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江西省南昌市2010届高三数学调研测试卷(文) 人教版

江西省南昌市 2010 届高三年级调研测试 数学文
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,共 150 分。

第Ⅰ卷
考生注意: 1.答题前,考生务必将自己的准考证号.姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡 上粘贴的条形码的“准考证号.姓名.考试科目”与考生本人准考证号.姓名是否 一致。 2. I 卷每小题选出答案后, 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 第 用 如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,第 II 卷用黑色黑水签字笔在答题卡上书写 作答。若在试题卷上作答,答案无效。 参考公式: 如果事件 A.B 互斥,那么 球的表面积公式 P(A+B)=P(A)+P(B) S = 4πR 2 如果事件 A.B 相互独立,那么 P(A·B)=P(A)·P(B) 其中 R 表示球的半径 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 球的体积公式 P,那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 Pn ( k ) = C n P (1 ? P )
k k n?k

4 V球 = πR 3 3

其中 R 表示球的半径

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 个是符合题目要求的) 1.设集合 I = {1,2,3, 4,5,6,7} , A = {1,3,5} , B = {1, 4,6} , 则 A I (CI B ) = A. {3,5} B. {3,5,7} C. {1,3,5,7} D. {1, 2,3,5,7} ( D. ±32 ( D. (1, π ] ( ) ) ) ( )

2.等比数列 {an } 中,已知 a1 = 1 ,公比 q = 2 ,则 a5 = A.16 B. ±16 C.32

3.函数 f ( x) = ln(? x 2 + 5 x ? 4) + sin x 的定义域是 A. [0, 4) B. (1, π ) C. [π , 4)

1 2 3 4 4. (C4 x + C4 x 2 + C4 x 3 + C4 x 4 ) 2 的展开式的所有项的系数和为

B.224 C.225 D.256 r r r r r 5.设向量 a 与 b 的夹角为 θ , a = (2,1), a + 2b = (4,5), 则 cos θ 等于

A.64





用心

爱心

专心

A.

4 5

B.

3 5

C.

3 10 10

D.

10 10


6.已知 a, b 为不垂直的异面直线,α 是一个平面,则 a, b 在平面 α 上的射影不可能是( A.两条平行直线或两条互相垂直的直线或一条直线及其外一点 B.两条平行直线或两条互相垂直的直线 C.同一条直线 D.两条互相垂直的直线或一条直线及其外一点 7.设 f ( x) 是定义在 R 上单调递减的奇函数,若 x1 + x2 > 0, x2 + x3 > 0, x3 + x1 > 0 ,则( A. f ( x1 ) + f ( x2 ) + f ( x3 ) > 0 C. f ( x1 ) + f ( x2 ) + f ( x3 ) = 0 B. f ( x1 ) + f ( x2 ) + f ( x3 ) < 0 D. f ( x1 ) + f ( x2 ) > f ( x3 )



8.某学校共在 2008 名学生,将从中选项派 5 名学生在某天去国家大剧院参加音乐晚会,若 采用以下方法选取:先用简单随机抽样从 2008 名学生中剔除 8 名学生,再从 2000 名学 生中随机抽取 5 名,则其中学生甲被选取的概率是 ( ) A.

1 400

B.

1 2008

C.

1 2000

D.

5 2008
π
3
对称;

9.同时具有下列性质: “①对任意 x ∈ R, f ( x + π ) = f ( x) 恒成立:②图象关于直线 x =

? π π? ③ ? ? , ? 上是增函数”的函数可以是 ? 6 3?
A. f ( x ) = sin(

( B. f ( x ) = sin( 2 x ?



x π + ) 2 6

π
6

) )

C. f ( x ) = cos( 2 x +

π

3

)

D. f ( x ) = cos( 2 x ?

π
6

10.已知 a 是实数,则函数 f ( x) = 1 + a sin ax 的图象不可能是





11.已知 {an } 为等差数列,a1 + a3 + a5 = 105 ,a2 + a4 + a6 = 99, 以 Sn 表示 {an } 的前 n 项和, 则使得 Sn 达到最大值的 n 是 A.21 B.20 C.19 D.18 ( )

12.有一个四棱锥,底面是一个等腰梯形,并且腰长和较短的底长都是 1,有一个底角是 60o , 又侧棱与底面所成的角都是 45°,则这个棱锥的体积是 ( )

用心

爱心

专心

A.1

B. 3

C.

3 4

D.

3 2

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) r r r r r r 13.已知向量 a = (3,1), b = (1,3), c = (k ,7), 若 (a ? c) ⊥ b ,则 k = _______ 14.甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门。则甲.乙所选的课程中至少有 1 门不相同的选法 共有________种. 15.已知 f ( x), g ( x) 都是定义在 R 上的函数,且满足以下条件:① f ( x) = a x ? g ( x)(a > 0, a ≠ 1); ② g ( x) ≠ 0 ;③ F ( x) =

f ( x) f (1) f (?1) 5 是减函数;若 + = , 则 a = ____________. g ( x) g (1) g (?1) 2

16.在正方体上任意选择 4 个顶点,作为如下五种几何形体的 4 个顶点:①矩形;②不是矩 形的平行四边形;③有三个面为等腰直角三角形,有一个面为等边三角形的四面体;④ 每个面都是等边三角形的四面体; ⑤每个面都是直角三角形的四面体. 能使这些几何形体 正确的所有序号是_________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤) 17. (本大题满分 12 分) 设函数 f ( x) = tx 2 + 2t 2 x + t ? 1(t ∈ R, t > 0) . (1)求 f ( x) 的最小值 s (t ) ; (2)若 s(t ) < ?2t + m 对 t ∈ (0, 2) 时恒成立,求实数 m 的取值范围.

18. (本大题满分 12 分) 设△ABC 的内角 A, C 的对边长分别为 a, c,cos A cos C + sin A sin C + cos B = B, b, 且 a,b,c 成等比数列,求 B。

3 , 2

19. (本大题满分 12 分) 某校调查了高三年级 1000 位同学的家庭月平均收入情况,得到家庭月平均收入频率 分布直方图如图, (1)若要从这 1000 位同学中抽出 100 位同学,调查家庭收入对同学学习的影响,按分层 抽样,需要从家庭收入在 (4000,6000] 间的这部分同学中抽出多少为同学进行调查?
用心 爱心 专心

(2)某企业准备给该校高三同学发放助学金,发放规定如下:家庭收入在 4000 元以下的 每位同学得助学金 2000 元,家庭收入在 (4000,6000] (元)间的每位同学得助学金 1500 元,家庭收入在 (6000,8000] (元)间的每位同学得助学金 1000 元,家庭收入 在 (8000,10000] (元) ,间的同学不发助学金,求该年级某班同桌两位同学所得助学 金之差的绝对值为大于 500 元的概率。

20. (本大题满分 12 分) 如图, 四棱锥 P—ABCD 中, 底面 ABCD 是直角梯形, AB//CD, ∠DAB=60°, AB=AD=2CD, 侧面 PAD⊥底面 ABCD,且△PAD 为等腰直角三角形,∠APD=90°,M 为 AP 的中点. (1)求证:AD⊥PB; (2)求二面角 A—BC—P 的正切值.

21. (本大题满分 12 分)

1 ?a ? 已知,数列 ? n ? 是公比为 的等比数列, a1 = 1 . 2 2 ?n ?
(1)求数列 {an } 的通项公式;

1 (2)令 bn = an +1 ? an ,若数列 {bn } 的前 n 项和 Sn ,求证: S n < 5. 2

用心

爱心

专心

22. (本大题满分 14 分) 已知函数 f ( x) = x( x ? a)( x ? b), 点 A( s, f ( s )), 点 B (t , f (t )). (1)若 a = b = 1, 求函数 f ( x) 的单调递增区间;

uuu r (2)若 0 < a < b ,函数 f ( x) 在 x = s 和 x = t 处取得极值,且 a + b < 2 3 ,求证:向量 OA uuu r 与向量 OB 不可能垂直;
(3)若函数 f ( x) 的导函数 f ′( x) 满足:当 x ≤ 1 时,有 f ′( x) ≤ 式.

3 恒成立,求函数的解析 2

参考答案
用心 爱心 专心

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1—5A ADCA 6—10 CBDBD 11—12 BC 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13.—15 14.30 15.

1 2
2

16.①③④⑤

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 76 分) 17.解: (1)Q f ( x) = t ( x + t ) ? t + t ? 1(t ∈ R, t > 0)
3

………………1 分 ………………2 分

∴ x = ?t时, f (?1)取得最小值f ( x) = ?t 3 + t ? 1,
即 s (t ) = ?t + t ? 1
3

………………4 分

3 (2)令 h(t ) = f (t ) ? ( ?2t + m) = ?t + 3t ? 1 ? m

由 h ′(t ) = ?3t 2 + 3 = 0, 得t = 1或t = ?1 (舍去) ………………6 分

t
h ′(t ) h(t )

(0,1) + 增

1 0 极大值 1—m

(1,2) — 减

∴ h(t ) 在(0,2)内有最大值 1—m, ………………9 分

∴ s (t ) < ?2t + m对t ∈ (0,2)时恒成立等价于h(t ) < 0 恒成立。
即1 ? m < 0 ∴ m > 1 ………………12 分

18.解:∵ cos A cos C + sin A sin C + cos B = ∴ 2 sin A sin C =
2

3 , 2

3 , ………………5 分 2
2

又∵ b = ac ? sin B = sin A sin C ∴ 2 sin B =
2

3 …………………………………10 分 2

而 a, b, c 成等比数列,所以 b 不是最大 故 B 为锐角,所以 B = 60 ………………………………………12 分
0

19.解: (1)家庭收入在 (4000, 6000] 间的频率是: 0.00015 × 2000 = 0.3 , 频数是: 1000 × 0.3 = 300 ,…………………………………………3 分 所以抽取人数是: 100 × 0.3 = 30 人; …………………………………………………6 分 (2)同桌两位同学所得助学金之差的绝对值为 1000 元的概率:

用心

爱心

专心

P = 2 × 0.2 × 0.2 + 2 × 0.3 × 0.2 = 0.2 ,……………………………………8 分 1
同桌两位同学所得助学金之差的绝对值为 1500 元的概率:

P2 = 2 × 0.3 × 0.2 = 0.12 ,…………………………………………9 分
同桌两位同学所得助学金之差的绝对值为 2000 元的概率:

P3 = 2 × 0.3 × 0.2 = 0.12 ,………………………………………10 分
所以所求概率: P = 0.2 + 0.12 + 0.12 = 0.44 .…………………………………………12 分 20.解法一: (1)取 AD 的中点 G ,连结 PG、GB、BD P Q PA = PD , ∴ PG ⊥ AD .………2 分 Q AB = AD ,且 ∠DAB = 60° , ∴ ?ABD 是正三角形, BG ⊥ AD .………4 分 ∴ AD ⊥ 平面 PGB .∴ AD ⊥ PB .………6 分 C D (2)取 BC 的中点 E ,联结 PE、GE . F G ∵四边形 ABCD 是直角梯形且 AB // CD , A B ∴ GE // AB , GE ⊥ BC . ∴ BC ⊥ 平面 PEG , ∴ BC ⊥ PE , ∴ ∠PEG 是二面角 A ? BC ? P 的平面角.……………………………9 分 设 DC = a ,则 AB = AD = 2a . z Q G .E 分别为 AD . BC 中点, P

AB + CD a + 2a 3 = = a .………10 分 2 2 2 Q G 是等腰直角三角形 PAD 斜边的中点, M 1 ∴ PG = AD = a . D 2 G PG 2 ∴ tan ∠PEG = = , EG 3 A 2 x ∴二面角 A ? BC ? P 的正切值为 . ………………………12 分 3 ∴ GE =

C

B

y

解法二: (1)同解法 1 (2) ∵侧面 PAD ⊥ 底面 ABCD ,又Q PG ⊥ AD , ∴ PG ⊥ 底面 ABCD .∴ PG ⊥ BG .Q PG ⊥ AD . ∴直线 AD、GB、GP 两两互相垂直,……………………8 分 故可以分别以直线 AD、GB、GP 为 x 轴. y 轴和 z 轴建立如 图所示的空间直角坐标系 G ? xyz . 设 PG = a , C ( x, y , z ) ,则可求得

P (0, 0, a ), A(a, 0, 0), B (0, 3a, 0), D (? a, 0, 0) ,…………10 分
则 GP = (0, 0, a ), AB = ( ? a, 3a, 0), PB = (0, 3a, ? a ) .

uuu r

uuu r

uuu r

用心

爱心

专心

uuu r uuur Q AB = 2 DC 且 AB // CD ,∴ AB = 2 DC ,
即 ( ?a, 3a,0) = 2[( x, y , z ) ? ( ? a,0,0)] .∴ ( x, y , z ) = ( ?

3 3 a, a, 0) , 2 2

即 C (?

3 3 a, a, 0) .……………………………………………………11 分 2 2

uuu r Q PG ⊥ 平面 ABCD ,∴ GP 是平面 ABCD 的法向量,
r uuu r r uuu r n ? GP 3 r ∴ cos < n, GP >= r uuu = . | n | ? | GP | 13
∴二面角 A ? BC ? P 的正切值为 21.解: (1)Q n = 1时,

r uuu r 2 ∴ tan < n, GP >= . 3

2 . ………………………………………………12 分 3

an = 1 , ………………1 分 n2

又数列 {

an 1 }构成首项为1, 公式为 的等比数列。 2 2 n
………………6 分

从而

an 1 n2 = n?1 , 即a n = n?1 . n2 2 2

(2)由 bn =

(n + 1) 2 n 2 2n + 1 3 5 2n + 1 ? n = 得S n = + 2 + L + , n n 2 2 2 2 2 2n

…………7 分

1 3 5 2 n ? 1 2n + 1 Sn = 2 + 3 + L + + n +1 , ………………8 分 2 2 2 2n 2 1 3 1 1 1 2n + 1 两式相减得: S n = + 2( 2 + 3 + L + n ) ? n +1 , …………10 分 2 2 2 2 2 2 2n + 5 所以 S n = 5 ? ………………11 分 2n
?
所以: S n < 5 ………………12 分

22.解: (1)当 a = b = 1时, f ( x) = x 3 ? 2 x 2 + x, f ′( x) = 3 x 2 ? 4 x + 1 …………1 分 由 f ′( x) > 0可得x > 1或x <

1 , 3 1 则函数的单调递增区间是 ( ?∞, )或(1,+∞). 3

………………3 分

(2)Q 函数f ( x)在x = s和x = t 处取得极值,

用心

爱心

专心

f ′( x) = 3x 2 ? 2(a + b) x + ab ∴ f ′( s ) = f ′(t ) = 0 即s, t是方程3x 2 ? 2(a + b) x + ab = 0两根,
∴s + t = 2 ab (a + b), st = . 3 3
………………5 分

设OA ⊥ OB, 则st + f ( s ) f (t ) = 0即 : st + s ( s ? a )( s ? b)t (t ? a )(t ? b) = 0, s >, t > 0 ∴ ( s ? a )( s ? b)(t ? a )(t ? b) = ?1LLLL 6分 ∴ [ st ? ( s + t )a + a 2 ][st ? ( s + t )b + b 2 ] = ?1 2 ab s + t = (a + b), st = , (0 < a < b) 代入化简得: 3 3

( a + b) 2 =

9 9 + 4ab ≥ 2 ? 4ab = 12 ab ab

已知a + b < 2 3即(a + b) 2 < 12, 矛盾, 则向量OA与向量OB不可能垂直.LLLL 8分
(3)函数 f ( x)的导函数f ′( x) = 3 x 2 ? 2( a + b) x + ab 满足:

3 恒成立, 2 3 3 则 | f ′(1) |= 3 ? 2(a + b) + ab |≤ ; | f ′(?1) |= 3 + 2(a + b) + ab |≤ 2 2 9 3 ∴| f ′(1) + f ′(?1) |=| 6 + 2ab |≤ 3,∴ ? ≤ ab ≤ ? 2 2 3 3 3 3 又 | f ′(0) |=| ab |≤ ,∴ ? ≤ ab ≤ ,∴ ab = ? LLLL11分 2 2 2 2 3 3 Q| f ′(1) ? f ′(?1) |=| 4(a + b) |≤ 3,∴ ? ≤ a + b ≤ 4 4 a+b ∈ [?1,1] 所以二次函数f ′( x) = 3 x 2 ? 2(a + b) x + ab的对称轴x = 3 12ab ? 4(a + b) 2 3 ≥ ? , 即 ? 4(a + b) 2 ≥ 0, 则 : a + b = 0, 12 2 当 | x |≤ 1时, 有 | f ′( x) |≤ ∴ f ( x) = x 3 ? 3 x. 2
………………14 分

用心

爱心

专心