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【金榜教程】2014高三总复习人教A版数学(理)配套课件:第2章 第6讲_图文

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课前自主导学 核心要点研究 课课精彩无限 经典演练提能 限时规范特训

第6讲 对数与对数函数

第二章 第6讲

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不同寻常的一本书,不可不读哟!

第二章 第6讲

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1.理解对数的概念及其运算性质,知道换底公式能将一般 对数转化为自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作 用.
2.理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对 数函数图象通过的特殊点.
3.知道对数函数是一类重要的函数模型.

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1个重要关键点 画对数函数的图象应抓住三个关键点:(a,1),(1,0), (1a,-1). 2项必须防范1. 对数式中,真数必须大于0,解读与对数 有关的问题时,务必先研究函数的定义域.

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2. 对数的单调性与a有关,解题时要按0<a<1和a>1进行分

类讨论.

3种必会方法1. 若底数相同,真数不同,则可构造相关的对

数函数,利用其单调性比较大小.

2. 若真数相同,底数不同,则可借助函数在直线x=1右侧

“底大图低”的特点比较大小.

3.

若低数、真数均不同,则经常借助中间量“0”、“

1 2

”或

“1”比较大小.

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课前自主导学

第二章 第6讲

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1. 对数的定义 (1)对数的定义 如 果 ________ , 那 么 数 x 叫 做 以 a 为 底 N 的 对 数 , 记 作 ________,其中________叫做对数的底数 ,________叫做真 数. (2)两种常见对数

对数形式 常用对数 自然对数

特点 底数为____ 底数为____

记法 ____ ____

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(1)对数式log(a-2)(5-a)=b,则实数a的取值范围 ________.
(2)已知log2x=4,则x-12=________. (3) 若loga2=m,loga3=n,则a2m+n的值为________.

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2. 对数的性质与运算 (1)对数的性质(a>0且a≠1) ①loga1=______;②logaa=______;③alogaN= ______. (2)对数的换底公式 logab=________(a、c均大于零且不等于1).

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(3)对数的运算法则 如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么 ①loga(MN)=logaM+logaN; ②loga(MN )=logaM-logaN; ③logaMn=nlogaM(n∈R).

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(1)若MN>0,运算性质①②还成立吗? (2)结合对数的换底公式探究logab与logba,logambn与logab之 间的关系?

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计算下列各式: (1)log916·log881=________. (2)lg3+lg21l.g22-1=________. (3)(lg5)2+lg2·lg50=________.

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3. 对数函数的定义、图象与性质

(1)对数函数的定义

一般地,函数y=________(a>0,a≠1)叫做对数函数.

(2)对数函数的图象与性质

a>1

0<a<1

图象

性质

(1)定义域:________

(2)值域:________

(3)当x=1时,y=________,即过定点________

(4)在(0,+∞)上为_____

(4)在(0,+∞)上为___

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(1)对数函数y=log2x(1≤x≤8)的值域是________. (2)函数y= 2-log3x的定义域是________. (3)若loga25<1(0<a<1),则a的取值范围________.

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4. 反函数 指数函数y=ax(a>0且a≠1)与对数函数________(a>0且a≠1) 互为反函数,它们的图象关于直线________对称.

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若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数,且f(2) =1,则f(x)=________.

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1. ax=N(a>0且a≠1) x=logaN a N 10 lgN e

lnN

填一填:(1)2<a<5且a≠3

1 (2)4

(3)12

2. 0

1

N

logcb logca

想一想:提示:(1)不一定.如:log2[(-2)(-

3)]≠log2(-2)+log2(-3).

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(2)logab=log1ba;logambn=mn logab.

填一填:(1)83 (2)1 (3)1

3. logax (0,+∞) R 0 (1,0) 增函数 减函数

填一填:(1)[0,3]

(2)(0,9]

2 (3)0<a<5

4. y=logax y=x

填一填:log2x 提示:设f(x)=logax.

∵f(2)=1,∴loga2=1.a=2,

∴f(x)=log2x.

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核心要点研究

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例1 [2012·上海]已知f(x)=lg(x+1). 若0<f(1-2x)-f(x)<1,求x的取值范围. [审题视点] 利用对数的运算法则及运算律进行化简,运 算求值,注意公式成立的条件.

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[解]



??2-2x>0, ???x+1>0

得-1<x<1.由0<lg(2-2x)-lg(x+

1)=lg2x-+21x<1得1<2x-+21x<10.

因为x+1>0,所以x+1<2-2x<10x+10,-

2 3

<x<

1 3

.由

??-1<x<1, ???-23<x<13,

得-23<x<13.

∴x的取值范围为(-23,13).

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对于对数的运算性质的应用,要从两方面加以注意:一要 注意公式应用的条件;二要注意该公式不但能正用,而且也可 逆用,逆用对数的运算性质化简对数式时,可先将它们转化为 同底数的对数和差的形式.

第二章 第6讲

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[变式探究] (1)计算:lg 5(lg 8+lg 1000)+(lg 2 3)2+lg 16+lg 0.06;

4

(2)化简:log3

27 3 ·log5[

].

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解:原式=lg5(3lg2+3)+3lg22-lg6+lg6-2 =3lg5lg2+3lg5+3lg22-2 =3lg2(lg5+lg2)+3lg5-2 =3lg2+3lg5-2 =3(lg2+lg5)-2=1.

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(2)原式=log3 ·log5[2log210- =(34log33-log33)·log5(10-3-2) =(34-1)·log55=-14.

-7log72]

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例2

[2012·新课标全国卷]已知函数f(x)=

1 ln?x+1?-x



则y=f(x)的图象大致为( )

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[审题视点] 函数f(x)=ln?x+11?-x的解析式中既有对数 函数也有一次函数,所以无法直接根据基本初等函数的性 质判断该函数的性质,只能借助导数这个工具,通过研究 函数的单调性和函数取值情况进行分析判断.

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[解析] 令g(x)=ln(x+1)-x(x>-1),则g′(x)=x+1 1- 1=-x+x 1,
令g′(x)>0,即-x+x 1>0,解得-1<x<0; 令g′(x)<0,即-x+x 1<0,解得x<-1(舍去)或x>0.

第二章 第6讲

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所以函数g(x)在(-1,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调 递减,故g(x)<g(0)=ln 1-0=0.所以函数f(x)的定义域为(- 1,0)∪(0,+∞),且f(x)=g?1x?<0.故排除A,C,D,只有B项 正确.
[答案] B

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当遇到比较复杂的函数解析式时,函数的单调性不能直接 进行判断,此时可借助导数工具,利用导函数的符号来判 断.但要注意函数求导之后,解析式发生了变化,故导函数的 定义域与原函数的定义域可能有所不同,我们必须在原函数的 定义域内研究函数的单调性.

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[变式探究] 函数y=xl|nx||x|的图象可能是( )

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答案:B

解析:当x>0时,y=lnx;当x<0时,y=-ln(-x).又

易知函数y=

xln|x| |x|

是奇函数,其图象关于原点对称.故只有

选项B的图象是可能的.

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例3 [2012·大纲全国]已知x=lnπ,y=log52,z=e- 12,则( )

A. x<y<z

B. z<x<y

C. z<y<x

D. y<z<x

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[审题视点] 对数比较大小从三方面考虑:①借助中间

量“-1,0,

1 2

,1”比较;②利用单调性比较;③作差比

较. [解析] ∵x=ln π>1,y=log52<log5 5=12,

z=e-12=

1 e>

14=12,且e-12<e0=1,∴y<z<x.

[答案] D

第二章 第6讲

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奇思妙想:本例已知变为“x=log32,y=ln2,z=5-12” 选项不变,答案又如何呢?
解:B ∵12<log32=llnn23<ln2,而 z=5-12= 15<12, ∴z<x<y.

第二章 第6讲

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1. 比较对数值大小时若底数相同,构造相应的对数函数, 利用单调性求解;若底数不同,可以找中间量,也可以用换底 公式化成同底的对数再比较.
2.利用对数函数的性质,求与对数函数有关的复合函数 的值域和单调性问题,必须弄清三方面的问题,一是定义域, 所有问题都必须在定义域内讨论;二是底数与1的大小关系; 三是复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成 的.

第二章 第6讲

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[变式探究] [2013·福建质检]已知函数f(x)=log12(x2-ax

-a),在(-∞,-

1 2

)上是增函数,则实数a的取值范围是

()

A.[-1,+∞)

B.[-1,12)

C.[-1,12]

D. (-∞,-1]

第二章 第6讲

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答案:B

解析:f(x)=log

1 2

(x2-ax-a)在(-∞,-

1 2

]上是增函

数,说明内层函数μ(x)=x2-ax-a在(-∞,-

1 2

)上是减函

数且μ(x)>0成立,只需对称轴x=

a 2

≥-

1 2

且μ(x)min=μ(-

12)>0,∴解得a∈[-1,12),∴选B.

第二章 第6讲

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【选题·热考秀】

[2012·课标全国]当0<x≤12时,4x<logax,则a的取值范围

是( )

A.(0,

2 2)

B.( 22,1)

C.(1, 2)

D.( 2,2)

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[规范解答] 由0<x≤

1 2

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,且

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logax>4x>0,可得0<a<1,由4

1 2

=loga

1 2

可得a



2 2.

令f(x)=4x,g(x)=logax,若4x<logax,

则说明当0<x≤

1 2

时,f(x)的图象恒在g(x)图

象的下方(如右图所示),此时需a>

2 2.

综上可得a的取值范围是( 22,1). [答案] B

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【备考·角度说】 No.1 角度关键词:审题视角 此不等式为超越不等式,无法直接求解,但可借助于函数 图象直观地解出,解题时要注意对数函数的图象与相应底数的 变化规律. No.2 角度关键词:方法突破 对于较复杂的不等式有解或恒成立问题,可借助函数图象 解决,具体做法为:

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(1)对不等式变形,使不等号两边对应两函数f(x),g(x); (2)在同一坐标系下作出两函数y=f(x)及y=g(x)的图象; (3)比较当x在某一范围内取值时图象的上下位置及交点的 个数,来确定参数的取值或解的情况.

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1.[2012·安徽高考](log29)·(log34)=( )

1

1

A.4

B.2

C.2

D.4

答案:D

解析:原式=llgg92·llgg43=2llgg23·2llgg32=4,故选D.

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2.函数y=ln(1-x)的大致图象( )

答案:C 解析:由y=ln(-x)向右平移1个单位得到C项.

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3.[2012·重庆]已知a=log23+log2 3

log2 3,c=log32,则a,b,c的大小关系是(

A.a=b<c

B.a=b>c

,b=log29- )

C.a<b<c

D.a>b>c

答案:B

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解析:a=log23+log2 3=log2(3 3),b=log29-log2 3 =log2(3 3 ),因而a=b,而log23 3 >log22=1,log32<log33 =1,所以a=b>c,故选B.

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4.[2013·金版原创]函数y= (-x2+6x)的值域

()

A.(0,6)

B.(-∞,-2]

C.[-2,0)

D.[-2,+∞)

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答案:D 解析:∵-x2+6x=-(x-3)2+9, ∴0<-x2+6x≤9 ∴y≥ 9=-2,故选D.

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5.[2011·新课标全国高考]已知函数y=f(x)的周期为2,当

x∈[-1,1]时f(x)=x2,那么函数y=f(x)的图象与函数y=|lg x|的

图象的交点共有( )

A.10个

B.9个

C.8个

D.1个

答案:A

解析:画出两个函数图象的草图,如图,可看出交点共有

10个.故选A.

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