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8.2.直线的倾斜角和斜率






8.2 直线的倾斜角和斜率
知识目标: (1)理解直线的倾角、斜率的概念;

课时

2

教学目的

(2)掌握直线的倾角、斜率的计算方法. 能力目标: 采用“数形结合”的方法,培养学生有条理地思考问题.

教学重点 教学难点 教学方法

直线的斜率公式的应用. 直线的斜率概念和公式的理解.

讲练结合

教学方式

启发式

授课日期

直线的倾斜角和斜率 1、倾斜角的定义 例题讲解 板书设计 2、斜率的定义 3、求斜率的方法 4、倾斜角的取值范围 课堂练习 教学过程: 一、组织教学:将学生的思绪从课间休息中调整过来。 二、创设情境 兴趣导入 如图 8-3 所示,直线 l1 、l2 、l3 虽然都经过点 P,但是它们相对于 x 轴的 倾斜程度是不同的. 教具 直尺、三角板

2、直线的倾斜角和斜率
1

三、新知识讲解 为了确定直线对 x 轴的倾斜程度,我们引入直线的倾角的概念. 设直线 l 与 x 轴相交于点 P,A 是 x 轴上位于点 P 右方的一点,B 是位于上半 平面的 l 上的一点(如图 8-4),则 ? APB 叫做直线 l 对 x 轴的倾斜角,简称为 l 的倾角. 若直线 l 平行于 x 轴, 规定倾角为零, 这样, 对任意的直线, 均有 0 ≤ ? ? 180 .
y B y B

O

P

A

x

O

P

A x

图 8-4 下面研究如何根据直线上的任意两个点的坐标来确定倾角的大小. 设P 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) 为直线 l 上的任意两点,可以得到 (如图 8-5) :

图 8?5 当 ? ? 90 时, x1 ? x2 , tan ? ?
y2 ? y1 (如图 8?5(1) 、 (2) ) ; x2 ? x1

当 ? ? 90 时,x1 ? x2 ,tan? 的值不存在, 此时直线 l 与 x 轴垂直 (如图 8?5 (3) ) . 倾角 ? ?? ? 90 ? 的正切值叫做直线 l 的斜率,用小写字母 k 表示,即
k ? tan ? .

设点 P 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) 为直线 l 上的任意两点,则直线 l 的斜率为
k? y2 ? y1 ( x1 ? x2 ) . x2 ? x1

(8.3)

【想一想】
2

当 P1 、 P2 的纵坐标相同时,斜率是否存在?倾斜角是多少? 四、巩固知识 典型例题 例 1 根据下面各直线满足的条件,分别求出直线的斜率: (1)倾角为 30 ; (2)直线过点 A(?2, 2) 与点 B (3, ?1) . 解 (1)由于倾斜角 ? ? 30 ,故直线的斜率为
k ? tan ? ? tan 30 ? 3 . 3

(2)由点 A(?2, 2) 、 B (3, ?1) ,由公式 8.3 得直线的斜率为
k? y2 ? y1 ?1 ? 2 3 ? ?? . x2 ? x1 3 ? (?2) 5

说明 利用公式 8.3 计算直线的斜率时,将哪个点看作为 P1 ,哪个点看作 为 P2 并不影响计算结果. 【想一想】 你能求出例 1(2)中直线的倾角吗? 强化练习 1.判断满足下列条件的直线的斜率是否存在,若存在,求出结果. (1)直线的倾角为 45 ; (2)直线过点 A(?1, 2) 与点 B(3, 2) ; (3)直线平行于 y 轴; (4)点 M (4, ?2) , N (4,3) 在直线上.

2.设点 P(?3,1) 、 Q(?5,3) ,则直线 PQ 的斜率为 为 .

,倾角

五、理论升华 整体建构
3

思考并回答下面的问题: 直线倾角的取值范围、直线的斜率公式? 结论: 直线的倾斜角的取值范围是 [0,180 ) 点P 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) 为直线 l 上的任意两点,则直线 l 的斜率为
k? y2 ? y1 ( x1 ? x2 ) . x2 ? x1

k ? tan ? .

课后小结

通过学习让学生掌握直线的斜率的求法。

思考题与作业

教材习题 8.2 A 组(必做) ;8.2 B 组(选做)

4


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