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高中数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程


数学学修 1—1 第二章圆锥曲线检测题 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.椭圆 x ? my ? 1 的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则 m 的值为( )
2 2

A.

1 4
2

B.

1 2

C.2

D.4

2.过抛物线 y ? 4 x 的焦点作直线 l 交抛物线于 A、B 两点,若线段 AB 中点的横坐标为 3, 则 | AB | 等于( ) A.10 B.8
2 2

C.6

D.4

3.若直线 y=kx+2 与双曲线 x ? y ? 6 的右支交于不同的两点,则 k 的取值范围是( )

A. (?

15 15 ) , 3 3
2

B. (0 ,

15 ) 3

C. (?

15 , 0) 3

D. (?

15 , ? 1) 3

4.过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点作直线交抛物线于 P (x1 , y1 ) 、 Q (x2 , y2 ) 两点,若

x1 ? x2 ? 3 p ,则 | PQ | 等于( )
A.4p B.5p C.6p D.8p

5 5 2 2 5.已知两点 M (1, ), N (?4,? ) ,给出下列曲线方程:① 4 x ? 2 y ? 1 ? 0 ;② x ? y ? 3 ;③ 4 4
x2 x2 ? y 2 ? 1 ;④ ? y 2 ? 1 .在曲线上存在点 P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是( ) 2 2
(A)①③ 6.已知双曲线 (B)②④ (C)①②③ (D)②③④

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0)的两个焦点为 F1 、 F2 ,点 A 在双曲线第一象限的 a 2 b2

图象上,若△ AF1 F2 的面积为 1,且 tan ?AF1 F2 ? ( ) A.

1 , tan ?AF2 F1 ? ?2 ,则双曲线方程为 2
12 y 2 ?1 5 x2 5 y2 ? ?1 3 12

12 x 2 ? 3y2 ? 1 5
2

B.

5x 2 y 2 ? ?1 12 3

C. 3 x ?
2

D.

7.圆心在抛物线 y ? 2 x( y ? 0) 上,并且与抛物线的准线及 x 轴都相切的圆的方程是( ) A. x ? y ? x ? 2 y ?
2 2
2 2

1 ?0 4

B. x ? y ? x ? 2 y ? 1 ? 0
2 2

C. x ? y ? x ? 2 y ? 1 ? 0

D. x ? y ? x ? 2 y ?
2 2

1 ?0 4

8.双曲线的虚轴长为 4,离心率 e ?

6 , F1 、 F2 分别是它的左、右焦点,若过 F1 的直线与 2


双曲线的右支交于 A、B 两点,且 | AB | 是 | AF2 | 的等差中项,则 | AB | 等于( A. 8 2
2

B. 4 2

C. 2 2

D.8. )

9.抛物线 ( x ? 2) ? 2( y ? m ? 2) 的焦点在 x 轴上,则实数 m 的值为( A.0 B.

3 2

C.2

D.3

10.已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F ( 7 ,0) ,直线 y ? x ? 1 与其相交于 M , N 两点,

MN 中点横坐标为 ?
x2 y2 ? ?1 (A) 3 4
2

2 ,则此双曲线的方程是( 3
(B)

)

x2 y2 ? ?1 4 3

x2 y2 ? ?1 (C) 5 2
0

x2 y2 ? ?1 (D) 2 5


11.将抛物线 y ? x ? 4 x ? 3 绕其顶点顺时针旋转 90 ,则抛物线方程为( (A) ( y ? 1) ? 2 ? x (B) ( y ? 1) ? x ? 2
2 2

(C) ( y ? 1) ? 2 ? x (D) ( y ? 1) ? x ? 2
2 2

12. 若直线 mx ? ny ? 4 和⊙O∶ x ? y ? 4 没有交点, 则过 (m, n) 的直线与椭圆
2 2

x2 y2 ? ?1 9 4

的交点个数( ) A.至多一个 B.2 个 C.1 个 二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 13.椭圆

D.0 个

x2 y2 1 ? ? 1 的离心率为 ,则 a=________. log a 8 9 2
2 2

14.已知直线 y ? x ? 1 与椭圆 mx ? ny ? 1 (m ? n ? 0) 相交于 A,B 两点,若弦 AB 的中点 的横坐标等于 ?

x2 y2 1 ,则双曲线 2 ? 2 ? 1 的两条渐近线的夹角的正切值等于________. m n 3
2

15.长为 l ( 0<l<1 ) 的线段 AB 的两个端点在抛物线 y ? x 上滑动,则线段 AB 中点 M 到 x 轴距离的最小值是________. 16.某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心 F 为焦点的椭圆,测得近地点 A 距离地面 m(km ) , 远地点 B 距离地面 n(km) ,地球半径为 R(km) ,关于这个椭圆有以下四种说法:

①焦距长为 n ? m ;②短轴长为 (m ? R)( n ? R) ;③离心率 e ?

n?m ;④若以 AB 方 m ? n ? 2R ?(m ? R)( n ? R) 向为 x 轴正方向,F 为坐标原点,则与 F 对应的准线方程为 x ? ? ,其中 ( n ? m)

正确的序号为________. 三、解答题(共 44 分) 17.(本小题 10 分)已知椭圆的一个顶点为 A(0,-1),焦点在 x 轴上.若右焦点到直线

x ? y ? 2 2 ? 0 的距离为 3.
(1)求椭圆的方程; (2)设椭圆与直线 y ? kx ? m (k ? 0) 相交于不同的两点 M、N.当 AM ? AN 时,求 m 的 取值范围.

x2 y2 18.(本小题 10 分)双曲线 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的右支上存在与右焦点和左准线等距 a b
离的点,求离心率 e 的取值范围.

19.(本小题 12 分)如图,直线 l 与抛物线 y 2 ? x 交于 A( x1 , y1 ) , B( x 2 , y 2 ) 两点,与 x 轴 相交于点 M ,且 y1 y 2 ? ?1 . (1)求证: M 点的坐标为 (1,0) ; (2)求证: OA ? OB ; (3)求 ?AOB 的面积的最小值. y

A O B M

x

20.(本小题 12 分)已知椭圆方程为 x ?
2

y2 ? 1 ,射线 y ? 2 2 x (x≥0)与椭圆的交点为 8

M,过 M 作倾斜角互补的两条直线,分别与椭圆交于 A、B 两点(异于 M). (1)求证直线 AB 的斜率为定值; (2)求△ AMB 面积的最大值.

三、解答题(20 分) 21. 本小题满分 10 分) ( 已知直线 l 与圆 x ? y ? 2 x ? 0 相切于点 T, 且与双曲线 x ? y ? 1
2 2 2 2

相交于 A、B 两点.若 T 是线段 AB 的中点,求直线 l 的方程.

22.(10 分)已知椭圆

x2 y2 6 ? 2 (a>b>0)的离心率 e ? ,过点 A(0,?b) 和 B(a,0) 的直 2 3 a b

线与原点的距离为

3 . 2

(1)求椭圆的方程. (2)已知定点 E (?1,0) ,若直线 y ? kx ? 2 (k ? 0) 与椭圆交于 C、D 两点.问:是否存在 k 的值,使以 CD 为直径的圆过 E 点?请说明理由.

高中数学学修 1—1 第二章圆锥曲线检测题参考答案 1. A 2.B 3 D 4 A 5 D 6 A 7 D 8A 13. 4 2 或 9 6 9 B 10 D 11 B 12 B

4 14. 3

l2 15. 4

16.①③④

17.(1)依题意可设椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1 ,则右焦点 F( a 2 ? 1,0 )由题设 2 a
2

a2 ?1 ? 2 2 2

?3

解得 a ? 3

故所求椭圆的方程为

x2 ? y2 ? 1. 3

x2 ? y 2 ? 1 ………………………………………………4 分. 3
?y ? kx? m (2)设 P 为弦 MN 的中点,由 ? x 2 ? 2 ? ? y ?1 ?3

得 (3k ? 1) x ? 6mkx ? 3(m ? 1) ? 0
2 2 2

由于直线与椭圆有两个交点,? ? ? 0, 即 m ? 3k ? 1
2 2

①………………6 分

? xp ?
? k Ap ?
?

xM ? x N 3mk ?? 2 2 3k ? 1
yp ?1 xp ?? m ? 3k 2 ? 1 3mk

从而 y p ? kxp ? m ?

m 3k 2 ? 1

又 AM ? AN ,? AP ? MN ,则

m ? 3k 2 ? 1 1 ?? 3mk k

即 2m ? 3k ? 1
2

②…………………………8 分 由②得

把②代入①得 2m ? m

2

解得 0 ? m ? 2

k2 ?

2m ? 1 ? 0 解得 3

m?

1 2

.故所求 m 的取范围是(

1 , 2 )……………………………………10 分 2

18.设 M ( x 0 , y 0 ) 是双曲线右支上满足条件的点,且它到右焦点 F2 的距离等于它到左准线的距 离 MN 2 ,即 MF2 ? MN ,由双曲线定义可知
MF1 MN ?e ? MF1 MF2 ? e ……5 分

由焦点半径公式得

ex0 ? a ?e ex0 ? a

? x0 ?

a(1 ? e) …………………………7 分 e2 ? e

而 x0 ? a

?

a(1 ? e) ?a e2 ? e



e 2 ? 2e ? 1 ? 0

解 得 1? 2 ? e ?

2 ?1



e ?1

?1 ? e ? 2 ? 1 ……………………………………10 分

19. (1 ) 设 M 点的坐标为 ( x0 ,0) , 直线 l 方程为 x ? my ? x0 , 代入 y 2 ? x 得

y 2 ? my ? x0 ? 0
(2 ) ∵ y1 y 2 ? ?1



y1 , y 2 是此方程的两根,

∴ x0 ? ? y1 y 2 ? 1 ,即 M 点的坐标为(1, 0). ∴ x1 x 2 ? y1 y 2 ? y1 y 2 ? y1 y 2 ? y1 y 2 ( y1 y 2 ? 1) ? 0
2 2

∴ OA ? OB . (3)由方程①, y1 ? y 2 ? m , y1 y 2 ? ?1 , 且 | OM |? x0 ? 1, 于是 S ?AOB ?

1 1 1 m2 ? 4 ≥1, ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 = | OM || y1 ? y 2 |? 2 2 2 ∴ 当 m ? 0 时, ?AOB 的面积取最小值 1.
斜率 k 存在,不妨设 k>0,求出 M (

20.解析:(1)∵

2 ,2).直线 MA 方程为 2

y ? 2 ? k(x ?

2 2 ) ,直线 AB 方程为 y ? 2 ? ?k ( x ? ). 2 2
2 k 2 ? 4k 2 . ? 2 k ?8 2

2 分别与椭圆方程联立,可解出 x A ? 2k2 ? 4k ? 2 , xB ? k ?8 2



y A ? yB k ( x A ? xB ) ? ? 2 2. ∴ x A ? xB x A ? xB

k AB ? 2 2 (定值).

(2)设直线 AB 方程为 y ? 2 2 x ? m ,与 x ?
2

y2 ? 1 联立,消去 y 得 16 x 2 ? 4 2mx 8

? (m 2 ? 8) ? 0 .
由 ? ? 0 得 ? 4 ? m ? 4 ,且 m ? 0 ,点 M 到 AB 的距离为 d ? 设 ?AMB 的面积为 S . ∴

|m| . 3

1 1 2 1 16 2 | AB | 2 d 2 ? m (16 ? m 2 ) ? ?( ) ? 2 . 4 32 32 2 当 m ? ?2 2 时,得 S max ? 2 . S2 ?

21.解:直线 l 与 x 轴不平行,设 l 的方程为 x ? ky ? a 代入双曲线方程 整理得

(k 2 ? 1) y 2 ? 2kay ? a 2 ? 1 ? 0

……………………3 分

而 k ?1 ? 0
2

,于是

yT ?

y A ? yB ak ?? 2 2 k ?1

从而 xT ? kyT ? a ? ?

a ak a 即 T( , ) ……5 分 2 k ?1 1? k 1? k 2
2

?点 T 在圆上
由圆心 O?(?1,0)

ak 2 a 2 2a ?( ) ?( ) ? ? 0 即k2 ? a ? 2 2 2 2 1? k 1? k 1? k
. O?T ? l 得 k O?T ? k l ? ?1 则 k ?0
2



或 k ? 2a ? 1

当 k ? 0 时,由①得 a ? ?2,

? l 的方程为 x ? ?2 ;

当 k 2 ? 2a ? 1 时,由①得 a ? 1 K ? ? 3,? l 的方程为 x ? ? 3 y ? 1 .故所求直线的方程 为 或 …………………………10 分 22.解:(1)直线 AB 方程为:. 依题意 解得 ∴ 椭圆方程为 . (2)假若存在这样的 k 值,由得. ∴ . ① 设,、,,则 ② 而. 要使以 CD 为直径的圆过点 E(-1,0),当且仅当 CE⊥DE 时,则,即. ∴ . ③ 将②式代入③整理解得.经验证,,使①成立. 综上可知,存在,使得以 CD 为直径的圆过点 E.


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