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应用多元统计分析课后习题答案高惠璇(第二章部分习题解答)-文档资料_图文

应用多元统计分析
第二章部分习题解答

第二章

多元正态分布及参数的估计

2-1 设3维随机向量X~N3(μ,2I3),已知

? 2? 0.5 ? 1 0.5 ? ? 1? ? ? ? 0 ?, A ? ? ? ? 0.5 0 ? 0.5?, d ? ? 2 ?. ? 0? ? ? ? ? ? ?

试求Y=AX+d的分布.

解:利用性质2,即得二维随机向量Y~N2(?y,?y), 其中:

2

第二章

多元正态分布及参数的估计

2-2 设X=(X1,X2)′~N2(μ,Σ),其中 ?1 ? ?? 2? 1 ? ?? , ? ? ? ?? ? ? ? 1 ?. ? ? ? 2? (1)试证明X1 +X2 和X1 - X2相互独立. (2)试求X1 +X2 和X1 -X2的分布.

Y2= X1 -X2 = (1,-1)?X , 利用性质2可知Y1 , Y2 为正态随机变量。又 ?1? ?1? 2 Cov(Y1 , Y2 ) ? ?1 1??? ? ? ? ?1 ? ? 1 ? ? ?? ? ? 0 ? ? 1? ? ? 1?

解: (1) 记Y1= X1 +X2 =(1,1)?X,

故X1 +X2 和X1 - X2相互独立.

3

第二章
或者记

多元正态分布及参数的估计

? Y1 ? ? X 1 ? X 2 ? ?1 1 ?? X 1 ? Y ?? ??? ?? ? CX ? ? ? ? ? Y2 ? ? X 1 ? X 2 ? ?1 ? 1?? X 2 ?

则 Y ~ N 2 (C? , C?C?)
1 1 ? 2 ? 1 ? ??1 1 ? ? 因ΣY ? C?C ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 ? 1? ? ? 1 ??1 ? 1? 0 ? 2 ?1 ? ? 1 ? ? ??1 1 ? 2 ? 2(1 ? ? ) ?? ? ?? ? ? ? ? ? 2(1 ? ? ) ? ?1 ? ? ? ? 1??1 ? 1? ? 0

由定理2.3.1可知X1 +X2 和X1 - X2相互独立.
4

第二章
(2) 因

多元正态分布及参数的估计

? ? ?1 ? ?2 ? 2 ? 2(1 ? ? ) 0 ?? ? X1 ? X 2 ? Y ?? ~ N2 ? ? ,? ? ? ? ? ? 2(1 ? ? ) ? ? ? 0 ? X1 ? X 2 ? ? ? ?1 ? ?2 ?

? X 1 ? X 2 ~ N ( ?1 ? ? 2 ,2? (1 ? ? ));
2

X 1 ? X 2 ~ N ( ?1 ? ? 2 ,2? (1 ? ? )).
2

5

第二章

多元正态分布及参数的估计
? ?1 ? 2 ? ? ? , ? ? ? ?? 2 ?1 ? ?

2-3 设X(1)和X(2) 均为p维随机向量,已知

? ? ? (1) ? ? X (1) ? X ? ? ( 2) ? ~ N 2 p ? ? ( 2) ?, ? ?X ? ?? ? ?

其中μ(i) (i=1,2)为p维向量,Σi (i=1,2)为p阶矩阵,

(1) 试证明X(1) +X(2)和X(1) -X(2) 相互独立. (2) 试求X(1) +X(2) 和X(1) -X(2) 的分布. 解 :(1) 令

? X (1) ? X ( 2) ? ? I p I p ?? X (1) ? Y ? ? (1) ? ? ( 2) ? ? CX ( 2) ? ? ? ? ? ? X ? X ? ? I p ? I p ?? X ?
6

第二章

多元正态分布及参数的估计
I p ?? ?1 ? ? ? ? I p ?? ? 2 ? 2 ?? I p ? ? ?1 ?? ?Ip Ip ? ? ? Ip ? ?

?Ip 因D(Y ) ? CD( X )C ? ? ? ?I ? p ? ?1 ? ? 2 ?? ? ?1 ? ? 2

则 Y ~ N2 p (C?, C?C?)
?1 ? ? 2 ?? I p ? ? ? 2 ? ?1 ?? ?Ip

Ip ? ? ? Ip ? ?

O ? 2(?1 ? ? 2 ) ? ?? ? O 2(?1 ? ? 2 ) ? ?

由定理2.3.1可知X(1) +X(2)和X(1) -X(2) 相 互独立.
7

第二章
(2) 因
(1) ( 2)

多元正态分布及参数的估计

(1) ( 2) ? ? ? ? ? ? ? 2(?1 ? ?2 ) O ? ? ?X ? X ? ? Y ? ? (1) (2) ? ~ N 2 p ? , ? ? ? ? ( 1 ) ( 2 ) ? ? ? ? ? O 2(?1 ? ?2 ) ? ? X ? X ? ? ? ?? ?

所以

X ?X
(1) (1)

( 2) ( 2)

~ N p ( ? ? ? ,2(?1 ? ? 2 ));
(1) ( 2)

X ?X

~ N p ( ? ? ? ,2(?1 ? ? 2 )).
(1) ( 2)

注意:由D(X)≥0,可知 (Σ1-Σ2) ≥0.
8

第二章

多元正态分布及参数的估计

2-11 已知X=(X1,X2)′的密度函数为

1 ? 1 ? 2 2 f ( x1 , x2 ) ? exp?? (2 x1 ? x2 ? 2 x1 x2 ? 22x1 ? 14x2 ? 65)? 2? ? 2 ?

试求X的均值和协方差阵. 解一:求边缘分布及Cov(X1,X2)=σ12
1 2 2 ( 2 x1 ? 22 x1 ? 65) ? ( x2 ? 2 x1x2 ?14 x2 ) 1 ?1 2 f1 ( x1 ) ? ? f (x1 , x2 )dx2 ? e 2 e dx2 ? 2? ?? ?? ? ?

1 ? e 2?

? 1 2 ? ( 2 x1 ? 22 x1 ? 65) 2

??

?e

1 2 ? ( x2 ? 2 x2 ( x1 ?7 ) ? ( x1 ?7 ) 2 ) 2

dx2 ? e

1 ( x1 ?7 ) 2 2

9

第二章

多元正态分布及参数的估计
1 ? ( x2 ? x1 ? 7 ) 2 2

1 ? e e dx2 ? 2? ?? ? 1 2 1 ? ( x ? 8 x ? 16 ) ? ( x2 ? x1 ? 7 ) 2 1 1 1 1 2 ? e 2 ? e dx2 ? 2? 2? ?? 1 ? ( x1 ? 4 ) 2 1 ? e 2 ? X1 ~ N (4,1). 2?
类似地有
?

? 1 2 2 ? ( 2 x1 ? 22 x1 ? 65? x1 ?14 x1 ? 49 ) 2

f 2 ( x2 ) ?

? X 2 ~ N (3,2).

??

? f (x , x )dx ? ? ?
1 2 1

1 2? 2

e

1 ? ( x2 ?3) 2 4

10

第二章

多元正态分布及参数的估计
? u1 ? x1 ? 4 令? ?u2 ? x2 ? 3

? 12 ? Cov( X 1 , X 2 ) ? E[( X 1 ? E( X 1 ))(X 2 ? E( X 2 )]
? E[( X 1 ? 4)( X 2 ? 3)] ? ?? ( x1 ? 4)( x2 ? 3) f ( x1 , x2 )dx1dx2
1 2?
2 1

?
?

1 1 2 2 ? ?? u1u2 exp[ ? (2u1 ? u2 ? 2u1u2 )]du1du 2 2 ? 2 ? ? u 1
??
1

? u1e
2 u1 ? 2

?

2

? ( u 2 ? u1 ) 2 ? ? 1 u2e 2 du2 ?du1 ?? ? ?? 2? ?

1 2?

?

??

?u e
? ??

? ? 1 1 ? ( u 2 ? u1 ) 2 ? ( u 2 ? u1 ) 2 ? 1 ? 2 2 du2 ? u1 ? e du2 ?du1 ? ? (u2 ? u1 )e 2? ??? ?? ?

1 ?? 2?

?u e

2 u1 ? 2 2 1

du1 ? ?1

0

2?
11

第二章
所以

多元正态分布及参数的估计

? 4? ? 1 ? 1? E( X ) ? ? ? ? ? , D( X ) ? ? ?? ? ? 3? ? ?1 2 ? 1 1 ?1 ? 且f ( x1 , x2 ) ? exp[ ? ( x ? ? ) ? ( x ? ? )] 2? 2

故X=(X1,X2)′为二元正态分布.

12

第二章
1 2

多元正态分布及参数的估计
?
2 1

解二:比较系数法 1 ? 1 f ( x , x ) ? exp 设 ?? ( 2 x 2? 2
? 1 2??1? 2

? 2 ? x2 ? 2 x1 x2 ? 22x1 ? 14x2 ? 65)? ?

? 1 2 2 2 2 ? exp?? 2 2 [ ? ( x ? ? ) ? 2 ? ? ? ( x ? ? )( x ? ? ) ? ? ( x ? ? ) 2 1 1 1 2 1 1 2 2 1 2 2 ]? 2 2 1? ? ? 2? 1 ? 2 (1 ? ? ) ?

比较上下式相应的系数,可得:
?? ? 1 ? ? 2 ? 1 ? 12 2 ?? 2 ? 2 ?? 12 ? 1 ? ?? ? ?1? 2 ? 1 ?? 2? ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? ?22 1 2 1 2 2 ? 2 ? 2 ? ? 2 1 ? 2 ? ?1? 2 ?1 ? ?14 ? 2 2 2 2 ? ? ? ? ? 2 ? 1 ? 2 ? ?1? 2 ?1 ? 2 ? 1 2

?? 2 ? 2 ? ?? 1 ? 1 ?? ? ?1 / 2 ?

?4?1 ? 2? 2 ? 22 ? 2? ? 2? ? 14 2 ? 1

? 65

? ?1 ? 4 ?? ? 3 ? 2

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第二章

多元正态分布及参数的估计
? ?1 2 ?

故X=(X1,X2)′为二元正态随机向量.且 ? 4? ? 1 ? 1? E( X ) ? ? ? ? ? , D( X ) ? ? ???
? 3? 解三:两次配方法
2 1 2 2 2 (1)第一次配方: 2 x12 ? 2 x1 x2 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? x12

? 2 1?? x1 ? ? 2 1? ?1 1 ??1 1 ? 因2 x ? 2 x1 x2 ? x ? ( x1 , x2 )? , 而? ?? ? BB?, ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1?? x2 ? ? 1 1? ?1 0 ??1 0 ? ? y1 ? ?1 1 ?? x1 ? ? x1 ? x2 ? 2 2 2 2 令y ? ? ? ? ? ? , 则 2 x ? 2 x x ? x ? y ? y ? ? ? ? ? 1 1 2 2 1 2 y x x 1 0 ?? 2 ? ? 1 ? ? 2? ?

? x1 ? y2 (2)第二次配方.由于 ?x ? y ? y 1 2 ? 2

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第二章
2 1 2 2 2 1 2 1 2 2

多元正态分布及参数的估计

2 x ? x ? 2 x1 x2 ? 22x1 ? 14x2 ? 65 ? y ? y ? 22 y2 ? 14( y1 ? y2 ) ? 65 ? y ? 14 y1 ? 49 ? y ? 8 y2 ? 16 ? ( y1 ? 7) ? ( y2 ? 4)
2 2 2 2
? x1 ? y 2 即 1 ?x ? y ? y 1 2 2 ? 2 1 2 ? ( 2 x ? x ? 2 x x ? 22 x ? 14 x ? 65 ) ? 1 2 1 2 12 1 2 1 2[( y1 ?7 ) 2 ?( y2 ?4) 2 ] e e ? 2? 2?

? g ( y1 , y2 )

设函数 g ( y1 , y2 ) 是随机向量Y的密度函数.
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第二章
(3) 随机向量

多元正态分布及参数的估计
??7? ? ? Y1 ? Y ? ? ? ~ N 2 ? ? ?, I 2 ? ? Y2 ? ?? 4? ?

(4) 由于

? X 1 ? ? 0 1 ?? Y1 ? X ?? ??? ? CY ? ? ? ? X 2 ? ? 1 ? 1?? Y2 ?

? 0 1 ?? 7 ? ? 4 ? ? 0 1 ? ? 0 1 ? ? 1 ? 1? ? 1 ? 1?? 4 ? ? ? 3 ? , ? 1 ? 1? I 2 ? 1 ? 1? ? ? ? 1 2 ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? 4 ? ? 1 ? 1? ? 故 X ? CY ~ N ? ?? 2 ? ? ?, ?

? 4? ? 1 ? 1? E( X ) ? ? ?, D( X ) ? ? ? ? 3? ? ?1 2 ?

? ? 3 ? ? ?1 2 ? ?

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第二章

多元正态分布及参数的估计

2-12 设X1 ~N(0,1),令

?? X 1 , 当 - 1 ? X 1 ? 1 , X2 ? ? ? X 1 , 其它. (1)证明X2 ~N(0,1); (2)证明(X1 , X2 ) 不是二元正态分布. 证明(1):任给x,当x≤-1时

P{X 2 ? x} ? P{X1 ? x} ? ?( x)

当x≥1时, P{ X 2 ? x}
? P{ X 2 ? ?1} ? P{?1 ? X 2 ? 1} ? P{1 ? X 2 ? x} ? P{ X 1 ? ?1} ? P{?1 ? ? X 1 ? 1} ? P{1 ? X 1 ? x} ? P{ X 1 ? x} ? ?( x)

17

第二章
当-1≤x≤1时,

多元正态分布及参数的估计

P{ X 2 ? x} ? P{ X 2 ? ?1} ? P{?1 ? X 2 ? x} ? P{ X 1 ? ?1} ? P{? x ? X 1 ? 1} ? P{ X 1 ? ?1} ? P{?1 ? X 1 ? x} ? P{ X 1 ? x} ? ? ( x)

? X 2 ~ N (0,1).
(2) 考虑随机变量Y= X1-X2 ,显然有

? X 1 ? X 1 , 当 -1 ? X 1 ? 1 Y ? X1 ? X 2 ? ? 其它 ?0
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第二章

多元正态分布及参数的估计

P{Y ? 0} ? P{ X 1 ? 1或X 1 ? ?1} ? P{ X 1 ? 1} ? P{ X 1 ? ?1} ( X 1 ~ N (0,1)) ? 2?(?1) ? 0.3174? 0 若(X1 , X2 ) 是二元正态分布,则由性质4可知,
它的任意线性组合必为一元正态. 但Y= X1-X2 不是正态分布,故(X1 , X2 ) 不是二元正态分布.

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第二章

多元正态分布及参数的估计

2-17 设X~Np(μ ,Σ ),Σ >0,X的密度函数记为 f(x;μ ,Σ ).(1)任给a>0,试证明概率密度等高面 f(x;μ ,Σ )= a 是一个椭球面. 2? 1 ? ? (2) 当p=2且 ? ? ? ? ? (ρ>0)时,

?? 1?

概率密度等高面就是平面上的一个椭圆,试求该椭圆 的方程式,长轴和短轴. 1 p/2 1/ 2 证明(1):任给a>0,记 a0 ? (2? ) | ? | ,当0 ? a ? 时, a0

f ( x; ?, ?) ? a ? ( x ? ? )?? ( x ? ? ) ? b
?1
2 p/2 1/ 2

2

其中 b ? ?2 ln[a(2? )

| ? | ] ? ?2 ln[aa0 ] ? 0,

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第二章

多元正态分布及参数的估计

因? ? 0, ?的特征值记为?1 ? ?2 ? ? ? ? p ? 0, ?i 对应 的特征向量记特 li (i ? 1,2,?, p),则有 ? -1的谱谱分解

? ? ? li li?
?1 i ?1 ?i

p

1

(见附录§5 P390)

令 yi ? ( x ? ? )?li (i ? 1,2,?, p) ,则概率密度等高面为
2 ? ? ? ( x ? ? ) ? ( x ? ? ) ? ( x ? ? ) ? li li ( x ? ? ) ? b ?1 p

1

?

?? y
i ?1 i

p

1

i ?1

?i

2 i

?b

2

21

第二章
?
2 1

多元正态分布及参数的估计
2 2 2 p

y y y ? ??? ?1 2 2 2 ?1b ?2b ? pb

故概率密度等高面 f(x;μ,Σ)= a是一个椭球面. 4 2 2? 1 ? ? (2)当p=2且 ? ? ? ? (ρ>0)时, | ? |? ? (1 ? ? ). ? ?? 1?
2 2 ? ? ? ? ? 2 2 4 2 由 | ? ? ?I p |? ? (? ? ? ) ? ? ? 2 2 ? ? ? ??

? (? ? ? ? ? ? )(? ? ? ? ? ? ) ? 0
2 2 2 2

可得Σ的特征值 ?1 ? ? (1 ? ? ), ?2 ? ? (1 ? ? ).
2 2
22

第二章

多元正态分布及参数的估计

λi (i=1,2)对应的特征向量为 ? 1 ?

? 1 ? ? ? ? ? l1 ? ? 2 ? l1 ? ? 2 ? ? 1 ? ?? 1 ? ? ? ? ? 2? ? 2? ? 2 由(1)可得椭圆方程为 y12 y2 ? 2 ?1 2 2 2 ? (1 ? ? )b ? (1 ? ? )b

其中 b 2 ? ?2 ln[ a(2? ) | ? |1/ 2 ] ? ?2 ln[ 2?? 2 1 ? ? 2 a],

长轴半径为 d1 ? b? 1 ? ?, 方向沿着l1方向(b>0); 短轴半径为 d2 ? b? 1 ? ? , 方向沿着l2方向.
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第二章

多元正态分布及参数的估计

2-19 为了了解某种橡胶的性能,今抽了十个样品, 每个测量了三项指标: 硬度、变形和弹性,其数据见 表。试计算样本均值,样本离差阵,样本协差阵和样 本相关阵.

解:

24

第二章

多元正态分布及参数的估计

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