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《创新设计高考总复习》配套学案:数列求和


第4讲 [最新考纲]

数列求和

1.熟练掌握等差、等比数列的前 n 项和公式. 2.掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法.

知 识 梳 理 1.公式法 (1)等差数列的前 n 项和公式: n?a1+an? n?n-1? Sn= =na1+ 2 d. 2 (2)等比数列的前 n 项和公式:

?na1,q=1, n Sn=?a1-anq a1?1-q ? ? 1-q = 1-q ,q≠1.
2.数列求和的几种常用方法 (1)分组求和法 一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成, 则求 和时可用分组求和法,分别求和后相加减. (2)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差, 在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其 和. (3)错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的, 那 么这个数列的前 n 项和即可用此法来求, 如等比数列的前 n 项和公式就是用此法 推导的. (4)倒序相加法 如果一个数列{an}的前 n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个 常数, 那么求这个数列的前 n 项和可用倒序相加法,如等差数列的前 n 项和公式 即是用此法推导的. (5)并项求和法

在一个数列的前 n 项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和. 形如 an=(-1)nf(n)类型,可采用两项合并求解. 例如,Sn=1002-992+982-972+…+22-12=(1002-992)+(982-972)+…+(22 -12)=(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5 050. 3.常见的拆项公式 (1) (2) (3) 1 1 1 =n- ; n?n+1? n+1 1 ? 1 1? 1 =2?2n-1-2n+1?; ?2n-1??2n+1? ? ? 1 n+ n+1 = n+1- n. 辨 析 感 悟 数列求和的常用方法 (1)当 n≥2 时, 1 1 1 = - .(×) n2-1 n-1 n+1

(2)求 Sn=a+2a2+3a3+…+nan 时只要把上式等号两边同时乘以 a 即可根据错位 相减法求得.(×) (3)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法,利用此法可求得 sin2 1° +sin2 2° +sin2 3° +…+sin2 88° +sin2 89° =44.5.(√) (4)(2014· 南京调研改编)若 Sn=1-2+3-4+…+(-1)n-1· n,则 S50=-25.(√) [感悟· 提升] 两个防范 如(1). 二是含有字母的数列求和, 常伴随着分类讨论, 如(2)中 a 需要分 a=0, a=1, a≠1 且 a≠0 三种情况求和,只有当 a≠1 且 a≠0 时可用错位相减法求和. 学生用书 第 88 页 一是用裂项相消法求和时,注意裂项后的系数以及搞清未消去的项,

考点一

分组转化法求和

【例 1】 已知数列{an}的通项公式是 an=2· 3n-1+(-1)n(ln 2-ln 3)+(-1)nnln 3,

求其前 n 项和 Sn. 解 Sn=2(1+3+…+3n-1)+[-1+1-1+…+(-1)n](ln 2-ln 3)+[-1+2-3

+…+(-1)nn]ln 3, 所以当 n 为偶数时, 1-3n n n Sn=2× +2ln 3=3n+2ln 3-1; 1-3 当 n 为奇数时, 1-3n ?n-1 ? Sn=2× -(ln 2-ln 3)+? -n?ln 3 1-3 ? 2 ? n-1 =3n- 2 ln 3-ln 2-1. n n ? ?3 +2ln 3-1,n为偶数, 综上所述,Sn=? n-1 n 3 - ? ? 2 ln 3-ln 2-1,n为奇数. 规律方法 (1)等差数列、等比数列以及由等差数列、等比数列通过加、减构成的 数列,它们可以使用等差数列、等比数列的求和公式求解. (2)奇数项和偶数项分别构成等差数列或者等比数列的,可以分项数为奇数和偶 数时使用等差数列或等比数列的求和公式. 【训练 1】 (2014· 湖州质检)在等比数列{an}中,已知 a1=3,公比 q≠1,等差数 列{bn}满足 b1=a1,b4=a2,b13=a3. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; (2)记 cn=(-1)nbn+an,求数列{cn}的前 n 项和 Sn. 解 (1)设等比数列{an}的公比为 q,等差数列{bn}的公差为 d. 由已知,得 a2=3q,a3=3q2,b1=3,b4=3+3d,b13=3+12d, ?3q=3+3d, ?q=1+d, 故? 2 ?? 2 ?q=3 或 1(舍去). ?3q =3+12d ?q =1+4d 所以 d=2,所以 an=3n,bn=2n+1. (2)由题意,得 cn=(-1)nbn+an=(-1)n(2n+1)+3n, Sn=c1+c2+…+cn

=(-3+5)+(-7+9)+…+[(-1)n-1(2n-1)+ (-1)n(2n+1)]+3+32+…+3n. 3n+1 3 3n+1 3 当 n 为偶数时,Sn=n+ 2 -2= 2 +n-2; 3n+1 3 3n+1 7 当 n 为奇数时,Sn=(n-1)-(2n+1)+ 2 -2= 2 -n-2. 3 3 ? ? 2 +n-2,n为偶数, 所以 Sn=? n 1 3 7 ? ? 2 -n-2,n为奇数.


n+1

考点二

裂项相消法求和

2 【例 2】 (2013· 江西卷)正项数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:Sn -(n2+n-1)Sn-(n2

+n)=0. (1)求数列{an}的通项公式 an; (2)令 bn= 5 Tn<64.
2 2 解 (1)由 S2 n-(n +n-1)Sn-(n +n)=0,

n+1 ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,证明:对于任意的 n∈N*,都有 ?n+2?2a2 n

得[Sn-(n2+n)](Sn+1)=0. 由于{an}是正项数列,所以 Sn>0,Sn=n2+n. 于是 a1=S1=2,当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n. 综上,数列{an}的通项 an=2n. (2)证明 n+1 由于 an=2n,bn= 2, ?n+2?2an

1 ? n+1 1 ?1 则 bn= 2 . 2= ?n2- ? n + 2?2? 4n ?n+2? 16? ? 1 1 1 1 1 1 1? Tn=16?1-32+22-42+32-52+…+?n-1?2- ? 1 1 1 ? 2+ 2- n ?n+1? ?n+2?2? ?

1 1 1 ? 1? =16?1+22-?n+1?2-?n+2?2? ? ?

1? 5 1? <16?1+22?=64. ? ? 规律方法 使用裂项法求和时,要注意正负项相消时消去了哪些项,保留了哪些 项,切不可漏写未被消去的项,未被消去的项有前后对称的特点,实质上造成正 负相消是此法的根源与目的. 1 【训练 2】(2013· 滨州一模)已知数列{an}的前 n 项和是 Sn, 且 Sn+2an=1(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; 1 1 1 (2)设 bn=log1(1-Sn+1)(n∈N*),令 Tn=b b +b b +…+ ,求 Tn. bnbn+1 1 2 2 3 3 1 2 解 (1)当 n=1 时,a1=S1,由 S1+2a1=1,得 a1=3, 1 1 当 n≥2 时,Sn=1-2an,Sn-1=1-2an-1, 1 1 则 Sn-Sn-1=2(an-1-an),即 an=2(an-1-an), 1 所以 an=3an-1(n≥2). 2 1 故数列{an}是以3为首项,3为公比的等比数列. 2 ?1?n-1 ?1?n ?3? =2· ?3? (n∈N*). 故 an=3· ? ? ? ? 1 ?1? (2)因为 1-Sn=2an=?3?n. ? ? ?1? 所以 bn=log1(1-Sn+1)=log1?3?n+1=n+1, 3 3? ? 1 1 1 1 因为 = = - , bnbn+1 ?n+1??n+2? n+1 n+2 1 1 1 所以 Tn=b b +b b +…+ bnbn+1 1 2 2 3 1 ? ? 1 ?1 1? ?1 1? =?2-3?+?3-4?+…+?n+1-n+2? ? ? ? ? ? ? 1 1 n =2- = . n+2 2?n+2?

学生用书 考点三

第 89 页

错位相减法求和

【例 3】 (2013· 山东卷)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S4=4S2,a2n=2an +1. (1)求数列{an}的通项公式; an+1 (2)设数列{bn}的前 n 项和为 Tn, 且 Tn+ 2n =λ(λ 为常数), 令 cn=b2n, (n∈N*), 求数列{cn}的前 n 项和 Rn. 解 (1)设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d. 由 S4=4S2,a2n=2an+1,得 ?4a1+6d=8a1+4d, ? ?a1+?2n-1?d=2a1+2?n-1?d+1. 解得 a1=1,d=2. 因此 an=2n-1,n∈N*. (2)由题意知 Tn=λ- 2
n-1,

n

n-1 n-2 n 所以 n≥2 时,bn=Tn-Tn-1=- n-1+ n-2 = n-1 . 2 2 2 2n-2 1 故 cn=b2n= 2n-1 =(n-1)(4)n-1,n∈N*, 2 1 1 1 1 1 所以 Rn=0×(4)0+1×(4)1+2×(4)2+3×(4)3+…+(n-1)×(4)n-1, 1 1 1 1 1 1 则4Rn=0×(4)1+1×(4)2+2×(4)3+…+(n-2)×(4)n-1+(n-1)×(4)n, 两式相减得 1 1n -? ? 3 11 12 13 1 n-1 1n 4 4 1n 1 R - ( n - 1) × ( ) = - ( n - 1) × ( n = ( ) + ( ) + ( ) +…+ ( ) 4 4 4 4 4 4 1 4 ) =3 - 1-4 1+3n 1 n 3 (4) , 3n+1 1 整理得 Rn=9(4- n-1 ). 4

3n+1 1 所以数列{cn}的前 n 项和 Rn=9(4- n-1 ). 4 规律方法 (1)一般地,如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列, 求数列{an· bn} 的前 n 项和时,可采用错位相减法求和,一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的 公比,然后作差求解. (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准 确写出“Sn-qSn”的表达式. 【训练 3】 (2013· 嘉兴二模)在数列{an}中,a1=2,an+1=3an+2. (1)记 bn=an+1,求证:数列{bn}为等比数列; (2)求数列{nan}的前 n 项和 Sn. (1)证明 由 an+1=3an+2,可得 an+1+1=3(an+1).

因为 bn=an+1,所以 bn+1=3bn, 又 b1=a1+1=3,所以数列{bn}是以 3 为首项,以 3 为公比的等比数列. (2)解 由(1)知 an+1=3n,an=3n-1,所以 nan=n· 3n-n, 所以 Sn=(3+2· 32+…+n· 3n)-(1+2+…+n), n2+n 其中 1+2+…+n= 2 , 记 Tn=3+2· 32+…+n· 3n,① 3Tn=32+2· 33+…+(n-1)· 3n+n· 3n+1,② 两式相减得-2Tn=3+3 +…+3 -n· 3 2n-1 n+1 3 即 Tn= 4 · 3 +4, ?2n-1?· 3n+1 2n2+2n-3 所以 Sn= - . 4 4
2 n n+1

3-3n+1 = -n· 3n+1, -2

数列求和的方法技巧 (1)倒序相加:用于等差数列、与二项式系数相关联的数列的求和.

(2)错位相减:用于等差数列与等比数列的积数列的求和. (3)分组求和:用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和.

答题模板 7——求数列{|an|}的前 n 项和问题 【典例】 (14 分)(2013· 浙江卷)在公差为 d 的等差数列{an}中,已知 a1=10,且 a1,2a2+2,5a3 成等比数列. (1)求 d,an; (2)若 d<0,求|a1|+|a2|+…+|an|. [规范解答] (1)由题意得 5a3· a1=(2a2+2)2, 即 d2-3d-4=0.故 d=-1 或 4. 所以 an=-n+11,n∈N*或 an=4n+6,n∈N* , (2)设数列{an}的前 n 项和为 Sn. 因为 d<0,由(1)得 d=-1,an=-n+11. 1 21 ∴Sn=-2n2+ 2 n, 当 n≤11 时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an| 1 21 =Sn=-2n2+ 2 n. 当 n≥12 时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an| 1 21 =-Sn+2S11=2n2- 2 n+110. 综上所述,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an| 1 2 21 - ? ? 2n + 2 n,n≤11, =? 1 2 21 ? ?2n - 2 n+110,n≥12. (12 分) (10 分) (8 分) (2 分) (4 分) (6 分)

?14分?

[反思感悟] (1)本题求解用了分类讨论思想,求数列{|an|}的和时,因为 an 有正有 负,所以应分两类分别求和. (2)常出现的错误:①当 n≤11 时,求{|an|}的和,有的学生认为就是 S11=110; ②当 n≥12 时,求{|an|}的和,有的学生不能转化为 2(a1+a2+…+a11)-(a1+a2 +…+an),导致出错. 答题模板 求数列{|an|}的前 n 项和一般步骤如下: 第一步:求数列{an}的前 n 项和; 第二步:令 an≤0(或 an≥0)确定分类标准; 第三步:分两类分别求前 n 项和; 第四步:用分段函数形式下结论; 第五步:反思回顾:查看{|an|}的前 n 项和与{an}的前 n 项和的关系,以防求错结 果. 【自主体验】 已知等差数列{an}前三项的和为-3,前三项的积为 8. (1)求等差数列{an}的通项公式; (2)若 a2,a3,a1 成等比数列,求数列{|an|}的前 n 项和. 解 (1)设等差数列{an}的公差为 d, 则 a2=a1+d,a3=a1+2d, ?3a1+3d=-3, 由题意,得? ?a1?a1+d??a1+2d?=8. ?a1=2, ?a1=-4, 解得? 或? ?d=-3 ?d=3. 所以由等差数列的通项公式,可得 an=2-3(n-1)=-3n+5 或 an=-4+3(n-1)=3n-7. 故 an=-3n+5 或 an=3n-7. (2)由(1),知当 an=-3n+5 时,a2,a3,a1 分别为-1,-4,2,不成等比数列; 当 an=3n-7 时,a2,a3,a1 分别为-1,2,-4,成等比数列,满足条件.

?-3n+7,n=1,2, 故|an|=|3n-7|=? ?3n-7,n≥3. 记数列{|an|}的前 n 项和为 Sn. 当 n=1 时,S1=|a1|=4;当 n=2 时,S2=|a1|+|a2|=5; 当 n≥3 时,Sn=S2+|a3|+|a4|+…+|an| =5+(3×3-7)+(3×4-7)+…+(3n-7) =5+ ?n-2?[2+?3n-7?] 3 2 11 =2n - 2 n+10. 2

4,n=1, ? ? 当 n=2 时,满足此式.综上,Sn=?3 2 11 n - 2 n+10,n>1. ? ?2

基础巩固题组

(建议用时:40 分钟) 一、选择题
?Sn? 1.等差数列{an}的通项公式为 an=2n+1,其前 n 项和为 Sn,则数列? n ?的前 10 ? ?

项的和为 A.120 B.70 C.75

(

).

D.100

?Sn? 10×9 Sn 解析 因为 n =n+2,所以? n ?的前 10 项和为 10×3+ 2 =75. ? ?

答案 C 2.若数列{an}的通项公式为 an=2n+2n-1,则数列{an}的前 n 项和为 ( A.2n+n2-1 C.2n+1+n2-2 B.2n 1+n2-1


).

D.2n+n-2

2?1-2n? n?1+2n-1? 解析 Sn= + =2n+1-2+n2. 2 1-2 答案 C 3.数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 Sn=1-2+3-4+…+(-1)n-1· n,则 S17=

( A.9 解析 B.8 C.17

).

D.16

S17=1-2+3-4+5-6+…+15-16+17=1+(-2+3)+(-4+5)+(-

6+7)+…+(-14+15)+(-16+17)=1+1+1+…+1=9. 答案 A 4. (2014· 西安质检)已知数列{an}满足 a1=1, an+1· an=2n(n∈N*), 则 S2 012=( A.22 012-1 B . 3· 21
006

). -1

-3

C . 3· 21

006

D.3· 21 005-2 an+2· an+1 2 + 2 解析 a1=1,a2=a =2,又 = 2n =2. 1 an+1· an an+2 ∴ a =2.∴a1,a3,a5,…成等比数列;a2,a4,a6,…成等比数列, n ∴S2 012=a1+a2+a3+a4+a5+a6+…+a2 011+a2 012 =(a1+a3+a5+…+a2 011)+(a2+a4+a6+…+a2 012) 1-21 006 2?1-21 006? = + =3· 21 006-3.故选 B. 1-2 1-2 答案 B
? ? 1 ? ? 5.(2014· 杭州模拟)已知函数 f(x)=x2+2bx 过(1,2)点,若数列?f?n??的前 n 项和为 ? ? ? ?
n 1

Sn,则 S2 014 的值为 2 012 A.2 011 2 010 B.2 011 2 014 C.2 013

(

).

2 014 D.2 015

1 解析 由已知得 b=2,∴f(n)=n2+n, 1 1 1 1 1 ∴ = 2 = =n- , f?n? n +n n?n+1? n+1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 014 ∴S2 014=1-2+2-3+…+2 013-2 014+2 014-2 015=1-2 015=2 015. 答案 D

二、填空题 1 6.在等比数列{an}中,若 a1=2,a4=-4,则公比 q=________;|a1|+|a2|+… +|an|=________. 解析 设等比数列{an}的公比为 q,则 a4=a1q3,代入数据解得 q3=-8,所以 q =-2;等比数列{|an|}的公比为|q|=2, 1 1 1 则|an|=2×2n-1, 所以|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=2(1+2+22+…+2n-1)=2(2n-1) 1 =2n-1-2. 答案 -2 1 2n-1-2

7.(2013· 山西晋中名校联合测试)在数列{an}中,a1=1,an+1=(-1)n(an+1),记 Sn 为{an}的前 n 项和,则 S2 013=________. 解析 由 a1=1,an+1=(-1)n(an+1)可得 a1=1,a2=-2,a3=-1,a4=0,该 数列是周期为 4 的数列, 所以 S2 013=503(a1+a2+a3+a4)+a2 013=503×(-2)+1 =- 1 005. 答案 -1 005
2 2 8. (2014· 武汉模拟)等比数列{an}的前 n 项和 Sn=2n-1, 则 a2 1+a2+…+an=____.

解析 当 n=1 时,a1=S1=1, 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n-1-(2n-1-1)=2n-1,
2 又∵a1=1 适合上式.∴an=2n-1,∴an =4n-1. 2 ∴数列{a2 n}是以 a1=1 为首项,以 4 为公比的等比数列.

2 2 ∴a2 1+a2+…+an=

1· ?1-4n? 1 n =3(4 -1). 1-4

1 答案 3(4n-1) 三、解答题

2 9.正项数列{an}满足:an -(2n-1)an-2n=0.

(1)求数列{an}的通项公式 an; (2)令 bn= 1 ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. ?n+1?an

解 (1)由 a2 n-(2n-1)an-2n=0 得(an-2n)(an+1)=0,由于{an}是正项数列,则 an=2n. 1 1 (2)由(1)知 an=2n,故 bn= = ?n+1?an 2n?n+1? 1 ? 1?1 = ?n-n+1?, 2? ? 1 1 1 1 1 ? 1? ∴Tn=2?1-2+2-3+…+n-n+1? ? ? 1 ? 1? n =2?1-n+1?= . ? ? 2?n+1? 10.(2013· 烟台期末)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2an-2. (1)求数列{an}的通项公式; (2)记 Sn=a1+3a2+…+(2n-1)an,求 Sn. 解 (1)∵Sn=2an-2,∴当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2an-2-(2an-1-2), an 即 an=2an-2an-1,∵an≠0,∴ =2(n≥2,n∈N*). an-1 ∵a1=S1,∴a1=2a1-2,即 a1=2. 数列{an}是以 2 为首项,2 为公比的等比数列.∴an=2n. (2)Sn=a1+3a2+…+(2n-1)an =1×2+3×22+5×23+…+(2n-1)2n, ∴2Sn=1×22+3×23+…+(2n-3)2n+(2n-1)2n+1, ①-②得-Sn=1×2+(2×22+2×23+…+2×2n)-(2n-1)2n+1, 即-Sn=1×2+(23+24+…+2n+1)-(2n-1)2n+1 ∴Sn=(2n-3)· 2n+1+6. ① ②

能力提升题组

(建议用时:25 分钟)

一、选择题 1 1.(2014· 西安模拟)数列{an}满足 an+an+1=2(n∈N*),且 a1=1,Sn 是数列{an} 的前 n 项和,则 S21= 21 A. 2 B.6 C.10 ( ).

D.11

1 解析 依题意得 an+an+1=an+1+an+2=2, 则 an+2=an, 即数列{an}中的奇数项、 偶数项分别相等,则 a21=a1=1,S21=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a19+a20)+a21= 1 10(a1+a2)+a21=10×2+1=6,故选 B. 答案 B 2.(2014· 长沙模拟)已知函数 f(n)=n2cosnπ,且 an=f(n)+f(n+1),则 a1+a2+a3 +…+a100= A.-100 200 解析 若 n 为偶数,则 an=f(n)+f(n+1)=n2-(n+1)2=-(2n+1),为首项为 a2 =-5,公差为-4 的等差数列;若 n 为奇数,则 an=f(n)+f(n+1)=-n2+(n+ 1)2=2n+1,为首项为 a1=3,公差为 4 的等差数列.所以 a1+a2+a3+…+a100 =(a1+a3+…+a99)+(a2+a4+…+a100) =50×3+ 答案 A 二、填空题 4x ?1? ?2? ?10? 3. 设 f(x)= x , 利用倒序相加法, 可求得 f?11?+f?11?+…+f?11?的值为______. ? ? ? ? ? ? 4 +2 解 析 当 x1 + x2 = 1 时 , f(x1) + f(x2) = = 50×49 50×49 2 ×4+50×(-5)+ 2 ×(-4)=-100. B.0 C.100 ( ).

D . 10

=1. ?1? ?2? ?10? ? ? 1 ? ?10?? ? ? 2 ? ? 9 ?? 设 S=f?11?+f?11?+…+f?11?,倒序相加有 2S=?f?11?+f?11??+?f?11?+f?11?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?10? ? 1 ? +…+f?11?+f?11?=10,即 S=5. ? ? ? ? 答案 5 三、解答题 4. (2014· 洛阳模拟)在数列{an}中, a1=-5, a2=-2, 记 A(n)=a1+a2+…+an, B(n)=a2+a3+…+an+1,C(n)=a3+a4+…+an+2(n∈N*),若对于任意 n∈N*, A(n),B(n),C(n)成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{|an|}的前 n 项和. 解 (1)根据题意 A(n),B(n),C(n)成等差数列, ∴A(n)+C(n)=2B(n), 整理得 an+2-an+1=a2-a1=-2+5=3, ∴数列{an}是首项为-5,公差为 3 的等差数列, ∴an=-5+3(n-1)=3n-8. ?-3n+8,n≤2, (2)|an|=? ?3n-8,n≥3, 记数列{|an|}的前 n 项和为 Sn. n?5+8-3n? 3n2 13 当 n≤2 时,Sn= =- 2 2 + 2 n; ?n-2??1+3n-8? 3n2 13 当 n≥3 时,Sn=7+ = 2 - 2 n+14, 2 3 2 13 ? ?-2n + 2 n,n≤2, 综上,Sn=? 3 2 13 ? ?2n - 2 n+14,n≥3.


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