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余弦定理教学设计


2016 年北京市中小学优秀教学设计评选

采用写实的方式将教学过程的真实情景以及某些值得注意和思考的现象和事件描述清楚;如教学设 计尚未经过实施,则应着重将教学中的关键环节以及教学过程中可能出现的问题及处理办法描述清

教学基本信息 课题 是否属于 地方课程或校本课程 学科 教材 数学 学段: 第二学段

余弦定理 否
年级 高一

书名: 数学 5 必修

出版社: 人民教育出版社 B 版 出版日期: 2015 年 6 月

楚。表格中所列项目及格式仅供参考,应根据实际教学情况进行调整。 指导思想与理论依据

本节(单元)课教学指导思想与理论依据的说明
本节课的指导思想是从发展学生的核心素养出发,以余弦定理的应用为载体,发展学生的分析问题 解决问题的能力。本节课的教学设计是以问题设计为中心,把学习者置于有意义的问题学习环境中, 通过有组织的解决问题而获得自主学习能力和解决问题的技能,从而达到教学目标。 “设置情境

--提出问题--解决问题--数学建构--数学运用”是这节课的模式。通过恰当的情境提出 数学问题应作为本节课教学的出发点,通过老师适度的启发与帮助让学生能较顺利的解 决问题并较顺利的建构数学新知“余弦定理”,这个过程学生应真正成为解决问题的主 体,成为知识的“发现者”和“创造者”,使教学过程成为学生主动获取知识、发展能 力、体验数学的过程。对于本节课主要解决以下两个问题①创设一个怎样的问题情境能 激发学生强烈的认知冲突;②如何通过对问题情景的研究,引申出一般的数学问题的探 究方法。
教学背景分析 内容分析:“余弦定理”是高中课程实验教科书(必修 5)第一章“解三角形”的主要内

容之一,是解决有关斜三角形问题的两个重要定理之一,也是初中“勾股定理”内容的 直接延拓,它是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的具体运用,是解可转化 为三角形计算问题的其它数学问题及生产、生活实际问题的重要工具,因此具有广泛的 应用价值。本节课是“余弦定理”教学的第一节课。
学情分析:在学习本节课之前,学生已经学习了正弦定理的内容,初步掌握了正弦定理的证明
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及应用,并明确了用正弦定理可以来解哪些类型的三角形。学生在必修 4 的向量学习中,初步掌握 了运用向量来计算向量的模。同时学生还具备一定的平面几何的知识作为学习本节课的基础。但是 我们知道,从一个实际问题抽象出数学问题,再把这一数学问题通过创新的数学方法进行解决对学 生来说是一个巨大的挑战,在此过程中我们一定要给学生充分的思考时间,因此,这节课是在学生 “充分预热”前提下的开始的一节课,即学生在前期已经拿到了我的情境设置,通过小组讨论的方 式给出了他们的研究成果,作为教师,我也对他们的研究成果进行了初步的筛选。 当然,作为教师,要对学生的研究成果进行充分的预估。因为可能整个班级可能都不会出现我 们想要的结果,但是,我们应该清楚我们至少得到了若干种不成熟的研究报告,在此前提下,我们 提出的方案才能备受学生关注,在互相的印证下,学生才能学会用数学知识解决问题的一般思路, 进而发展思维能力。 教学方式:小组合作学习,讲授法 教学手段:多媒体辅助教学 技术准备:电脑,电子白板

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教学目标(内容框架)

包括知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三维教学目标。 知识与技能:通过创设的问题情境中,引导学生发现余弦定理的内容,推证余弦定理,并简单
运用余弦定理解三角形;

过程与方法:在解决实际问题中,引导学生通过分析,把实际问题转化为数学问题,再
经过思考讨论找到解决问题的方案,进而培养学生的创新意识和观察与逻辑思维能力。

情感态度与价值观:面向全体学生,创造平等的教学氛围,通过学生之间、师生之间的交流、
合作和评价,调动学生的主动性和积极性,给学生成功的体验,培养学生学习数学兴趣和热爱科学、 勇于创新的精神。

问题框架(可选项)

教学流程示意(可选项) 情境设置,提前 2 天发给学生,要求按学习组讨论,提供解决问题的方案 ↓ 上课前一天,收学生的解决问题的方案,教师做到心中有数

↓ 有想要的结果, 要求学生简述分析问 题,解决问题的过程及想法

↓ 没有想要的结果,可以先提出学生 解决问题过程中的问题,在提示中 引导学生学会怎样数学的思考问 题,还没思路,可展示自己的思维 过程。

↓ 提炼出此问题的一般数学形式:余弦定理 ↓ 定理的证明:给出两种学生容易想到的方法(1)向量法证明(2)几 何方法证明。可提示正弦定理也可证明出余弦定理。

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↓ 提示定理应用的一般条件 ↓ 定理的应用:看时间,可作为作业

教学过程(表格描述) 教学 阶段 教师活动 学生活动 设置 意图 技术 应用 时间 安排

创 设 情 境

1. 数 假如你是某隧道施工队的预算员,现在要进行一 学 是 段隧道的投标报价,如图所示, 有 应 用 价 值的。 2. 培 提前 2 天 养 学 拿到此问 生 团 题,由组 队 的 长组织大 协 作 家研讨, 精神; 最后以小 3. 培 组为单位 养 学 提供解决 生 分 方案,在 析 问 上课的前 题 解 一 天 上 决 问 交。 题 的 需要开凿一条从 A 到 B 的隧道, 根据以往的数据统计, 能力; 每开凿 1 米隧道,大约工程造价为 30 万元,请你设 4. 引 计方案,为公司提供开凿隧道的最低预算。 出 余 弦 定 理。 实 际 问 题 方 案 优 向 数 秀,则讲 学 问 解方案。 题 转 方 案 不 化, 引 好,听问 出 余 题在哪。 弦 定 理;

提前 两天 下发 给学 生。

温 故 知 新

分析学生的解决方案。 学生已经具备了解决此问题的知识,即三角形全等和 相似的知识,就能够把此问题完美的解决。

几 何 0-15 画板。 分钟

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1.在 ? ABC 中,设 BC=a,AC=b,AB=c,显然,在 a,b 和 他们所夹的 ? C 确定的前提下(为方便起见,假设 ? C 为最大角)c 是唯一确定的, 那这四者之间有着怎样的 等量关系呢? 2 2 2 提示:2. 在△ABC 中,当∠C=90°时,有 c =a +b .若 2 2 2 a,b 边的长短不变,变换∠C 的大小时,c 与 a +b 有什么大小关系呢?请同学们思考。 教师鼓励学生积极思考,大胆发言,启发学生解 决问题,学生回答,借助于多媒体动画演示结果。 如图, 若∠C<90°时, 由于 AC 与 BC 的长度不变, 2 2 2 所以 AB 的长度变短,即 c <a +b . 已 知 一 些 量 确 定 的 前 提 下, 如 果 其 他 的 量 确 定了, 那 么 他 们 之 间 很 可 能 有 确 定 的 内 在 关 系。

如图,若∠C>90°时,由于 AC 与 BC 的长度不变, 2 2 2 所以 AB 的长度变长,即 c >a +b .

新 课 讲 解

思考

15-30

经过议论学生已得到当∠C≠90°时,c ≠a +b 。 那这四者之间到底有怎样的等量关系? 证明方法 1. 如图,当∠C 为锐角时,作 BD⊥AC 于 D,BD 把△ ABC 分成两个直角三角形:

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2

2

B

A

D

C

在 Rt△ABD 中,AB =AD +BD ; 在 Rt △ BDC 中 , BD=BC·sinC=asinC , DC=BC·cosC=acosC. 2 2 2 所以,AB =AD +BD 化为
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c =(b-acosC) +(asinC) , 2 2 2 2 2 2 c =b -2abcosC+a cos C+a sin C, 2 2 2 c =a +b -2abcosC. 可以看出∠C 为锐角时,△ABC 的三边 a,b,c 2 2 2 具有 c =a +b -2abcosC 的关系。 如图,当∠C 为钝角时,作 BD⊥AC,交 AC 的延长线于 D。 B

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A

C

D

△ACB 是两个直角三角形之差。 2 2 2 在 Rt△ABD 中,AB =AD +BD . 在 Rt△BCD 中,∠BCD=π -C. BD=BC·sin(π -C),CD=BC· cos(π -C). 2 2 2 所以 AB =AD +BD 化为 2 2 2 c =(AC+CD) +BD 2 2 =[b+acos(π -C)] +[asin(π -C)] 2 2 2 2 2 =b +2abcos(π - C)+a cos (π - C)+a sin (π - C) =b +2abcos(π -C)+a . 因 为 cos(π - C)= - cosC , 所 以 也 可 以 得 到 2 2 2 c =b +a -2abcosC。 证明方法 2: 你还能用向量的方法证明余弦定理吗?参看教材例 1 左上方的思路提示。 教师点拨学生的思路,可以让学生分组讨论、探究, 最后教师用多媒体展示证明的思路及过程。 如图,在△ABC 中,设 AB ? c , CA ? b , BC ? a ,
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?

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??? ? ???? ??? ? ? BC ? AC ? AB, ??? ? 2 ???? ??? ? 2 ? BC ? AC ? AB ??? ? 2 ???? 2 ??? ? 2 ??? ? ???? ? BC ? AC ? AB ? 2 AB ? AC ??? ? 2 ???? 2 ??? ?2 ??? ? ???? BC ? AC ? AB ? 2 AB ? AC cos A

?

?

即:a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A
总结得:

c2=a2+b2-2abcosC a2=b2+c2-2bccosA b2=c2+a2-2accosB
从以上的公式中解出 cos A, cos B, cosC ,则可以得到 余弦定理的另外一种形式:

b2 ? c2 ? a 2 cos A ? 2bc 2 c ? a 2 ? b2 cos B ? 2ca 2 a ? b2 ? c2 cosC ? 2ab
1.已知在情境设置的问题中,测绘者所站立的点为 C 点,用激光测距仪测得 CA=360m,CB=540m, 测得 ∠ACB=60°,求 AB 的长; (精确到 0.0001)

实 践 操 作 2. 在△ABC 中,已知 a=3,b=2,c= 19 ,求∠C 的大 小及△ABC 的面积.

第 1 题 回 应 情 境 设 第1题要 置, 熟 用计算器 悉 公 计算,熟 式 的 悉公式 应用。 第 2 第 2 题直 题 是 接计算。 公 式 的 变 形 应 用。

30-40

归 纳 总结

通过以上的研究过程,同学们有什么收获和体会? (学生回答总结,教师适时的补充完善)

40-45

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学习效果评价设计 评价方式: 1.通过收取学生的课前情境设置的完成情况,看学生的合作情况,分析问题解决问题的能力,创造 性的思维。 2.观察学生课上的实际表现,评价他上课是否积极思考。 3.通过实践操作的完成情况,评价他们本节课的低限要求是否达到。 4.通过听学生的总结发言,看他们是否具有对所学知识的整理归纳能力。

本教学设计与以往或其他教学设计相比的特点(300-500 字数) 本教学设计的特点是更重视了学生分析问题,解决问题的能力的培养。情境设置的提出不具备 更明确的方向性,需要学生自己设计出解决问题的办法,这是符合我们平常的遇到问题的情况的。 在解决问题的过程中,比较简单的思路是运用余弦定理来解决,这样我们自然的导入到了今天的新 课。我们用了不少的时间来分析学生解决问题的思路,正是为了培养学生的核心素养,我们不能再 把教会学生知识作为一节课的重点了,公式哪里都能查到,公式的应用只是机械的模仿,把这些作 为一节课的重点,短期内学生成绩可能还行,但是从长远的,学生的终身发展来看,我们实际是在 耽误学生,是把学生当成存储器在向里面灌入现成的结论。这样培养的学生只是掌握了几百年前的 数学结论,而他自身终生受益的东西我们在教学中却没有有意识的培养学生。本节课强调过程,重 视学生探索新知识的经历和获得的新知的体会,不能再让教学脱离学生的内心感受,把“发现、探 究知识”的权利还给学生。

在实际的教学中,发现学生对于所学的知识(例如向量)不能很好的应用,学生的数学思想(如 分类讨论、数形结合)也不能灵活的应用,这在以后的教学中还应该加强。从授课的实际效果来看, 能较好的完成本节课的教学任务。后一阶段的教学主要应该加强师生的课堂双边活动,处理好教与 学的关系,充分调动学生的课堂参与意识,鼓励学生积极大胆的发言,学生主动暴露自己的问题, 教师及时的加以纠正,使教学更具针对

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