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高一数学人教A版必修二 课件 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.4_图文

2.3.3 直线与平面垂直的性质 2.3.4 平面与平面垂直的性质

学案· 新知自解

1.认识和理解空间中线面、面面垂直的性质. 2.能够灵活应用线面、面面垂直的性质定理证明相关问题. 3.理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的内在联系.

直线与平面垂直的性质 文字语言 符号语言

平行 垂直于同一个平面的两条直线_______
a⊥ α ? ?
?? _______ a∥ b b⊥ α ? ?

图形语言 ①线面垂直?线线平行 ②作平行线

作用

平面与平面垂直的性质 一个平面内 垂直于 ______ 两个平面垂直,则 ____________ 交线 的直线与另一个平面 文字语言 垂直 ______ ? ? α∩ β= l? ?? a⊥ β a?α ? ______ ? ______ a⊥l ? α⊥ β 符号语言

图形语言 作用

线面 垂直; ①面面垂直? ______
②作面的垂线

[化解疑难] 1.线线垂直、线面垂直、面面垂直的联系

2.剖析平面与平面垂直的性质定理 (1)定理成立的条件有两个 ①两平面垂直; ②直线在其中一个面内且与两平面的交线垂直. (2)定理的实质是由面面垂直得线面垂直, 故可用来证明线面垂直或线线垂 直. (3)定理还说明了若两个平面垂直, 过其中一个平面内一点垂直于另一个平 面的直线必在第一个平面内. (4)解题过程中遇到面面垂直的问题时,通常利用此定理转化为线面垂直 .

1.已知直线 l 垂直于直线 AB 和 AC,直线 m 垂直于直线 BC 和 AC,则 直线 l, m 的位置关系是 ( A.平行 C.相交 ) B.异面 D.垂直

解析: 因为直线 l 垂直于直线 AB 和 AC, 所以 l 垂直于平面 ABC, 同理, 直线 m 垂直于平面 ABC,根据线面垂直的性质定理得 l∥m.

答案:

A

2.已知平面 α⊥平面 β,α∩ β=n,直线 l?α,直线 m?β,则下列说法正 确的个数是( )

①若 l⊥n,l⊥m,则 l⊥β; ②若 l∥n,则 l∥β; ③若 m⊥ n, l⊥m,则 m⊥α. A. 0 C. 2 B.1 D.3

解析: 由线面平行的判定定理知②正确;由面面垂直的性质定理知①③ 正确.
答案: D

3.已知 m,n 是直线, α,β,γ 是平面,给出下列说法: ①若 α⊥β,α∩β=m,n⊥m,则 n⊥α 或 n⊥β; ②若 α∥β,α∩γ=m,β∩γ=n,则 m∥n; ③若 m 不垂直于 α,则 m 不可能垂直于 α 内的无数条直线; ④若 α∩β=m,n∥m 且 n?α,n?β,则 n∥α 且 n∥β. 其中正确的说法序号是 ________(注: 把你认为正确的说法的序号都填上 ).

解析: ①错,垂直于交线,不一定垂直平面;②对;③错,凡是平面内 垂直于 m 的射影的直线, m 都与它们垂直;④对.故②④正确.
答案: ②④

教案· 课堂探究

直线与平面垂直的性质定理的应用 多维探究型 如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,EF 与异面直线 AC、A1D 都垂 直相交. 求证:EF∥BD1.

证明:

如图所示,连接 AB1、 B1D1、B1C、 BD,

因为 DD1⊥平面 ABCD, AC? 平面 ABCD, 所以 DD1⊥ AC. 又 AC⊥ BD,DD1∩ BD=D, 所以 AC⊥平面 BDD1B1, 又 BD1?平面 BDD1B1, 所以 AC⊥BD1.

同理可证 BD1⊥B1C, 又 AC∩B1C=C, 所以 BD1⊥平面 AB1C. 因为 EF⊥AC,EF⊥A1D, 又 A1D∥B1C,所以 EF⊥B1C.B1C∩AC=C. 所以 EF⊥平面 AB1C,所以 EF∥BD1.

[归纳升华] 线面垂直的性质定理提供了证明两直线平行的重要依据,也是由垂直关系 转化为平行关系的重要方法 .

1.如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 是 AB 上一点,N 是 A1C 的中点,MN⊥平面 A1DC. 求证:(1)MN∥AD1; (2)M 是 AB 的中点.

证明:

(1)因为四边形 ADD1A1 为正方形,

所以 AD1⊥A1D. 又 CD⊥平面 ADD1A1, 所以 CD⊥ AD1. 因为 A1D∩CD=D, 所以 AD1⊥平面 A1DC. 又 MN⊥平面 A1DC,所以 MN∥AD1.

(2)连接 ON,在△ A1DC 中, A1O= OD, A1N= NC, 1 1 所以 ON 綊 CD 綊 AB, 2 2 所以 ON∥ AM, 又 MN∥ OA, 所以四边形 AMNO 为平行四边形, 所以 ON= AM. 1 1 因为 ON= AB,所以 AM= AB, 2 2 所以 M 是 AB 的中点.

平面与平面垂直的性质定理的应用 多维探究型 如图,已知 PA⊥平面 ABC,平面 PAB⊥平面 PBC,求证:BC⊥平 面 PAB.

证明:

过点 A 作 AE⊥ PB,垂足为 E,

因为平面 PAB⊥平面 PBC,平面 PAB∩平面 PBC= PB, 所以 AE⊥平面 PBC, 因为 BC?平面 PBC,所以 AE⊥BC, 因为 PA⊥平面 ABC, BC? 平面 ABC, 所以 PA⊥ BC,因为 PA∩ AE= A, 所以 BC⊥平面 PAB.

[归纳升华] 利用面面垂直的性质定理,证明线面垂直的问题时,要注意以下三点:(1) 两个平面垂直; (2)直线必须在其中一个平面内; (3)直线必须垂直于它们的交 线.

2.(2015· 河源市高二期中)在三棱锥 P-ABC 中,平面 PBC⊥平面 ABC, AB=AC,E,F 分别为 BC,BP 的中点.求证: (1)直线 EF∥平面 PAC; (2)平面 AEF⊥平面 PBC.

证明:

(1)因为 E, F 分别是 BC, BP 的中点,

所以 EF∥ PC. 又 EF?平面 PAC, PC? 平面 PAC, 所以 EF∥平面 PAC. (2)在△ ABC 中,因为 AB= AC, E 为 BC 中点, 所以 AE⊥ BC. 因为平面 PBC⊥平面 ABC, 平面 PBC∩平面 ABC= BC,所以 AE⊥平面 PBC. 又 AE?平面 AEF,所以平面 AEF⊥平面 PBC.

线面、面面垂直的综合问题 分层深化型 如图,在四棱锥 P- ABCD 中, AB∥ CD, AB⊥ AD, CD= 2AB, 平面 PAD⊥底面 ABCD, PA⊥ AD, E 和 F 分别为 CD 和 PC 的中点,求证: (1)PA⊥底面 ABCD; (2)BE∥平面 PAD; (3)平面 BEF⊥平面 PCD.

证明: (1)因为平面 PAD⊥底面 ABCD,且 PA 垂直于这两个平面的交线 AD, 所以 PA⊥底面 ABCD. (2)因为 AB∥CD, CD=2AB, E 为 CD 的中点, 所以 AB∥DE,且 AB=DE. 所以四边形 ABED 为平行四边形.所以 BE∥ AD. 又因为 BE?平面 PAD, AD?平面 PAD, 所以 BE∥平面 PAD.

(3)因为 AB⊥ AD,而且四边形 ABED 为平行四边形. 所以 BE⊥ CD, AD⊥ CD, 由 (1)知 PA⊥底面 ABCD. 所以 PA⊥ CD.又 AD∩PA= A, 所以 CD⊥平面 PAD.所以 CD⊥PD. 因为 E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点,所以 PD∥ EF. 所以 CD⊥ EF.又 EF∩ BE= E, 所以 CD⊥平面 BEF.又 CD?平面 PCD, 所以平面 BEF⊥平面 PCD.

[归纳升华] 直线、平面之间的平行、垂直关系是重点考查的位置关系,当已知线面、 面面垂直或平行时考虑用性质定理转化,要证线面、面面垂直或平行时要用判 定定理进行论证 .

[同类练]☆ 1.(2015· 宿州市高二期中)如图,在矩形 ABCD 中,AB=2BC,P,Q 分别 为线段 AB,CD 的中点,EP⊥平面 ABCD. (1)求证: AQ∥平面 CEP; (2)求证:平面 AEQ⊥平面 DEP.

解析:

(1)在矩形 ABCD 中,

因为 AP= PB, DQ= QC, 所以 AP 綊 CQ.

所以 AQCP 为平行四边形. 所以 CP∥ AQ. 因为 CP? 平面 CEP, AQ?平面 CEP, 所以 AQ∥平面 CEP.

(2)因为 EP⊥平面 ABCD, AQ?平面 ABCD, 所以 AQ⊥ EP. 因为 AB= 2BC, P 为 AB 的中点, 所以 AP= AD.连接 PQ, 则四边形 ADQP 为正方形. 所以 AQ⊥ DP.又 EP∩ DP=P,所以 AQ⊥平面 DEP. 因为 AQ?平面 AEQ, 所以平面 AEQ⊥平面 DEP.

[变式练]☆ 2.如图,P 是四边形 ABCD 所在平面外的一点,ABCD 是∠DAB=60° 且边 长为 a 的菱形.侧面 PAD 为正三角形,其所在的平面垂直于底面 ABCD. (1)若 G 为 AD 边的中点,求证: BG⊥平面 PAD; (2)求证: AD⊥PB.

证明:

(1)连接 PG, BG,由题知△PAD 为正三角形, G 是 AD 的中点,

∴ PG⊥ AD. 又平面 PAD⊥平面 ABCD, ∴ PG⊥平面 ABCD,∴PG⊥ BG. 又∵四边形 ABCD 是菱形且∠ DAB= 60° , ∴△ ABD 是正三角形,∴ BG⊥ AD. 又 AD∩PG= G,∴ BG⊥平面 PAD.

(2)由(1)可知 BG⊥AD,PG⊥AD. 又 PG∩BG=G, ∴AD⊥平面 PBG, ∵PB?平面 PBG, ∴AD⊥PB.

[拓展练]☆ 3.如图所示,在四棱锥 S-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,SA⊥平面 ABCD,且 SA=AB,点 E 为 AB 的中点,点 F 为 SC 的中点. 求证:(1)EF⊥CD; (2)平面 SCD⊥平面 SCE.

证明:

(1)连接 AC, AF, BF.

∵ SA⊥平面 ABCD, ∴ SA⊥ AC,∴△SAC 为直角三角形 . 又∵ F 为 SC 的中点, ∴ AF 为 Rt△SAC 斜边 SC 上的中线, 1 ∴ AF= SC. 2

又∵四边形 ABCD 是正方形, ∴ CB⊥ AB. 而由 SA⊥平面 ABCD,得 CB⊥ SA, ∴ CB⊥平面 SAB,∴ CB⊥ SB, ∴ BF 为 Rt△SBC 斜边 SC 上的中线, 1 ∴ BF= SC,∴ AF= BF. 2 ∴△ AFB 为等腰三角形. ∵ E 为 AB 的中点,∴ EF⊥ AB. 又 CD∥ AB,∴ EF⊥ CD.

(2)在 Rt△SAE 和 Rt△ CBE 中, ∵ SA= CB, AE= BE, ∴ Rt△ SAE≌Rt△ CBE, ∴ SE= EC,即△SEC 为等腰三角形. ∵ F 为 SC 的中点, ∴ EF⊥ SC. 又∵ EF⊥CD,且 SC∩ CD= C, ∴ EF⊥平面 SCD. 又∵ EF?平面 SCE, ∴平面 SCD⊥平面 SCE.

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