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2008年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题


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2008 年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题
本卷满分为 150 分,考试时间为 120 分钟 题号 得分 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 6 分,共 48 分。 1.已知集合 M ? { a , b , ? ( a ? b )} , a ? R , b ? R , ,集合 P ? {1, 0, ? 1} ,映射 f : x ? x 表示 把集合 M 中的元素 x 映射到集合 P 中仍为 x ,则以 a , b 为坐标的点组成的集合 S 有元素 ( A.2 )个。 B.4 C.6 D.8
??? ? ???? 2 ????





三 15 16 17

总分

2.设 D 为△ A B C 的边 A B 的中点, P 为△ A B C 内一点,且满足: A P ? A D ? B C , 5 C 则
S △ APD S △ ABC ?(

) 。

P
B.
2 5

E D B

A.

3 5

C.

1 5

D.

3 10

A

3.在点 O 处测得远处质点 P 作匀速直线运动,开始位置在 A 点,一分钟后到达 B 点,再 过一分钟到达 C 点,测得 ? A O B ? 9 0 , ? B O C ? 3 0 ,则 tan ? O A B ?
0 0



) 。

A.

3 2

B.
?
6

3 2

C.

2 3 3

D.

2 3

4.已知当 x ?

时,函数 y ? sin x ? a cos x 取最大值,则函数 y ? a sin x ? cos x 图象的一 ) 。 B. x ?
?
3

条对称轴为 ( ? A. x ? ?
3

C. x ? ?

?
6

D. x ?

?
6

5.已知 ? 是函数 f ( x ) ? x log a x ? 2008, ( a ? 1) 的一个零点, ? 是函数
g ( x ) ? xa ? 2 0 0 8 的一个零点,则 ? ? 的值为(
x

) 。 D.4016

A.1

B.2008

C. 2 0 0 8

2

6. 函数 f ( x ) 的定义域为 D, 若满足: f ( x ) 在 D 内是单调函数, ① ②存在 [ m , n ] ? D , 使 f ( x )

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在 [m , n] 上 的 值 域 为 [ m ,
2
f ( x ) ? lo g a ( a ? k ),
x

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1

1 2

n ] , 那 么 就 称 y ? f ( x ) 为 “ 好 函 数 ”。 现 有

( a ? 0, a ? 1) 是 “ 好 函 数 ”, 则 k

的 取 值 范 围 是



) 。 B. ( ? ? , )
4 1

A. (0, ? ? )

C. (0, )
4

1

D. (0 , ]
4

1

7.如图,一个棱长为 a 的立方体内有 1 个大球和 8 个小球,大球与立方体的六个面都相切, 每个小球与大球外切且与共顶点的三个面也相切,现在把立方体的每个角都截去一个三棱 锥,截面都为正三角形并与小球相切,变成一个新的立体图形,则原立方体的每条棱还剩余 ( ) 。
(6 ? 3 3 ) 2
E

A.

a

B. (6 ? 3 3 ) a

A

D F C O2

H

C.

5 3 ?8 2

a

D. (5 3 ? 8) a

O1 O3 G B

8.若 4

27

?4

1000

? 4 为完全平方数,
n

则正整数 n 满足 ( A. n ? 1 9 7 2 B. n ? 1 9 7 2

) C. n ? 1 9 7 3

D. n ? 1 9 7 0

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 8 分,共 48 分。 9.已知向量 a , b , c 满足 a ? b ? c ? 0 , ( a ? b ) ? c , a ? b ,若 a ? 1 ,则
? ? b ?c ?

得分

评卷人

.

10.若数列 ? a n ? 中任意连续三项和都为正数,任意连续四项和都为负数,则项数 n 的最大值 为 .

A1 B A1

主视图

C1 A1

C1

11.如图是一个长方体 ABCD-A1B1C1D1 截去几个角后的多面体的三视图, 在这个多面体中,AB=4,BC=6, CC1=3.则这个多面体的体积为 .

C B A D 左视图

B

俯视图

C1

12.把一根长为 7 米的铁丝截下两段(也可以直接截成两段) ,这两段的长度差不超过 1 米, 分别以这两段为圆的周长围成两个圆,则这两个圆的面积之和的最大值为 平方米 。 13.在正整数数列中,由 1 开始依次按如下规则取它的项:第一次取 1,第二次取 2 个连续 偶数 2、4;第三次取 3 个连续奇数 5、7、9;第四次取 4 个连续偶数 10、12、14、16;第 五次取 5 个连续奇数 17、19、21、23、25.按此规则一直取下去,得到一个子数列 1,2,4, 5 , 7 , 9 , 12 , 14 , 16 , 17 , ? . 则 在 这 个 子 数 列 中 , 由 1 开 始 的 第 2008 个 数
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是 14.设 x ? (0,
?
2

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.
) ,则函数 y ?
1 co s x
2

?

2 2 sin x

的最小值为_______

.

三、解答题:本大题共 3 小题,共 54 分。 15. (本小题 16 分)已知函数 f ( x ) ? 2 co s (
2

?
4

? x) ?

3 co s 2 x ? 1, x ? R .

(1)求函数 f ( x ) 单调递增区间; (2)若 A ? { y | y ? f ( x), x ?[ 数 m 的取值范围。
? ?
, 4 ]} ,不等式 x ? m ? 3 的解集为 B, A ? B ? A ,求实 2

16.(本小题满分 18 分) 设 f ( x ) ? 3 a x ? 2 b x ? c ,若 a ? b ? c ? 0 , f ( 0 ) ? 0 , f (1) ? 0 .
2

(1)求证:方程 f ( x ) ? 0 在区间(0,1)内有两个不等的实数根; (2)若 a , b , c 都为正整数,求 a ? b ? c 的最小值。

17. (本小题 20 分)在 xoy 平面上有一系列点 P1 ( x 1 , y 1 ), P2 ( x 2 , y 2 ), ?, Pn ( x n , y n ), ? ,对 每个正整数 n ,以点 Pn 为圆心的⊙ Pn 与 x 轴及射线 y ?
Pn ? 1 彼此外切.若 x1 ? 1 ,且 x n ? 1 ? x n ( n ? N ) .
*

3 x , ( x ? 0 ) 都相切,且⊙ Pn 与⊙

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(1)求证:数列 { x n } 是等比数列,并求数列 { x n } 的通项公式; (2)设数列 { a n } 的各项为正,且满足 a n ?
5 4
x n a n ?1 x n ? a n ?1 , a1 ? 1 ,

求证: a1 x1 ? a 2 x 2 ? a 3 x 3 ? ? ? ? a n x n ?

?

1 3 ?1
n

, (n ? 2)

(3)对于(2)中的数列 { a n } ,当 n ? 1 时,求证:
(1 ? a n ) [
2

a2

2 2 2

(1 ? a 2 )

?

a3

3 3 2

(1 ? a 3 )

?? ?

an

n n 2

(1 ? a n )

]?

4 5

?

1 1 ? an ? an ? ? ? an
2 n

2008 年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题(解答)
本卷满分为 150 分,考试时间为 120 分钟 题号 得分 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 6 分,共 48 分。 题号 答案 1.已知集合 M ? { a , b , ? ( a ? b )}, a ? R , b ? R , ,集合 P ? {1, 0, ? 1} ,映射 f : x ? x 表示 把集合 M 中的元素 x 映射到集合 P 中仍为 x ,则以 a , b 为坐标的点组成的集合 S 有元素 ( C )个 A.2 B.4 C.6 D.8
? a ? 1 ?a ? ?1 ? a ? 1 ?a ? 0 ? a ? 0 ?a ? ?1 ,? ,? ,? ,? ,? 有 6 组解,S ?b ? 0 ? b ? 0 ?b ? ?1 ? b ? 1 ?b ? ?1 ? b ? 1
??? ? ???? 2 ???? B C ,则 5





三 15 16 17

总分

1

2

3

4

5

6

7

8

得分

评卷人

【分析】显然 M ? P ,∴ ? 有 6 个元素,选 C。

2.设 D 为△ A B C 的边 A B 的中点, P 为△ A B C 内一点,且满足, A P ? A D ?
S △ APD S △ ABC ?

( C )

C
3 5

A.

B.

2 5

C.

1

D.

3

5 10 ???? ??? ? ???? 2 ???? ???? ???? ??? ? 2 ???? 【分析】如图 D P ? B E ? B C ∴ A D ? B C ? A D ? D P ? A P 5 5
第 4 页 共 11 页

P A D

E B

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S △ APD S △ ABC

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1 ? A D ? D P sin ? A B C ? ? A B ? B C sin ? A D P 1 5

四边形 DPEB 为平行四边形,

? 2 1 2

,选 C。

3.在点 O 处测得远处质点 P 作匀速直线运动,开始位置在 A 点,一分钟后到达 B 点,再
0 0 过一分钟到达 C 点,测得 ? A O B ? 9 0 , ? B O C ? 3 0 ,则 tan ? O A B ?

( B )

A
A.
3 2

D P O B C
3 2

B.

3 2

C.

2 3 3

D.

2 3

【分析】如图延长 OB 到 D,使得 BD=OB,则四边形 OADC 为平行四边形 ∴ ? O D C ? ? A O B ? 90 0 ,又 ? B O C ? 3 0 0 ,则 O B ?
1 2 OD ? 3 2 DC ? OA ,

tan ? O A B ?

OB OA

?

3 2

,选 B。

4.已知当 x ? 条对称轴为 ? A. x ? ?
3

?
6

时,函数 y ? sin x ? a cos x 取最大值,则函数 y ? a sin x ? cos x 图象的一 ( A ) B. x ?
?
6

?
3

C. x ? ?

?
6

D. x ?
1 2

?
6

【分析】∵当 x ? 解得:a ?

时,函数 y ? sin x ? a cos x 取最大值,∴
?
6 ) ,∴ x ? ?

?

3 2

a ?

a ?1
2

3 ,∴ y ? a sin x ? co s x ? 2 sin ( x ?

?
3

是它的一条对称轴,选 A。

5.已知 ? 是函数 f ( x ) ? x log a x ? 2008, ( a ? 1) 的一个零点, ? 是函数
g ( x ) ? xa ? 2 0 0 8 的一个零点,则 ? ? 的值为
x

( B ) D.4016

A.1

B.2008
2008 x

C. 2 0 0 8 2

【分析】如图: ? 是曲线 y ? 坐标, ? 是曲线 y ?
2008 x

与曲线 y ? log a x 交点 A 的横
x

与曲线 y ? a 交点 B 的横坐标,
x

∵函数 y ? log a x 与 y ? a 互为反函数,∴A 与 B 关于直线 y=x 对称 即 ? 为点 A 的纵坐标,∴ ? ? ? 2008 ,选 B 6. 函数 f ( x ) 的定义域为 D, 若满足① f ( x ) 在 D 内是单调函数, ②存在 [ m , n ] ? D , 使 f ( x )

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在 [ m , n ] 上的值域为 [ m ,
2 1 1 2

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x

n] , 那么就称 y ? f ( x ) 为 “好函数” 现有 f ( x ) ? lo g a ( a ? k ), 。

,则 k 的取值范围是 ( a ? 0, a ? 1) 是“好函数” A. (0, ? ? ) B. ( ? ? , )
4 1

( C )
1

C. (0, )
4

D. (0 , ]
4

1

【分析】因为函数 f ( x ) ? lo g a ( a x ? k ), ( a ? 0, a ? 1) 在其定义域内为增函数,则若函数 ,方程 f ( x ) ? y ? f ( x ) 为“好函数”
x x x x
2

1 2

x 必有两个不同实数根,∵ lo g a ( a ? k ) ?
x

1 2

x

? a ? k ? a 2 ? a ? a 2 ? k ? 0 ,∴方程 t ? t ? k ? 0 有两个不同的正数根, k ? (0 ,

1 4

)

选 C。 7.如图,一个棱长为 a 的立方体内有 1 个大球和 8 个小球,大球与立方体的六个面都相切, 每个小球与大球外切且与共顶点的三个面也相切,现在把立方体的每个角都截去一个三棱 锥,截面都为正三角形并与小球相切,变成一个新的立体图形,则原立方体的每条棱还剩余 ( D ) A.
(6 ? 3 3 ) 2 a

B. (6 ? 3 3 ) a
a 2

C.

5 3 ?8 2

a

D. (5 3 ? 8) aD
A F C O2

H

【分析】大球的半径为
2 3r ? 2 r ? a ?

,设小球的半径 r ,则
3 ?1 2 ( 3 ? 1) a ? 2? 2 3 a

E O1 O3 G B

3a ? r ?

设小球切截面 CDE 于 F,则 A F ? 设 A C ? x ,利用等积法求得 x ? 选 D。 8.若 4
27

3a ? 4 r ? a 2
3 AF ?

?

3 3?5 2

a

9?5 3 2

a ,所以 C H ? a ? 2 A F ? (5 3 ? 8) a

?4

1000

? 4 为完全平方数,则正整数 n 满足
n





A. n ? 1 9 7 2 【分析】 4 ∵
27

B. n ? 1 9 7 2
?4
1000 n 54

C. n ? 1 9 7 3
1945

D. n ? 1 9 7 0
4 2 9 ? 4 ) , 2 n ?5 ? 15 当

? 4 ? 2 (1 ? 2 ? 2

?2

2 n ? 54

, n ? 1972 即

时,上式为完全平方数。
n ? 27 2 1945 2 n ? 54 n ? 27 2 ( n ? 27 ) n ? 27 2 ) ? 1? 2?2 ?2 ? 1? 2?2 ?2 ? (2 ? 1) ,所 当 n ? 1972 时,有 (2

以上式不可能为完全平方数。选 B 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 8 分,共 48 分。 9.已知向量 a , b , c 满足 a ? b ? c ? 0 , ( a ? b ) ? c , a ? b ,若 a ? 1 ,则
? ? b ?c ? ?1.
第 6 页 共 11 页

得分

评卷人

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? ? ? ? ? ? ?

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? ? ? ? ?

【分析】∵ ( a ? b ) ? c , a ? b ∴ ( a ? b ) ? c ? 0 ? a ? c ? b ? c 且 a ? b ? 0
? ? ? ? ? a ? (a ? b ? c) ? a
2

? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? a ? c ? 1 ? b ? c ? 0 ,∴ b ? c ? ? 1

10.若数列 ? a n ? 中任意连续三项和都为正数,任意连续四项和都为负数,则 项数 n 的最大值为 5 .

【分析】由 a1 ? a 2 ? a 3 ? 0, a1 ? a 2 ? a 3 ? a 4 ? 0 ? a 4 ? 0 , 同理由 a 2 ? a 3 ? a 4 ? 0, a 2 ? a 3 ? a 4 ? a 5 ? 0 ? a 5 ? 0 所以这个数列最多只能有 5 项,否则由
a 3 ? a 4 ? a 5 ? 0, a 3 ? a 4 ? a 5 ? a 6 ? 0 ? a 6 ? 0

A1 B A1

主视图

C1 A1

C1

C B A D 左视图

,则得

B
A1

俯视图

C1

a4 ? a5 ? a6 ? 0

与题设矛盾。
C1

11.如图是一个长方体 ABCD-A1B1C1D1 截去几个角后的 多面体的三视图,在这个多面体中,AB=4,BC=6, CC1=3.则这个多面体的体积为 48 .
A D

B 【分析】从三视图看,顶点 B1 , D 1 已被截去,所以这个多面体如上图,其体积为 C
V ? 3? 4? 6 ? 2? 1 6 ? 3 ? 4 ? 6 ? 48 。

12.把一根长为 7 米的铁丝截下两段(也可以直接截成 两段) ,这两段的长度差不超过 1 米,分别以这两段为圆 的周长围成两个圆,则这两个圆的面积之和的最大值为
25 4?

平方米

【分析】设这两段的长度分别为 x 米、 y 米
? x?0 ? ? y ?0 则 x 、 y 满足关系 ? ,其平面区域为右上图所示阴影部分,两圆的面积之和为 x? y?7 ? ? | x ? y |? 1 ?
s ? x ? y
2 2

4?
25

,看成是个圆的方程,这个圆经过点 A ( 4, 3) 或 B (3, 4 ) 时, s 最大,其最大值



4?

平方米。

13.在正整数数列中,由 1 开始依次按如下规则取它的项:第一次取 1,第二次取 2 个连续 偶数 2、4;第三次取 3 个连续奇数 5、7、9;第四次取 4 个连续偶数 10、12、14、16;第

第 7 页 共 11 页

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五次取 5 个连续奇数 17、19、21、23、25.按此规则一直取下去,得到一个子数列 1,2,4, 5,7,9,12,14,16,17,?.则在这个子数列中,由 1 开始的第 2008 个数是 【分析】 n 次总共取了 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 前
n ( n ? 1) 2

3953 .

项, 满足不等式

n ( n ? 1) 2

? 2 0 0 8 的最大整

数为 n ? 62 ,前 62 次取了 1953 项,所以子数列中的第 2008 项必是奇数,而且是第 63 次取 出的第 55 个奇数,前 62 次取数在正整数数列中有 1 ? 2 ? 3 ? ? ? 6 1 ?
61 ? 62 2 ? 1 8 9 1 个整数

没有被取到,所以第 63 次取的第一个数为 1953+1891+1=3845,第 55 个为 3953 14.设 x ? (0,
?
2 ) ,则函数 y ?
1 co s x
2

?

2 2 sin x

的最小值为___6_______.

y ?

1 co s x
2

?

2 2 sin x
2

?4? 2 si n x ? 2 sin x ? 4 sin x ) ? 4 ? 3 3 8 ? 1 0
2

【分析】
(

1 co s x
2

? 4 co s x ) ? (

? 1 2 ? co s 2 x ? 4 co s x 2 ? ? ? 取等号当且仅当 ? ,∵ x ? (0, ) ,∴ sin x ? co s x ? ,即: x ? 。 2 2 4 2 2 ? ? 4 sin x ? sin x ?

三、解答题:本大题共 3 小题,共 54 分。
2 15. (本小题 16 分)已知函数 f ( x ) ? 2 co s (

?
4

? x) ?

3 co s 2 x ? 1, x ? R .

得分

评卷人

(1)求函数 f ( x ) 单调递增区间; (2)若 A ? { y | y ? f ( x), x ?[ 数 m 的取值范围。 【解】 (1) f ( x ) ? 1 ? co s( ??5 分 由 2k? ?
?
2 ? 2x ?

? ?

, ]} ,不等式 x ? m ? 3 的解集为 B, A ? B ? A ,求实 4 2

?
2

? 2 x) ?

3 co s 2 x ? 1 ? sin 2 x ?

3 co s 2 x ? 2 sin ( 2 x ?

?
3

) ,

?
3

? 2k? ?

?
2

解得: k ? ?

?
12

? x ? k? ?

5? 12



∴ f ( x ) 在区间 [ k ? ? (2) x ? [
? ?
, 4 2

?
12

, k? ?

5? 12

], k ? Z 上单调递增。??8 分 , 2? 3 ] ,∴ A ? [1, 2 ] ,又解得 B ? ( m ? 3, m ? 3) ??12 分

], ∴ 2 x ?

?
3

?[

?
6

而 A ? B ? A ? A ? B ∴?

?m ?3?1 ?m ? 3 ? 2

,得 ? 1 ? m ? 4 ??16 分。

第 8 页 共 11 页

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2 16.(本小题满分 18 分) 设 f ( x ) ? 3 a x ? 2 b x ? c ,若 a ? b ? c ? 0 , f ( 0 ) ? 0 , f (1) ? 0 .

(1)求证:方程 f ( x ) ? 0 在区间(0,1)内有两个不等的实数根; (2) 若 a , b , c 都为正整数,求 a ? b ? c 的最小值。

得分

评卷人

【证明】 (1) f (0 ) ? c ? 0 ①, f (1) ? 3 a ? 2 b ? c ? 0 ②, a ? b ? c ? 0 ③, 由①③得: a ? b ? 0 ? a ? b ④,由②③得: 2 a ? b ? 0 ? 2 a ? b ⑤, 由④⑤得: 2 a ? b ? a ⑥,∵ b ? a ? c 代入②得: a ? c ∴ a ? 0 ∴由⑤得: 1 ? ∵对称轴 x ?
2

b a

? 2 ??4 分

1 2 ? ( , ) ,又 f (0) ? 0, f (1) ? 0 3a 3 3
2 2 2

b

且 ? ? 4 b ? 12 ac ? 4( a ? c ) ? 12 ac ? (2 a ? c ) ? 3 c ? 0 ∴方程 f ( x ) ? 0 在 ( 0 ,1) 内有两个不等实根.????10 分 (2)若 a , b , c 都为正整数, f (0 ) 、 f (1) 都是正整数, 设 f ( x ) ? 3 a ( x ? x1 )( x ? x 2 ) ,其中 x1 , x 2 是 f ( x ) ? 0 的两根,则 x1 , x 2 ? (0,1) ,且 x1 ? x 2 ∵ 1 ? f (0 ) f (1) ? 9 a x1 (1 ? x1 ) x 2 (1 ? x 2 ) ?
2

9a

2

16

∴ 9 a ? 1 6, a 为正整数,∴ a ? 2 , ∴ a ? b ? c ? 2 ? (2 ? c ) ? c ? 4 ? 2 c ? 6 ??15 分
2

若取 a ? 2 ,则

b a

?

b 2

? (1, 2 ) 得: b ? (2, 4 )

∵ b 为正整数,∴ b ? 3 , c ? b ? a ? 1
f ( x ) ? 6 x ? 6 x ? 1 ? 0 的两根都在区间 ( 0 ,1) 内,
2

∴ a ? b ? c 的最小值为 6。??18 分 17. (本小题 20 分)在 xoy 平面上有一系列点 P1 ( x 1 , y 1 ), P2 ( x 2 , y 2 ), ?, Pn ( x n , y n ), ? ,对 每个正整数 n ,以点 Pn 为圆心的⊙ Pn 与 x 轴及射线 y ?
Pn ? 1 彼此外切.若 x1 ? 1 ,且 x n ? 1 ? x n ( n ? N ) .
*

3 x , ( x ? 0 ) 都相切,且⊙ Pn 与⊙

y

y= 3x

(1)求证:数列 { x n } 是等比数列,并求数列
{ x n } 的通项公式;

P1

(2)设数列 { a n } 的各项为正,且满足
第 9 页 共 11 页
2 金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com P3

P

o

x

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an ? x n a n ?1 x n ? a n ?1 , a1 ? 1 ,

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求证: a1 x1 ? a 2 x 2 ? a 3 x 3 ? ? ? ? a n x n ?

5 4

?

1 3 ?1
n

, (n ? 2)

得分

评卷人

(3)对于(2)中的数列 { a n } ,当 n ? 1 时,求证:
(1 ? a n ) [
2

a2

2 2 2

(1 ? a 2 )

?

a3

3 3 2

(1 ? a 3 )

?? ?

an

n n 2

(1 ? a n )

]?

4 5

?

1 1 ? an ? an ? ? ? an
2 n

【解】 (1)点列 P1 ( x 1 , y 1 ), P2 ( x 2 , y 2 ), ?, Pn ( x n , y n ), ? 必在射线 y ?
xn 3

3 3

x , ( x ? 0 ) ,∴

yn ?

为⊙ Pn 的半径,

∵⊙ Pn 与⊙ Pn ? 1 外切, ∴ ( x n ? x n ?1 ) ? ( y n ? y n ?1 ) ?
2 2

4 3

( x n ? x n ?1 ) ?
2

3 3

( x n ? x n ?1 ) ①

??3 分
2 2 化简①式得: 3 x n ? 1 ? 10 x n x n ? 1 ? 3 x n ? 0 ,解得: x n ? 1 ? 3 x n 或 x n ? 1 ?

1 3

xn ,

∵ x n ? 1 ? x n ,∴ x n ? 1 ? (2) a n ?
x n a n ?1 x n ? a n ?1
? 1 a n ?1 ?

1

1 n ?1 x n ,∴数列 { x n } 是等比数列,∵ x1 ? 1 ,则 x n ? ( ) ??5 分 3 3

,而 a n ? 0, x n ? 0 ,



1 an

?

1 xn

1 an

?

1 a n ?1

?

1 xn

,∴

1 an

?

1 a1

?

1 x2

?

1 x3

?? ?

1 xn

,∵ a1 ? 1 ,



1 an

? 1?
2

1 x2

?

1 x3

?? ?

1 xn

? 1? 3? 3 ?? ? 3
2

n ?1

?

3 ?1
n

2

∴ an ?

3 ?1
n

??8 分
5 4 2 8 9 8 ? 1 3 ?1
n

设 S n ? a 1 x1 ? a 2 x 2 ? a 3 x 3 ? ? ? ? a n x n , T n ?

∵ S n ? a 1 x1 ? a 2 x 2 ? a 3 x 3 ? ? ? ? a n x n ? 1 ? 1 ? 当 n ? 2 时, S 2 ? 1 ? 当 n ? 2 时,
1 12 ? 13 12 , T2 ? 5 4 ? 1 3 ?1
2

?

1 3

?

2 26

?

1 9

?? ?

2 3 ?1
n

? 3

1
n ?1

?

,必有 S 2 ? T 2

第 10 页 共 11 页

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∵ an xn ?
2 (3 ? 1)3
n n ?1

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? 2 ?3
n n ?1 n ?1

?

2 (3 ? 1)(3
n n ?1

? 1)
1

(3 ? 1)(3
1 3 ?1
4

? 1)

? 3
1

1
n ?1

?1

?
1

1 3 ?1
n

∴ Sn ? 1 ?
? 1? 1 12 ?

1 12 1 8 ?

?(

1 3 ?1
2

?

1 3 ?1
3

)?( 1

3 ?1
3

?

)?? ? ( 3

n ?1

?1

?

3 ?1
n

)

1 3 ?1
n

?

29 24

?

3 ?1
n

?

5 4

?

1 3 ?1
n

??13 分

(3)∵

1 an

?

1 a n ?1
2

?

1 xn
k

? 0 ? a n ? a n ? 1 ,∴ 1 ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ? 0

令: b k ?

(1 ? a n ) a k (1 ? a k )
k 2

,则 b k ?
k

(1 ? a n ) a k
2

k

(1 ? a k )
k

2

?

(1 ? a k ) a k
2

k

(1 ? a k )
k

2

?

ak
2

k k ?1 2

(1 ? a k ? a k ? ? a k 1 ?

)

?

ak (1 ? a k ? a k ? ? a k
2 k ?1

)(1 ? a k ? a k ? ? a k
2

k ?1

? ak )
k

?

1 1 ? ak ? ak ? ? ak
2 k ?1

1 ? ak ? ak ? ? ak
2

k ?1

? ak

k

?

1 1 ? ak ? ak ? ? ak
2 k ?1

?

1 1 ? a k ?1 ? a k ?1 ? ? a k ?1 ? a k ?1
2 k k ?1

=

1

?a
i ?1

k

?
i ?1 k

1

?a
i ?1

k ?1

??18 分
i ?1 k ?1

?, 0 ? a 2 ?

2 3 ?1
2

?
2 2

1 4

∴ (1 ? a n ) [
2

a2

(1 ? a 2 )

2

?

a3

3 3 2

(1 ? a 3 )

?? ?

an

n n 2

(1 ? a n )

]?

?

n

bk ?

k ?2

?(
k ?2

n

1

?a
i ?1

k

?
i ?1 k

1

?a
i ?1

k ?1

)
i ?1 k ?1

?

1 1 ? a2

?

1 1 ? an ? an ? ? ? an
2 n

?

4 5

?

1 1 ? an ? an ? ? ? an
2 n

??20 分 命题人:胡云华

y

y= 3x

P1

o

P3

P2 x

第 11 页 共 11 页

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