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2014届高考理科数学总复习(第1轮)全国版课件:3.4数列求和(第1课时)_图文

第三章
第 讲

数列

(第一课时)

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●常用求和公式 ●错位相减法 ●倒序相加法 ●并项求和法 ●裂项求和法




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数列求和是对数列知识的精 高 彩演绎,它几乎涵盖了数列中所有的思 考 想、策略、方法、技巧,对学生的知识 和思维都有很高的训练价值.考试时把 猜 求和作为大题的一个小问单列,或与极 想 限相结合,考查数列的求和.

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一、 等差数列与等比数列的求和方法 ? 等差数列的前n项和公式是采用 .推 倒序相加法 导的,等比数列的前n项和公式是采用 ? 推导的. 错位相减法
?

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? ?

二、 常用求和公式
n(a1 ? an ) n(n -1) (等差数列) Sn ? ? na1 ? d 2 2

?na1 (q ? 1) ? Sn ? ? a1 (1 - q n ) a1 - an q (等比数列); ? 1 - q ? 1 - q (q ? 1) ?
1 ? k ? 2 n(n ? 1). k ?1
n

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三、 错位相减法 ? 这是在推导等比数列的前n项和公式时所用 的方法,这种方法主要用于求数列{anbn}的 前n项和,其中{an}、{bn}分别是等差数列和 等比数列. ? 四、 倒序相加法 ? 将一个数列倒过来排列(倒序),当它与原 数列相加时,若有公因式可提,并且剩余 的项的和易于求得,则这样的数列可用倒 序相加法求和.等差数列的求和公式 n(a1 ? an ) 就是用倒序相加法推导出来的. Sn ?
?

2

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五、 分组求和法 ? 有一类数列,既不是等差数列,也不是等 比数列.若将这类数列适当拆开,可分为几 个等差、等比或常见的数列,即能分别求 和,然后再合并.
?

六、 裂项法 ? 这是分解与组合思想在数列求和中的具体 应用.裂项法的实质是将数列中的项分解, 然后重新组合,使之能消去一些项,最终 达到求和的目的.
?
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七、 常见的拆项公式有:
1 1 1 1. = . n n ?1 n(n ? 1) 1 1 1 1 ( ) 2. = 2 2n -1 2n ? 1 . (2n -1)(2n ? 1) 1 1 1 1 [ ] 3. = 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) . n(n ? 1)(n ? 2) 1 1 4. a ? b = a - b ( a - b ) .

5.n· n!= (n+1)!-n!

.
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1.若数列1,1+2,1+2+22,1+2+22+23,…, 1+2+22+…+2n-1,…的前n项和Sn>1020, ? 那么n的最小值是( ) ? A. 7 B. 8 ? C. 9 D. 10
?

9

令an=1+2+22+…+2n-1=2n-1. ? 则数列{an}的前n项和即为Sn, ? 故Sn=2n+1-2-n, ? 则2n+1-2-n>1020, ? 解得n≥10.
?

D

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2.二次函数y=n(n+1)x2-(2n+1)x+1, 当n依次取1,2,3,4,…,k,…时, 图象在x轴上截得的线段的长度的总和为 ( ) ? A. 1 B. 2 ? C. 3 D. 4
?

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令y=0, ? 则n(n+1)x2-(2n+1)x+1=0, ?得 或 1 1 x? . x? n ?1 ? 则当n取k时,图象在x轴上截得的线段的长 n 度 1 1 ? 所以所求线段的长度的总和为 ak ? . k k ?1 ? , 1 1 1 1 ? 故选A. 1 1
?

1- ? - ? ? ? ? 12 2 3 n n ?1 n ?1

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3.设Sn=1-2+3-4+…+(-1)n-1· n,则 S17+S33+S50=( C ) A. -1 C. 1 B. 0 D. 2 依题意,S17=1-2+3-4+…+17=9, S33=1-2+3-4+…+31-32+33=17, S50=1-2+3-4+…+49-50=-25, 则S17+S33+S50=1,故选C.
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?

题型1:分组求和法
1.求和: (1)Sn=1+(3+4)+(5+6+7)+(7+8+9+10)

+…+(2n-1+2n+…+3n-2); (2)Sn=12-22+32-42+…+(-1)n-1·2. n

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解:(1)因为 an=(2n-1)+2n+(2n+1)+…+(3n- n?2n-1+3n-2? 5 2 3 2)= =2n -2n, 2 5 2 2 2 3 2 所以 Sn=2(1 +2 +3 +…+n )-2(1+2+…+n) 1 =6n(n+1)(5n-2)(n∈N*).

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(2)当 n 是偶数时, Sn=(12-22)+(32-42)+…+[(n-1)2-n2] -n?n+1? =-3-7-…-(2n-1)= . 2 当 n 是奇数时, Sn=1+(32-22)+(52-42)+…+[n2-(n-1)2] n?n+1? =1+5+9+…+(2n-1)= 2 . 故 Sn=(-1)
n-1n?n+1?

2

(n∈N*).
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?

【点评】:点评:求数列的前n项和,首先 要研究数列的通项公式的特点,再确定相 应的求和方法.如本题中的(1)小题运用分 组求和法;(2)小题中,由于an的项是正负 相间,故采用并项求和法,但解题中要注 意分奇数、偶数讨论.

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?
?

求数列1,a+a2,a2+a3+a4,a3+a4+a5+a6, …
(a≠0)的前n项和Sn.

据题设条件分析可知: an=an-1+an+an+1+…+a2n-2, 当a=1时,an=n, n(n ? 1) 所以 Sn ? . 2 当a≠1时,
a n-1 (1 - a n ) a n-1 a 2 n-1 an ? ? . 1- a 1- a 1- a
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?

当a≠〒1时,

?

当a=-1时,

1 1 - a n a(1 - a 2 n ) Sn ? [ ] 2 1- a 1- a 1- a 1 n n ?1 ? [(1- a )(1- a )]. 2 (1- a) (1 ? a)
1 1 - (-1) n Sn ? [n ? ]. 2 2

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1 2 3 n 2. 求值: n ? ? 2 ? 3 ? ? ? n . S ? 题型2:错位相减法求和a a a a

分a=1和a≠1两种情况. n(n ? 1) 当a=1时, n ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? S ; 2 1 2 3 n 当a≠1时,Sn ? ? 2 ? 3 ? ? ? n , a a a a 将上式两边同乘以 ,得
1 1 2 3 n Sn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n?1 , a a a a a 1 1 1 1 n 两式相减,得 (1- ) Sn ? ? 2 ? ? ? n - n?1 , a a a a a
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?



a ( a n - 1) - n( a - 1) Sn ? . n 2 a ( a - 1)
? n(n ? 1) (a ? 1) ? 2 ? Sn ? ? . n ? a (a -1) - n( a -1) (a ? 1) ? a n (a -1) 2 ?

?

综上所述,得

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?

【点评】:若和式的项是一个等差数列与 一个等比数列的积的形式,就用错位相减 法求和.其步骤主要有:先在和式两边乘(或 除)以等比数列的公比,然后两式中有n-1 项参与错位相减,相减后这n-1项构成一个 新的等比数列,然后可求得其和.如果是含 参数的等比数列,注意按公比是否为1进 行讨论.
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? ? ?

?
?

已知等比数列{an}的前n项和为 Sn=a· +b,且a1=3. 2n (1)求a、b的值及数列{an}的通项公式; (2)设 ,数列{bn}的前n项和为Tn, n bn ? 证明:Tn< an 4
3 .

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(1)当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1· a. ? 而{an}为等比数列,得a1=21-1· a=a. ? 又a1=3,得a=3.从而an=3· (n∈N*). 2n-1 ? 又因为a1=2a+b=3,所以b=-3.
?

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(2)证明:因为 bn ? n ?

n , n -1 an 3 ? 2 1 2 3 n 所以 Tn ? (1 ? ? ? ? ? ), 2 n -1 3 2 2 2 1 1 1 2 3 n -1 n Tn ? ( ? 2 ? 3 ? ? ? n-1 ? n ), 2 3 2 2 2 2 2 两式相减得 1 Tn ? 1 (1 ? 1 ? 12 ? ? ? 1-1 - nn ), 2 1 3 2 2 2n 2 1 ? (1- n ) 2 - n ] ? 4 (1- 1 - n ) ? 4 . 则Tn ? 2 [ 1 3 3 3 2n 2n 2n ?1 12
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题型3:裂项法求和 ? 3. 求下列各数列的前n项和Sn. 1 1 1 ? (1)
? ?

(2)

1 1, , , ,? , ; 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ? 4 1? 2 ??? n 1 1 1 1 , , ,? , . 1(1)因为3 ? 4 3 ? 4 ? 5 ? 2?3 2? n(n ? 1)(n ? 2)

1 2 1 1 a ? ? 2( ), ? 所以 n ? 1 ? 2 ? ? ? n n(n ? 1) n n ?1

1 1 1 1 1 2n Sn ? 2(1- ? - ? ? ? )? . 2 2 3 n n ?1 n ?1

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?

(2)因为
1 1 1 1 an ? ? [ ]. n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2)

?
?

所以

1 1 1 1 1 1 Sn ? [ ? ??? 2 1? 2 2 ? 3 2 ? 3 3 ? 4 n( n ? 1) 1 ] ( n ? 1)(n ? 2) 1 1 1 n( n ? 3) ? [ ]? . 2 1 ? 2 ( n ? 1)(n ? 2) 4( n ? 1)( n ? 2)
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?

【点评】: “裂项法”一般适用于分式型
b 求和,和式中的项的结构特点一般是: an an ?1 b



b b 1 1 ? ( ) 变形后, 等差数列),利用 an an ?1 d an an ?1

an ? an ?1

(其中{an}是公差为d(d≠0)的

一些项相抵消,注意前后各有哪些项保留.

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1 1 1 1+ + + +…+ 2+1 3+ 2 2+ 3 =( n+ n-1 1 )

A. n-1 B. n-1-1 C. n D. n+1-1

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解:因为

= n- n-1, n+ n-1

1

1 1 1 1 所以 1+ + + +…+ 2+1 3+ 2 2+ 3 n+ n-1 =1+( 2-1)+( 3- 2)+( 4- 3)+…+( n- n-1) = n,故选 C.

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1.从分析数列的通项公式入手,挖掘数列 通项公式的结构特征,并进行联想对比, 来选择求和的不同方法. ? 2. 对于分子为某一常数,分母是由等差数 列的项之积形成的分数数列的求和一般选 用裂项相消法.
?

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