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1.5函数y=Asin(wx+φ)的的图象


复习回顾:
1. y ? sin x ? y ? sin( x ? ? )
函数y=sin(x+? )( ? ≠0)的图象可以看 作是把y=sinx的图象上所有的点向左(当? >

0时 )或向右(当 ? <0时 )平行移动 ?
个单位而得到的。

2.y ? sin x ? y ? sin ? x
函数y=sin?x (? >0且?≠1)的图象可以看

作是把 y=sinx 的图象上所有点的横坐标缩短
(当?>1时)或伸长(当0<?<1时) 到原来的 1 倍(纵坐标不变) 而得到的。

?

3.y ? sin x ? y ? A sin x.
函数y=Asinx(A>0且A≠1)的图象可以看作

是把y=sinx的图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1
时 )或缩短(当0<A<1时 )到原来的A倍(横坐 标不变)而得到的。

(二)探索?对 y=sin(?x+? ), x∈R的图象的影响. 观察y=sin(2x+?/3)和y=sin(x+?/3)的图像 x
2x ?
?

?
6

?

?
3

?
3 ?
3 )

0

?

12

2

?
0

7? 12 3?
2

5? 6 2?

sin(2 x ?

0

1

-1

0

x
x?

?

?
3

?
6 ? 2
1

?
3 ?
3 )

2? 3

0
0

?
0

7? 6 3? 2
-1

5? 3

2?
0

sin( x ?

(二)探索?对 y=sin(?x+? ), x∈R的图象的影响. 观察y=sin(2x+?/3)和y=sin(x+?/3)的图像
?
6

x
2x ?

?

?
12

?
3

?
3 ?
3 )

7? 12

5? 6

0
0

? 2

?

3? 2

2?
0

sin(2 x ?

1

0

-1

(二)探索?对 y=sin(?x+? ), x∈R的图象的影响. y=sin(2x+?/3)的图像,是把y=sin(x+?/3)的图 像上所有点的横坐标缩短为原来的1/2倍(纵 坐标不变)而得到的. 总结:函数y=sin(?x+?)的图像是把y=sin(x+?) 的图像上所有点的横坐标缩短(当?>1时)或伸长 (0< ? <1时)到原来的 1/? 倍(纵坐标不变)而得到. 伸缩变换

例2 .作函数 y ? sin 2 x及y ? sin(2 x ? ) 的图象. 3
1. 列表:

?

x
2x sin 2 x

0
0

π 4
? 2

π 2
?

3π 4
3? 2

π
2?

0

1

0

?1

0

函数y=sin(ωx+φ)与y=sinωx图象的关系
π 6
π 12

x
π 2x ? 3

?

π 3

5π 12

5π 6

0
0

π sin(2 x ? ) 3
y 1
π ? 6

? 2
1
π y ? sin(2 x ? ) 3

?
0

3? 2
-1

2?
0

π 2

?

O ?1 y=sin2x

x

(1)横坐标缩短到原来的 函数 y=Sinx 纵坐标不变
?

1 2



y=Sin2x的图象

(2)向左平移 6

? y=Sin(2x+ ) 的图象 3

结论:函数y=sin(ωx+φ) 的图象可以看作是把

y=sinωx 的图象上所有的点向左(当φ>0时)或向右 (当φ<0时)平移| ? |个单位而得到的. ?

函数y=Asin(ωx+φ)的图象
例:简述
? y ? 3 sin( 2 x ? ), x ? R 3

的图像是由y ? sin x如何变换而得到的

方法1: (按? , ? , A顺序变换 )
y
3
2 1

? y=3sin(2x+ 3 )

y=sinx ?

o
?

?
3

?

? 6 -1

? ? 6 3

7 ? 2 5? 12 3 ? 6

7 ? 6

5? 3

2?

x

-2
-3

? y=sin(x+ ) 3 ? y=sin(2x+ ) 3

?

(1)向左平移 3 函数 y=sinx
1 2

? y=sin(x+ ) 的图象 3


(2)横坐标缩短到原来的 纵坐标不变

? y=sin(2x+ ) 的图象 3 ? y=3sin(2x+ )的图象 3

(3)横坐标不变 纵坐标伸长到原来的3倍

方法1较简便,是常用的一种方法

方法2: (按? , ? , A顺序变换 )
y

3
2

? y=3sin(2x+ ) 3

1

y=sinx
?
? 3
5? 6

? ? 6

o
-1

? 3

5? 3

2?

x

-2

y=sin2x ? y=sin(2x+ ) 3

-3

(1)横坐标缩短到原来的 函数 y=Sinx 纵坐标不变
?

1 2



y=Sin2x的图象

(2)向左平移 6

? y=Sin(2x+ ) 的图象 3 ? y=3Sin(2x+ )的图象 3

(3)横坐标不变 纵坐标伸长到原来的3倍

(常用方法)
?一般地,函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x∈R

的图象可以看作是用下面的方法得到的:
1.先把y=sinx的图象上所有的点向左(φ>0)或右 (φ<0)平行移动| φ|个单位;
2.再把所得图象上各点的横坐标缩短(ω>1)或 伸长(0<ω<1)到原来的1/ω倍(纵坐标不变); 3.再把所得图象上各点的纵坐标伸长(A>1)或缩 短(0<A<1)到原来的A倍(横坐标不变).

例1、叙述由y ? sin x的图象变换得到 y?2 1 ? sin( x ? )的图象的过程 . 3 6

? 6 个长度单位,得到

解:先把正弦曲线上所有的点向右移动
y ? si n (x ? ? )的图像; 6

再把后者所有点的横坐标伸长为原来的3倍
(纵坐标不变),得到
1 ? y ? si n ( x ? ) 3 6

的图像;再

把所得图像上的所有点的纵坐标伸长为原
来的2倍(横坐标不变)而得到函数

的图像

1 ? y ? 2 si n ( x ? ). 3 6

1

y o
?
?
2

步骤1
-1

3? 2

2?

x

(沿x轴平行移动)

y
步骤2
1

o
-1

3? 2

2?

?
2

?

x (横坐标伸长或缩短)

1

y o
?
2

步骤3
-1

?

3? 2

2?

x

(纵坐标伸长或缩短)
1

y o

?
2

步骤4
-1

?

3? 2

2?

x

y ? A sin( ?x ? ? )(其中A ? 0, ? ? 0)在简谐 运动中的相关概念: (1) A 振幅 2? ( 2)T ? 周期 ? 1 ? ( 3) f ? ? 频率 T 2? (4)?x ? ? 相位
(5)?

初相

2 1 ? 练习:请指出函数y ? sin( x ? ) 3 2 4

的振幅、周期、频率、相位、初相 分别是什么? 它的图像与正弦曲线有什么关系?

1.选择题 :已知函数y ? 3sin( x ? )的图象为C. 5 ? (2)为了得到函数 y ? 3 sin(2 x ? )的图象, 只要 5 把C上所有的点? B ?
( A)横坐标伸长到原来的 2倍, 纵坐标不变 1 ( B)横坐标缩短到原来的 倍, 纵坐标不变 2 (C )纵坐标伸长到原来的 2倍, 横坐标不变 1 ( D)纵坐标缩短到原来的 倍, 横坐标不变 2

?

x ? x 2.要得到函数y ? sin( ? )的图象, 可由y ? sin 2 6 2 的图象 A. B. C. D.

?

C

?

? 向右平移 6 ? 向左平移 6 ? 向右平移 3 ? 向左平移 3

? ? 3.要得到函数y ? 3sin( x ? )的图象, 可由y ? 3sin( x ? ) 5 5
的图象 A. B. C. D.

?

C

?

? 向右平移 个单位长度 5 ? 向左平移 个单位长度 5 2? 向右平移 个单位长度 5 2? 向左平移 个单位长度 5

小结1:函数y=Asin(ωx+φ)的图象
) 函数 y ? A sin(?x ? ?的 x 图象可由 y ? sin得到
y ? sin x ? ?0 ? ?? ? ? 0
y

A

y ? A sin(?x ? ? )
A ?1

y ? sin(x ? ? )
0<ω<1横坐标伸长 倍 ? 1 ω>1横坐标压缩 倍
?
1

y ? sin x
2?

?? 0

? ?0

x

y ? sin(?x ? ? )
0<A<1纵坐标压缩 A倍 A>1 纵坐标伸长A 倍

y ? sin(x ? ? )

?A

y ? A sin(?x ? ? )

? ?1 y ? sin(?x ? ? )

小结2:
进一步认识体会数形结合,由简单到复杂,由特

殊到一般的数学思想。培养学生发现、探究、解决问
题的能力。

安全教育: 课间不在楼道或楼梯上玩耍, 特别是楼道拥挤时必须靠右走,上 下楼梯靠右行。严禁在楼梯的扶手 栏杆向下直滑或追逐奔跑 , 踩空 或撞人都可能造成严重伤害。


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