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第三章导数及其应用单元测试(人教A版选修1-1)


《第三章导数及其应用》单元测试
(满分:100 分 时间:90 分钟)

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一、 选择题(本大题共 6 小题,共 30 分,只有一个答案正确) 1.已知函数 f ( x ) ? a x ? c ,且 f ? (1) =2,则 a 的值为 ( A.0 B. 2 C.-1 D.1
2

) )
b? 1 2

2.若函数 f ( x ) ? A、
0 ? b ?1
4

x ? 3 bx ? 3 b
3

在 ?0 ,1 ? 内有极小值,则( C 、b ? 0 D、

B、

b ?1

3.若曲线 y ? x 的一条切线 l 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直,则 l 的方程为 ( ) 4 x 4 x A. x ? y ? 3 ? 0 B. ? 4 y ? 5 ? 0 C. x ? y ? 3 ? 0 D. ? 4 y ? 3 ? 0 4.设
f ? ( x ) 是函数 f ( x )

的导函数,将 y ?

f (x)

和y?

f ? ( x ) 的图象画在同

一个直角坐标系中,不可能正确的是(



5.已知 y 是 ( A. C.

?

1 3

x ? bx
3

2

? (b ? 2 ) x ? 3

是 R 上的单调增函数,则 b 的取值范围 B. b ? D.
? 1,或 b ? 2

)
b ? ? 1,或 b ? 2
?1 ? b ? 2
2

?1 ? b ? 2

6.已知二次函数 f ( x ) ? a x 实数 x 都有 f ( x ) ? 0 ,则 A. 3

? bx ? c

的导数为 f

'( x )

,f )

'(0) ? 0

,对于任意

f (1) f '( 0 )

的最小值为(
5 2

B.

C. 2

D.

3 2

二.填空题(本大题共 4 小题,共 20 分)

7.函数 f ( x ) ? x ln x ( x 8.已知函数 f ( x ) ?
M ,m

? 0)
3

的单调递增区间是____.

x ? 1 2 x ? 8 在区间 [ ? 3, 3] 上的最大值与最小值分别为

,则 M

?m ?

__.
? x ? x?
3

9.点 P 在曲线 y
?

2 3

上移动,设在点 P 处的切线的倾斜角为为

,则 ? 的取值范围是
? 1 3 x ? x ? ax ? 5 ,若函数在 [1, ?? ) 上是单调函数,则 a
3 2

10.已知函数 y 的取值范围

.

三.解答题(本大题共 4 小题,共 12+12+12+14=50 分) 11.(本小题 14 分)已知 f ( x ) ? a x ? b x ? 2 x ? c 在 x ? ? 2 时有极大值 6, 在 x ? 1 时有极小值,求 a,b,c 的值;并求 f ( x ) 区间 [ ? 3, 3] 上的最大值 和最小值.
3 2

12.(本小题 12 分)用长为 90cm,宽为 48cm 的长方形铁皮做一个无 盖的容器, 先在四角分别截去一个小正方形, 然后把四边翻转 90° 角, 再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大 容积是多少?

x

x

13.(本小题 14 分)已知 f ( x ) ? ax 3 在区间
( ?? , 0 ), (1, ?? )

? bx

2

? cx

在区间[0,1]上是增函数,

上是减函数,又 f ?(

1 2

)?

3 2

.

(1)求 f ( x ) 的解析式; (2)若在区间 [ 0 , m ] (m>0)上恒有 f ( x ) ≤x 成立,求 m 的取值范围.

14、设函数 f ( x ) ? x 3 ? 6 x ? 5 , x ? R (Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间和极值; (Ⅱ)若关于 x 的方程 f ( x ) ? a 有 3 个不同实根,求实数 a 的取值范围.

【参考答案】 一、选择题
1.D
2 2 2.A 由 f ? ( x ) ? 3 x ? 3 b ? 3 ? x ? b ? ,依题意, 首先要求 b>0, 所以 f ? ( x ) ? 3 x ?

?

b x?

??

b

?

由单调性分析, x ?

b 有极小值,由 x ?

b ? ? 0 ,1 ? 得.
4

3.解:与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直的直线 l 为 4 x ? y ? m ? 0 ,即 y ? x 在某一点的导数为 4,而 y ? ? 4 x ,所以 y ? x 在(1,1)处导数为 4,此点的切线为 4 x ? y ? 3 ? 0 ,故选 A
3 4

4. (D) 5. (D)6. (C)

7. ? , ? ? ?
?e ?

?1

?

8.32 9. ? 0 , ? ?
? ? ? 3? ? ,? ? ?? 2 ? ? 4 ? ?

10. ( ? 3 , ?? ) 三、解答题
2 11.解: (1) f ? ( x ) ? 3 ax ? 2 bx ? 2 由条件知

? f ? ( ? 2 ) ? 12 a ? 4 b ? 2 ? 0 , 1 1 8 ? 解得 a ? , b ? , c ? . ? f ? (1) ? 3 a ? 2 b ? 2 ? 0 , 3 2 3 ? f (?2) ? ?8a ? 4b ? 4 ? c ? 6. ?

(2) f ( x ) ?

1 3

x ?
3

1 2

x ? 2x ?
2

8 3

2 , f ?( x ) ? x ? x ? 2 ,

x
f ?( x ) f (x)

?3

( ? 3, ? 2 )

?2

( ? 2,1)

1 0
3 2

(1,3) + ↗

3


4 1 6

0 6

- ↘
1 6



10

1 6

由上表知,在区间 [ ? 3, 3] 上,当 x ? 3 时, f m ax ? 1 0 当 x ? 1 时, f m in ?
3 2
3



. .

12.解:设该容器的高为 xcm ,容器的容积为 ycm 依题意有 y ? (90-2 x )(48-2 x ) x 整理得 y ? 4 ( x -6 9 x ? 1 0 8 0 x )
3 2 2

( 0? x ? 2 4 )

∴ y ? ? 4(3 x -138 x ? 1080) ? 12( x-10)( x-36) ? 0 ∴ x ? 1 0 或 x ? 36 (后者不合题意,舍去),
当 x ? 10 时, y ? ? 0 当 x ? 10 时, y ? ? 0

所以 x=10 是函数极大值点,也是最大值点。 ∴当高为 1 0 cm 时,容器的容积最大,最大容积是 19600cm .
2 13.解: (1) f ? ( x ) ? 3 ax ? 2 bx ? c ,由已知 f ? (0) ? f ?(1) ? 0 ,
3

? c ? 0, ? c ? 0, ? 2 即? 解得 ? 3 ,∴ f ? ( x ) ? 3 a x ? 3 a x , ? 3 a ? 2 b ? c ? 0, ?b ? ? a ? 2

∴ f ??

3 ? 1 ? 3a 3a 3 2 ? ? ,∴ a ? ? 2 ,∴ f ( x ) ? ? 2 x ? 3 x . ?? 2? 4 2 2 ?
3 2

(2)令 f ( x ) ? x ,即 ? 2 x ? 3 x ? x ? 0 ,∴ x (2 x ? 1)( x ? 1) ? 0 , ∴0 ? x ?
1 2

或 x ? 1 .又 f ( x ) ? x 在区间 ? 0, m ? 上恒成立,∴ 0 ? m ?

1 2



2 ? ? 14.解:(Ⅰ) f ( x ) ? 3 ( x ? 2 ), 令 f ( x ) ? 0 , 得 x 1 ? ? 2 , x 2 ?

2

∴当 x ? ? 2 或 x ?

2时 f ? ( x ) ? 0 , 当 ?

2 ? x ?

2时 , f ? ( x ) ? 0



∴ f ( x ) 的单调递增区间是 ( ?? , ? 2 ) 及 ( 2 , ?? ) ,单调递减区间是 ( ? 2 , 2 ) 当 x ? ? 2 , f ( x ) 有极大值 5 ? 4 2 ;当 x ?
2 , f ( x ) 有极小值 5 ? 4 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)的分析可知 y ? f ( x ) 图象的大致形状及走向(图略) ∴当 5 ? 4 2 ? a ? 5 ? 4 2时 , 直线 y ? a 与 y ? f ( x ) 的图象有 3 个不同交点, 即方程 f ( x ) ? ? 有三解

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