [(n ? 1) ? n]} 9 4 8 n = ? [3 + 7 + 11 + L + (2n ? 1)] ? × 9 9 2
=?

4 1 n 4 1 × × [ (2n + 2)] ? n = ? (2n 2 + 6n); 9 2 2 9 9 4 2 2 2 2 2 ②当 n 为奇数时 Wn = {(1 ? 2 ) + L + [(n ? 2) ? ( n ? 1) ] + n } 9

8 1 + {(1 ? 2) + (3 ? 4) + L + [(n ? 2) ? (n ? 1)] + n} + 9 3 4 8 n ?1 1 = {?[3 + 7 + 11 + (2n ? 3)] + n 2 } + [? + n] + 9 9 2 3 4 1 n ?1 8 n +1 1 1 = [? × × 2n + n 2 ] + × + = (2n 2 + 6n + 7). 9 2 2 9 2 3 9
[解析]例 2 中的(I)(II)两题是以数列求和为主要内容的数列综合试题,需要熟练运 、 用求和方法,问题(I)中运用了“裂项”求和方法,而问题(II)中灵活运用了 拆项与并项的求和方法. 例 5.已知数列 {a n } 的各项为正数,其前 n 项和 S n 满足S n = (

an + 1 2 ) , 2

(I)求 a n 与a n ?1 ( n ≥ 2) 之间的关系式,并求 {a n } 的通项公式;

(II)求证

1 1 1 + +L+ < 2. S1 S 2 Sn
2 2

[解析](I)Q 4 S n = ( a n + 1) ①,而 4 S n ?1 = ( a n ?1 + 1) ②, ①—②得 a n ? a n ?1 ? 2( a n + a n ?1 ) = 0 ? ( a n + a n ?1 )( a n ? a n ?1 ? 2) = 0,
2 2

Q a n > 0,∴ a n ? a n ?1 = 2(n ≥ 2),∴{a n }是公差d = 2 的等差数列, 而4a1 = (a1 + 1) 2 ? a1 = 1, ∴ a n = 2n ? 1;
6

(II)Q S n = n ,∴
2

1 1 1 1 1 1 + +L+ = 2 + 2 +L+ 2 S1 S 2 Sn 1 2 n

Q

1 1 1 1 < = ? (n ≥ 2), 2 n(n ? 1) n ? 1 n n 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴ + +L+ < 1 + (1 ? ) + ( ? ) + L + ( ? ) S1 S 2 Sn 2 2 3 n ?1 n = 2? 1 < 2. n

[评析]例 3 是十分常见的数列型的不等式证明问题,由于运用了数列求和的思想,∴作 出了一个巧妙的放缩变换,然后与数列求和挂上了钩.

7

《训练题》 一、选择题 1.在数列 {a n } 中, a n =

1 n + n +1

, 若其前n项和S n = 9 ,则项数 n 为





A.9 B.10 C.99 D.100 2 2 n- 1 2.数列 1, (1+2)(1+2+2 ) , ,…, (1+2+2 +…+2 ) ,…的前 n 项和等于 A. 2
n +1





?n

B. 2

n +1

?n?2
n ?1

C. 2 ? n ? 1
n

D. 2 ? n ? 2
n

3.设 S n = 1 ? 2 + 3 ? 4 + L + (?1) A.-1 4.数列 1, B.0

? n, 则S17 + S 33 + S 50 =
C.1 D.2





1 1 1 , ,L, 的前n项和为 1+ 2 1+ 2 + 3 1+ 2 + 3 +L+ n
B.





A.

n n +1

2n n +1
n 2

C.

2 n(n + 1)
2

D.

4 n(n + 1)
( )

5.数列{ a n }的前 n 项和 S n = 2 ? 1, 则a1 + a 2 + L + a n =
2

A. ( 2 n ? 1) 2

B. ( 2 ? 1)
n

1 3

C. 4 n ? 1

D. ( 4 ? 1)
n

1 3

6.数列{ a n }的通项公式为 a n = 4n ? 1, 令bn =

a1 + a 2 + L + a n , 则数列{ bn }的前 n 项和为 n
( )

A. n

2

B. n( n + 2)

C. n( n + 1)

D. n( 2n + 1)

二、填空题 7.数列 1,2

1 1 1 1 1 ,3 ,4 ,5 ,6 , LL 的前 10 项之和为 2 4 8 16 32

12 + 3 2 + L + (2n ? 1) 2 19 8.若 2 = , 则n = 22 2 + 4 2 + L + ( 2n) 2
9.已知{ a n }的前 n 项和 S n = n ? 4n + 1, 则 | a1 | + | a 2 | + L + | a10 | 的值为
2

10.已知数列{ a n }的通项公式是 a n = 三、解答题:

1 , 则前n 项和为 n + 5n + 6
2

8

11.已知数列{ a n }的各项分别为 1, a + a , a + a + a , a + a + a + a , LL , 求{a n } 的
2 2 3 4 3 4 5 6

前 n 项和 S n . 12.已知数列{ a n }满足: a1 + 3a 2 + L + ( 2n ? 1) a n = ( 2n ? 3) ? 2
n +1

, 数列{bn } 的前 n 项和

S n = 2n 2 + n ? 2.求数列{a n ? bn }的前n项和Wn .
13.设数列{ a n }中, a n = 1 + 2 + 3 + L + n( n ∈ N ), 将{a n } 中 5 的倍数的项依次记为
?

b1 , b2 , b3 , LL ,
(I)求 b1 , b2 , b3 , b4 的值. (II)用 k 表示 b2 k ?1与b2 k ,并说明理由. (III)求和: b1 + b2 + b3 + L + b2 n ?1 + b2 n . 14.数列{ a n }的前 n 项和为 S n ,且满足 a1 = 1,2 S n = ( n + 1) a n , (I)求 a n 与 a n ?1 的关系式,并求{ a n }的通项公式; (II)求和 Wn =

1 1 1 + 2 +L+ 2 . a ? 1 a3 ? 1 a n +1 ? 1
2 2

15. 将等差数列{ a n }的所有项依次排列, 并如下分组: a1 ) a 2 , a 3 ) a 4 , a 5 , a 6 , a 7 ) …, ( , ( , ( , 其中第 1 组有 1 项,第 2 组有 2 项,第 3 组有 4 项,…,第 n 组有 2 n ?1 项,记 Tn 为第 n 组中各项的和,已知 T3=-48,T4=0, (I)求数列{ a n }的通项公式; (II)求数列{Tn}的通项公式; (III)设数列{ Tn }的前 n 项和为 Sn,求 S8 的值.

9

《答案与解析》 一、1.C 2.B 3.C 4.B 5.D 6.B 二、7. 55

511 512
n ?1

8.10

9.67

10.

n 3(n + 3)

11.Q a n = a

+ a n + L + a 2n?2 ,

(1) 当a = 1时a n = n,∴ S n = (2)当 a ≠ 1时a n =

n(n + 1) ; 2

a n ?1 (1 ? a n ) a n ?1 ? a 2 n ?1 = , 1? a 1? a

∴ Sn =

1 [(1 + a + a 2 + L + a n ?1 ) ? (a + a 3 + L + a 2 n ?1 )], 1? a

1 1 ? a n a (1 ? a 2 n ) ① 当a ≠ ±1时, S n = [ ? ]; 1? a 1? a 1? a2
②当 a = ?1 时,1)当 n 为奇数时 S n =

1+ n ; 2 n 2)当 n 为偶数时 S n = . 2
n +1

12.当 n ≥ 2时, ( 2n ? 1) ? a n = ( 2n ? 3) ? 2
n

? (2n ? 5) ? 2 n = 2 n (2n ? 1),

? a n = 2 n ( n ≥ 2) ∴ a n = 2 ; 而a1 = ?4, 得? . ?a1 = ?4 当n ≥ 2时, bn = S n ? S n ?1 = 4n ? 1;
而 b1 = 1, 得?

?b1 = 1 . ?bn = 4n ? 1(n ≥ 2)

∴Wn = ?4 + [2 2 × 7 + 2 3 × 11 + L + 2 n (4n ? 1)], 记s = 2 2 × 7 + 2 3 × 11 + 2 4 × 15 + L + 2 n (4n ? 1) ①
∴ 2 s = 2 3 × 7 + 2 4 × 11 + L + 2 n (4n ? 5) + 2 n+1 (4n ? 1) ②,
①-②得 ? s = 28 + 4( 2 3 + 2 4 + L + 2 n ) ? 2 n +1 ( 4n ? 1)

10

= 28 + 32(2 n ?2 ? 1) ? 2 n +1 (4n ? 1) = ?4 + 2 n +1 (5 ? 4n), ∴ s = 4 + 2 n +1 (4n ? 5), 得Wn = 2 n +1 (4n ? 5).
13. (I) b1 = a 4 = 10, b2 = a 5 = 15, b3 = a 9 = 45, b4 = a10 = 55; (II)Q a n =

n(n + 1) = 5m(m ∈ N + ),∴ n = 5k或n + 1 = 5k (k ∈ N + ), 2

即n = 5k ? 1或n = 5k ,Q b2 k ?1 < b2 k ,∴ b2 k ?1 = a 5k ?1 = b2 k = a 5 k = 5k (5k + 1) ; 2
2

5k (5k ? 1) , 2

(III)Q b2 n ?1 + b2 n = 25n ,∴ b1 + b2 + L + b2 n = 14. (I)Q ?

25 n(n + 1)(2n + 1). 6

?2S n = (n + 1)a n n , 两式相减得a n = a n ?1 (n ≥ 2), n ?1 ?2S n ?1 = na n ?1



an a a a n n ?1 2 = n ? n?1 ? L ? 2 = ? ? L ? = n,∴ a n = n; a1 a n?1 a n ?2 a1 n ? 1 n ? 2 1
1 1 1 1 1 1 1 1 + + +L+ = [(1 ? ) + ( ? )] 1? 3 2 ? 4 3 ? 5 n ( n + 2) 2 3 2 4

(II) Wn =

1 1 1 1 1 3 1 1 + ( ? ) +L+ ( ? )] = [ ? ? ]. 3 5 n n+2 2 2 n +1 n + 2
15. (I)设{ a n }的公差为 d,则 T3 = 4a 7 ? 6d = ?48 ①,T4 = 8a 7 + 36d = 0 ②,解①、② 得 d = 2, a 7 = ?9,∴ a n = 2n ? 23; (II)当 n ≥ 2 时,在前 n-1 组中共有项数为 1 + 2 + L + 2
n ?1 n?2

= 2 n ?1 ? 1,

∴第 n 组中的 2

项的和Tn = (2 n ? 23) × 2 n ?1 +

2 n?1 (2 n ?1 ? 1) ×2 2

= 3 × 2 2 n ? 2 ? 24 × 2 n ?1 ;
(III) S 8为{a n }的前255项,

∴ S 8 = 59415.

11


赞助商链接
相关文章:
高中数学《数列的概念》教案13 北师大版必修5
高中数学数列的概念》教案13 北师大版必修5 - 第三章 一、知识网络: 数列 二、高考考纲要求: (1)理解函数的有关概念,了解递推公式是给出数列的一种方法,...
...数列22等差数列教学设计新人教A版必修5(数学教案)
高中数学第二章数列22等差数列教学设计新人教A版必修5(数学教案) - 等差数列 一、教学目标 1、通过实例,理解等差数列的概念; 2、探索并掌握等差数列的通项公式;...
高中数学《等差数列》教案 新人教A版必修5
高中数学《等差数列》教案 新人教A版必修5 - 等差数列 [教学目标] 1.知识与技能目标:掌握等差数列的概念;理解等差数列的通项公式的推导过程;了解 等差数列的 ...
...第二章数列二教学设计新人教A版必修5(数学教案)
新课标 高中数学第二章数列二教学设计新人教A版必修5(数学教案) - (新课标) 2015-2016 学年高中数学 第二章 数列 (二) 教学设计 新 人教 A 版必修 5 ...
高中数学等差数列第一课时教案新人教A版必修5
高中数学等差数列第一课时教案新人教A版必修5 - 等差数列(第一课时) 【教学目标】 知识目标:理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式. 能力目标:培养学生观察...
人教A版数学必修5数列新课教案一
人教A版数学必修5数列新课教案一_高一数学_数学_高中教育_教育专区。人教A版...1) 王新敞奎屯 新疆 如下数字排列的一个数列:3,5,8,13,21,34,55,89 递...
最新人教A版必修5高中数学 2.2 等差数列数列求和复习教...
最新人教A版必修5高中数学 2.2 等差数列数列求和复习教案(精品)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。数列求和 教学目标: 知识目标:熟练运用求和公式对等差、等比...
高中数学必修5教学案:第二章数列小结与复习
高中数学必修5教学案:第二章数列小结与复习_数学_...数列求和的常用方法有:公式法,拆项(分组)求和,倒序...高中数学教案-人教A版必... 5页 免费 喜欢...
人教版高中数学必修5《数列》教案
人教版高中数学必修5数列教案_数学_高中教育_...?? an ,则 S13 ? ___. 第 2 页共 9 页 ...{an}中,已知 Sn=48,S2n=60,求 S3n. 17.求和:...
人教A版数学必修五 《等差数列》教学设计
河南省濮阳市综合高中 2013-2014 学年高中数学必修 5 教学设 计:等差数列 一、教学内容分析 本节课主要研究如何应用倒序相加法求等差数列的前 n 项和以及该求和...
更多相关标签: