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高三理科数学二轮复习专题能力提升训练:函数、导数、不等式的综合问题

训练 函数、导数、不等式的综合问题 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1 1.下面四个图象中,有一个是函数 f(x)=3x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R)的导函数 y=f′(x)的图象,则 f(-1)等于( ). 1 A.3 7 C.3 1 B.-3 1 5 D.-3或3 2.设直线 x=t 与函数 f(x)=x2,g(x)=ln x 的图象分别交于点 M,N,则当|MN| 达到最小时 t 的值为( A.1 B. 1 2 C. 5 2 ). D. 2 2 1 3.已知函数 f(x)=2x4-2x3+3m,x∈R,若 f(x)+9≥0 恒成立,则实数 m 的取 值范围是( ?3 ? A.?2,+∞? ? ? 3? ? C.?-∞,2? ? ? ). ?3 ? B.?2,+∞? ? ? 3? ? D.?-∞,2? ? ? 4.已知函数 f(x)=x2-ax+3 在(0,1)上为减函数,函数 g(x)=x2-aln x 在(1,2)上 为增函数,则 a 的值等于( A.1 B.2 C.0 D. 2 ). ). 学科 王 5.设 a∈R,若函数 y=eax+3x,x∈R 有大于零的极值点,则( A.a>-3 1 C.a>-3 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) B.a<-3 1 D.a<-3 6.若 a>0,b>0,且函数 f(x)=4x3-ax2-2bx+2 在 x=1 处有极值,则 ab 的最 大值等于________. 学科王 1 7 .函数 f(x) = 3 x3 - x2 + ax - 5 在区间 [ - 1,2] 上不单调,则实数 a 的范围是 ________. 8.关于 x 的方程 x3-3x2-a=0 有三个不同的实数解,则实数 a 的取值范围是 ________. 三、解答题(本题共 3 小题,共 35 分) a+1 1 9.(11 分)已知函数 f(x)=3x3- 2 x2+bx+a.(a,b∈R)的导函数 f′(x)的图象过 原点. (1)当 a=1 时,求函数 f(x)的图象在 x=3 处的切线方程; (2)若存在 x<0,使得 f′(x)=-9,求 a 的最大值. 10.(12 分)已知 a,b 为常数,且 a≠0,函数 f(x)=-ax+b+axln x,f(e)=2(e= 2.718 28…是自然对数的底数). (1)求实数 b 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间; 学科王 (3)当 a=1 时,是否同时存在实数 m 和 M(m<M),使得对每一个 t∈[m,M], ? ?1 ?? 直线 y=t 与曲线 y=f(x)?x∈?e,e??都有公共点?若存在,求出最小的实数 m ? ? ?? 和最大的实数 M;若不存在,说明理由. 11.(12 分)已知 f(x)=xln x,g(x)=-x2+ax-3. (1)求函数 f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值; (2)对一切的 x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)恒成立,求实数 a 的取值范围; 1 2 (3)证明:对一切 x∈(0,+∞),都有 ln x>ex-ex. 参考答案 1.D [∵f′(x)=x2+2ax+a2-1,∴f′(x)的图象开口向上,若图象不过原点, 5 则 a=0 时,f(-1)=3,若图象过原点,则 a2-1=0,又对称轴 x=-a>0, 1 ∴a=-1,∴f(-1)=-3.] 2 1 2x -1 2.D [|MN|的最小值,即函数 h(x)=x -ln x 的最小值,h′(x)=2x- x= x , 2 2 显然 x= 2 是函数 h(x)在其定义域内唯一的极小值点,也是最小值点,故 t 2 = 2 .] 1 3.A [因为函数 f(x)=2x4-2x3+3m,所以 f′(x)=2x3-6x2,令 f′(x)=0,得 x =0 或 x=3, 经检验知 x=3 是函数的一个最小值点, 所以函数的最小值为 f(3) 27 27 =3m- 2 ,不等式 f(x)+9≥0 恒成立,即 f(x)≥-9 恒成立,所以 3m- 2 ≥ 3 -9,解得 m≥2.] a 4.B [∵函数 f(x)=x2-ax+3 在(0,1)上为减函数,∴2≥1,得 a≥2.又∵g′(x) a =2x-x , 依题意 g′(x)≥0 在 x∈(1,2)上恒成立, 得 2x2≥a 在 x∈(1,2)上恒成 立,有 a≤2,∴a=2.] 5.B [令 f(x)=eax+3x,可求得 f′(x)=3+aeax,若函数在 x∈R 上有大于零的 极值点,即 f′(x)=3+aeax=0 有正根.当 f′(x)=3+aeax=0 成立时,显然 1 ? 3? 有 a<0,此时 x=aln?-a?.由 x>0,解得 a<-3,∴a 的取值范围为(-∞, ? ? -3).] 6.解析 由题得 f′(x)=12x2-2ax-2b=0,∴f′(1)=12-2a-2b=0,∴a+b =6.∴a+b≥2 ab,∴6≥2 ab,∴ab≤9,当且仅当 a=b=3 时取到最大值. 答案 7.解析 9 学科王 1 ∵f(x)=3x3-x2+ax-5,∴f′(x)=x2-2x+a=(x-1)2+a-1,如果函 1 数 f(x)=3x3-x2+ax-5 在区间[-1,2]上单调,那么 a-1≥0 或 f′(-1)=3 +a≤0 且 f′(2)=a≤0,∴a≥1 或 a≤-3.于是满足条件的 a∈(-3,1). 答案 8. 解析 (-3,1) 学科 王 由题意知使函数 f(x)=x3-3x2-a 的极大值大于 0 且极小值小于 0 即可, 又 f′(x)=3x2-6x=3x(x-2), 令 f′(x)=0 得, x1=0, x2=2, 当 x<0 时, f′(x) >0;当 0<x<2 时,f′(x)<0;当 x>2 时,f′(x)>0,所以当 x=0 时,f(x) 取得极大值,即 f(x)极大值=f(0

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