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江苏省徐州市2012-2013学年高一下学期期中考试数学试题答案

2012~2013 学年度第二学期期中考试

高一数学参考答案与评分标准
1.

3 2

2.

2

3. 16

4. 2 21

5.

5 6
13.

6.

24 7

7. 3

8. 等腰

9. 2 7

10. 1 11.

1 3

12.

24 ? 7 3 50

5? 3

14. 15

15. (本题满分 14 分) 解:(Ⅰ) f ( x) ?

1 1 ? cos x 1 1 sin x ? ? = (sin x ? cos x) ……………………3 分 2 2 2 2

=

2 ? sin(x ? ) ………………………………………………………………5 分 2 4

? sin( x ?

?
4

) ? ?? 1,1? ,?

? 2 2? 2 ? , sin(x ? ) ? ?? ? 2 2 ? 2 4 ?

? 2 2? , ? 函数 f ( x) 的值域为 ?? ? ……………………………………………7 分 ? 2 2 ?
(Ⅱ)由 (1) f (? ) ?

2 ? sin(? ? ) , 2 4



? 4 2 ? 2 2 ,即 sin(? ? ) ? …………………………………8 分 sin(? ? ) = 4 5 2 4 5

?0?? ? ? cos( ? ?

?
?
4
4

,?

?
4

?? ?

?
4

?

?
2

……………………………………………9 分

)?

3 ……………………………………………………………11 分 5

? sin ? = sin(? ?
=

?

4

?

?

4

) ? sin(? ?

?

4

) cos

?

4

? cos( ? ?

?

4

) sin

?

4

……………13 分

2 4 2 3 2 ? ? ? = ………………………………………………………14 分 5 2 5 2 10

16. (本题满分 14 分) 解:(Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差 d , ? a3 ? ?6, a6 ? 0

?a ? 2d ? ?6 ?? 1 ?a1 ? 5d ? 0
解得 a1 ? ?10, d ? 2

………………………………………2 分 ……………………………………4 分

? an ? ?10 ? (n ?1) ? 2 ? 2n ?12
(Ⅱ)设等比数列 {bn } 的公比为 q

…………………………………7 分

? b2 ? a1 ? a2 ? a3 ? ?24, b1 ? ?8
? ?8q ? ?24 ,

………………………………9 分 ………………………………11 分

即 q =3

? {bn } 的前 n 项和公式为 Sn ?

b1 (1 ? q n ) ? 4(1 ? 3n ) 1? q

……………………14 分

17. (本题满分 14 分) 解:(Ⅰ)在 ?ABC 中, 3 b sin A ? a cos B ,由正弦定理
得 3 sin B sin A ? sin A cos B

b a ? sin B sin A

…………………………………………………3 分

? A 是 ?ABC 的内角,? sin A ? 0 ,? 3 sin B ? cos B ………………………4 分

? tan B ?

3 3

…………………………………………………………………5 分

又 B 为三角形 ?ABC 内角,所以 B ?

?
6

…………………………………………7 分
3. 1 2 ? 3 2 3

a b a sin B ? (Ⅱ)在△ ABC 中,由正弦定理 得 sin A ? = sin A sin B b
?A?

………8 分

2? ………………………………………………………………10 分 3 3 ? ? 当 A ? ,C ? 3 2 或A ?

?

S ?ABC ?
当A?

1 3 3 ?3? 3 ? 2 2

………………………………………………………12 分

2? ? ,C ? 3 6

S ?ABC ?

1 ? 3 3 ? 3 ? 3 sin ? 2 6 4

…………………………………………………14 分

18. (本题满分 16 分)

D A P B E F C

第 18 题图

解:(Ⅰ)如图,作 AE ? CD于E ,? AB // CD , AB ? 12, CD ? 20 ,

? CE ? 12,ED ? 8 ,

8 12 ,在 RT ?CAE 中, tan ?CAE ? …………2 分 AE AE tan ?CAE ? tan ?DAE ……………4 分 ? tan?CAD ? tan(?CAE ? ?DAE) = 1 ? tan ?CAE ? tan ?DAE 12 8 ? 2 即 1 ? AE AE , AE ? 20AE ? 96 ? 0 ,解得 AE ? 24或AE ? ?4 (舍) 12 8 1? ? AE AE BC ? AE ? 24 ,? BC 长 24 米. …………………………………………6 分
在 RT ?DAE 中, tan ?DAE ? (Ⅱ)如图,作 PF ? CD于F ,则 PF ? BC ? 24

(0 ? x ? 12) , DF ? 20 ? x 设 CF ? x
tan ?CPF ?

20 - x 20 - x x x ? , tan ?DPF ? ? PF 24 PF 24
tan ?CPF ? tan ?DPF 1 ? tan ?CPF ? tan ?DPF

……………………8 分

tan?CPD ? tan( ?CPF ? ?DPF) =

x 20 ? x ? 480 480 24 24 ? ? 2 ……………………10 分 ? x 20 ? x x ? 20 x ? 576 (x ? 10) 2 ? 476 1? ? 24 24 120 ………………………………12 分 ? 当 x ? 10时 tan ?CPD 取到最大值 119

(x ?10)2 ? 467 ? 0 , tan ?CPD ? 0 ,? ?CPD是锐角, …13 分 ? 0 ? x ? 12 ,?
又正切函数在 ? 0, ? 上单调增,? x ? 10时?CPD取到最大值, 又 CF ? BP ,

? ?? ? 2?

? 当 BP ? 10 m 时,∠CPD 最大.…………………………………………………16 分

19. (本题满分 16 分) 解:(Ⅰ)在 ?ABD 中, AB ? 5 , ?BAD ? 600 , BD ? 31
由余弦定理, BD ? AB ? AD ? 2 AB ? AD cos?BAD
2 2 2

………………………4 分

1 2 , AD ? 5 AD ? 6 ? 0 ………………………………6 分 2 AD ? 6或AD ? ?1 (舍) ? AD 的长为 6 …………………………………………7 分 (Ⅱ)在 ?ABD , ?ADC 中分别应用正弦定理, BD 5 BD 5 ? ? , ………………………………9 分 0 sin 60 sin ?ADB sin ?BAD sin ?ADB DC AC DC AC , ………………………………11 分 ? ? 0 sin ?CAD sin ?ADC sin ?ADC sin 45 31 ? 25 ? AD 2 ? 10 AD ?

?ADC ? 1800 ? ?ADB?sin ?ADC ? sin(1800 ? ?ADB) ? sin ?ADB
2 BD 2 5 ? ? 又 CD ? 4 BD ,两式相比得: 3 4 BD AC 2

…………………………………14 分

2 5 , AC ? 10 6 ,? AC 的长为 10 6 …………………………………16 分 ? 4 3 AC
20. (本题满分 16 分) 解:(Ⅰ)证 明 : 由 Sn= 2an- n, 得 Sn+1= 2an+1- (n+ 1)

? an+1=2an+1-2an-1, ? an+1=2an+1,
1= 2(an+ 1), ? an+1+ ? ………………………………………2 分

an?1 ? 1 ? 2 ……………………………4分 an ? 1

又 当 n=1时 , S1= 2a1- 1, 所 以 a1= 1,a1 ? 1 ? 2 …………5分 所以数列{an+1}是首项为 2,公比为 2 的等比数列. ……6 分
(Ⅱ)由 (Ⅰ)得 an+ 1= ( a1+ 1) 2
n n-1

= 2n, 故 an= 2n- 1
*

…………8 分

(Ⅲ)由 (Ⅱ)得 bn= log22 , 即 bn= n(n∈N )

…………………………9分

数 列 {cn}中 , bk(含 bk项 )前 的 所 有 项 的 和 是 : k?k+ 1? k (1+ 2+ 3+ …+ k)+ (20+ 21+ 22+ …+ 2k-2)×2= 2 + 2- 2 …………12 分 当 k= 10时 , 其 和 是 55+ 210- 2= 1077<2 013 当 k= 11时 , 其 和 是 66+ 211- 2= 2112>2 013

又 因 为 2 013- 1 077= 936= 468×2, 是 2的 倍 数

…………14 分

所 以 当 m= 10+ (1+ 2+ 22+ …+ 28)+ 468= 989时 , Tm= 2013 所 以 存 在 m= 989使 得 Tm= 2 013 ……………16 分