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2016


第 2 课时

向量平行的坐标表示

1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.(重点) 2.能根据平面向量的坐标,判断向量是否共线.(重点) 3.掌握三点共线的判断方法.(难点)

[基础·初探] 教材整理 向量平行的坐标表示 阅读教材 P79~P81 的有关内容,完成下列问题. 设向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2)(a≠0),如果 a∥b,那么 x1y2-x2y1=0;反过来,如 果 x1y2-x2y1=0,那么 a∥b.

1.若 a=(2,3),b=(x,6),且 a∥b,则 x=________. 【解析】 ∵a∥b,∴2×6-3x=0,即 x=4. 【答案】 4 → → 2. 已知四点 A(-2, -3), B(2,1), C(1,4), D(-7, -4), 则AB与CD的关系是________. (填 “共线”或“不共线”) → → 【解析】 AB=(2,1)-(-2,-3)=(4,4),CD=(-7,-4)-(1,4)=(-8,-8), → → → → 因为 4×(-8)-4×(-8)=0,所以AB∥CD,即AB与CD共线. 【答案】 共线 [质疑·手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1: 解惑:
1

疑问 2: 解惑: 疑问 3: 解惑:

[小组合作型] 向量平行的判定 → → 已知 A(2,1),B(0,4),C(1,3),D(5,-3),判断AB与CD是否平行?如果平行, 它们的方向相同还是相反? 【导学号:06460057】 → → 【精彩点拨】 根据已知条件求出AB和CD,然后利用两向量平行的条件判断. 【自主解答】 ∵A(2,1),B(0,4),C(1,3),D(5,-3), → ∴AB=(0,4)-(2,1)=(-2,3), →

CD=(5,-3)-(1,3)=(4,-6).
∵(-2)×(-6)-3×4=0,且(-2)×4<0, → → ∴AB与CD平行且方向相反.

判定用坐标表示的两向量 a=?x1,y1?,b=?x2,y2?是否平行,即判断 x1y2-x2y1= 0 是否成立,若成立,则平行;否则,不平行.

[再练一题] → 1→ → 1→ 1.已知 A,B,C 三点坐标分别为(-1,0),(3,-1),(1,2),并且AE= AC,BF= BC, 3 3 → → 求证:EF∥AB . 【证明】 设点 E,F 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2). → → → 依题意有,AC=(2,2),BC=(-2,3),AB=(4,-1). → 1→ 1 ∵AE= AC,∴(x1+1,y1)= (2,2), 3 3

2

? 1 2? ∴点 E 的坐标为?- , ?, ? 3 3? ?7 ? 同理点 F 的坐标为? ,0?, ?3 ?
→ ?8 2? ∴EF=? ,- ?. 3? ?3 8 ? 2? 又 ×(-1)-4×?- ?=0, 3 ? 3? → → ∴EF∥AB. 利用向量共线求参数的值 已知 a=(1,2),b=(-3,2),当 k 为何值时,ka+b 与 a-3b 平行?平行时它 们是同向还是反向? 【精彩点拨】 充分利用向量共线的条件解题. 【自主解答】 法一:ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),

a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4),
当 ka+b 与 a-3b 平行时,存在唯一实数 λ , 使 ka+b=λ (a-3b). 即(k-3,2k+2)=λ (10,-4),

? ?k-3=10λ , 所以? ?2k+2=-4λ , ?

1 解得 k=λ =- . 3

1 当 k=- 时,ka+b 与 a-3b 平行, 3 1 1 这时 ka+b=- a+b=- (a-3b), 3 3 1 因为 λ =- <0,所以 ka+b 与 a-3b 反向. 3 法二:由题知 ka+b=(k-3,2k+2),

a-3b=(10,-4).
因为 ka+b 与 a-3b 平行, 所以(k-3)×(-4)-10(2k+2)=0, 1 解得 k=- . 3 2 ? 1 ? 1 这时 ka+b=?- -3,- +2?=- (a-3b). 3 3 3 ? ?

3

1 所以当 k=- 时,ka+b 与 a-3b 平行,并且反向. 3

1.对于根据向量共线的条件求值的问题,一般有两种处理思路:一是利用共线向量定 理 a=λ b(b≠0)列方程组求解;二是利用向量共线的坐标表达式 x1y2-x2y1=0 直接求解. 2.利用 x1y2-x2y1=0 求解向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ ”,从而减少 未知数个数,而且使问题的解决具有代数化的特点、程序化的特征.

[再练一题] 2.已知向量 a=(1,1),b=(2,x),若 a+b 与 4b-2a 平行,求实数 x 的值. 【解】 因为 a=(1,1),b=(2,x), 所以 a+b=(3,x+1),4b-2a=(6,4x-2), 由 a+b 与 4b-2a 平行,得 6(x+1)-3(4x-2)=0,解得 x=2. [探究共研型] 共线向量与定比分点公式 探究 1 若点 P(x,y)是线段 P1P2 的中点,且 P1(x1,y1),P2(x2,y2),试用 P1,P2 的坐 标表示点 P 的坐标. 【提示】 P? → 1→ ?x1+x2,y1+y2?,因为P ? 1P= P1P2, 2 ? 2 ? 2

1 所以(x-x1,y-y1)= (x2-x1,y2-y1), 2 ∴x=

x1+x2
2

,y=

y1+y2
2

.

→ → 探究 2 若P1P=λ PP2,则点 P 的坐标如何表示? 【提示】 P?

?x1+λ x2,y1+λ y2?,推导方法类同于探究 1. ? 1+λ ? ? 1+ λ

→ 已知两点 A(3,-4),B(-9,2)在直线 AB 上,求一点 P 使|AP|= 1 → |AB|. 3 → 1→ 【精彩点拨】 分“AP=± AB”两类分别求点 P 的坐标. 3 【自主解答】 设点 P 的坐标为(x,y),

4

→ 1→ ①若点 P 在线段 AB 上,则AP= PB, 2 1 ∴(x-3,y+4)= (-9-x,2-y), 2 解得 x=-1,y=-2,∴P(-1,-2). ②若点 P 在线段 BA 的延长线上, → 1→ 则AP=- PB, 4 1 ∴(x-3,y+4)=- (-9-x,2-y), 4 解得 x=7,y=-6,∴P(7,-6). 综上可得点 P 的坐标为(-1,-2)或(7,-6).

1.向量具有大小和方向两个要素,因此共线向量模间的关系可以等价转化为向量间的 等量关系,但要注意方向性. 2.本例也可以直接套用定比分点公式求解.

[再练一题] 3.如图 2?3?18 所示,已知点 A(4,0),B(4,4),C(2,6),求 AC 和 OB 交点 P 的坐标.

图 2?3?18 → → 【解】 设OP=tOB=t(4,4)=(4t,4t), → → → 则AP=OP-OA=(4t,4t)-(4,0)=(4t-4,4t), →

AC=(2,6)-(4,0)=(-2,6).
→ → 由AP,AC共线的条件知 3 (4t-4)×6-4t×(-2)=0,解得 t= . 4 → ∴OP=(4t,4t)=(3,3),∴P 点坐标为(3,3).
5

[构建·体系]

1.下列各组向量中,共线的是________. ①a=(-2,3),b=(4,6); ②a=(2,3),b=(3,2); ③a=(1,-2),b=(7,14); ④a=(-3,2),b=(6,-4). 【解析】 ∵在④中,b=(6,-4),a=(-3,2), ∴b=-2(-3,2)=-2a, ∴a 与 b 共线. 【答案】 ④ 2.已知 a=(-1,2),b=(2,y),若 a∥b,则 y=________. -1 2 【解析】 ∵a∥b,∴ = ,∴y=-4. 2 y 【答案】 -4 → → 3.若 P1(1,2),P(3,2),且P1P=2PP2,则 P2 的坐标为________. 【导学号:06460058】 → 【解析】 设 P2(x,y),则P1P=(2,0),

PP2=(x-3,y-2),2PP2=(2x-6,2y-4).
? → → ?2x-6=2, 由P1P=2PP2可得? ?2y-4=0, ?





解得?

? ?x=4, ?y=2. ?

【答案】 (4,2) 4.下列说法正确的是______________.(填序号) ①存在向量 a 与任何向量都是平行向量; ②如果向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),且 a∥b,则 = ;

x1 x2 y1 y2

6

③如果向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),且 a∥b,则 x1y2-x2y1=0; ④如果向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),且 = ,则 a∥b. 【解析】 ①当 a 是零向量时,零向量与任何向量都是平行向量;②不正确,当 y1=0 或 y2=0 时,显然不能用 = 来表示;③④正确. 【答案】 ①③④ 5.给定两个向量 a=(1,2),b=(λ ,1),若 a+2b 与 2a-2b 共线,求 λ 的值. 【解】 ∵a+2b=(1,2)+2(λ ,1)=(1+2λ ,4), 2a-2b=2(1,2)-2(λ ,1)=(2-2λ ,2), 又 a+2b 与 2a-2b 共线, 1 ∴2(1+2λ )-4(2-2λ )=0,∴λ = . 2

x1 x2 y1 y2

x1 x2 y1 y2

我还有这些不足: (1) (2) 我的课下提升方案: (1) (2)

学业分层测评(二十)

向量平行的坐标表示

(建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、填空题 1.已知平面向量 a=(1,2),b=(-2,m),且 a∥b,则 2a+3b=________. 【解析】 ∵a∥b,∴m+4=0, ∴m=-4, ∴b=(-2,-4),

7

∴2a+3b=2(1,2)+3(-2,-4), =(2,4)+(-6,-12)=(-4,-8). 【答案】 (-4,-8) 2.已知 a=(-1,x)与 b=(-x,2)共线,且方向相同,则实数 x=________. 【解析】
? ?-1=-λ x, 设 a = λ b ,则 ( - 1 , x) = ( - λ x,2λ ) ,所以有 ? ? ?x=2λ ,

解得

?x= 2, ? ? 2 λ = , ? 2 ?

?x=- 2, ? 或? 2 λ =- . ? 2 ?
2 ,x= 2. 2

又 a 与 b 方向相同,则 λ >0,所以 λ = 【答案】 2

3.若 A(-1,2),B(3,1),C(-2,m),三点共线,则 m=________. 【解析】 ∵A,B,C 三点共线, →

AB=(4,-1),BC=(-5,m-1),
∴4(m-1)=-5×(-1), 9 ∴m= . 4 【答案】 9 4



4.已知向量 a=(3,1),b=(1,3),c=(k,7),若(a-c)∥b,则 k=________. 【解析】 a-c=(3-k,-6),b=(1,3), 3-k -6 ∵(a-c)∥b,∴ = ,∴k=5. 1 3 【答案】 5 5.(2016·南通高一检测)若 a=(2cos α ,1),b=(sin α ,1),且 a∥b,则 tan α =________. 【解析】 ∵a∥b,∴2cos α =sin α , ∴tan α =2. 【答案】 2 → 6.已知点 A(1,-2),若线段 AB 的中点坐标为(3,1),且AB与向量 a=(1,λ )共线, 则 λ =________. 【解析】 设 B(x,y),则由题意可知

8

1+x ? ? 2 =3, ?-2+y ? ? 2 =1, → ∴AB=(4,6).

∴?

?x=5 ? ? ?y=4,

→ 又AB∥a,∴4λ =6, 3 ∴λ = . 2 【答案】 3 2

7. 已知向量 m=(2,3), n=(-1,2), 若 am+bn 与 m-2n 共线, 则 等于________. 【导 学号:06460059】 【解析】 =(4,-1), ∵am+bn 与 m-2n 共线,

a b

am+bn=(2a,3a)+(-b,2b)=(2a-b,3a+2b),m-2n=(2,3)-(-2,4)

a 1 ∴b-2a-12a-8b=0,∴ =- . b 2
1 【答案】 - 2 8.已知两点 M(7,8),N(1,-6),P 点是线段 MN 的靠近点 M 的三等分点,则 P 点的坐 标为________. 【解析】 设 P(x,y),如图:

→ → ∴MN=3MP, ∴(-6,-14)=3(x-7,y-8),
? ?-6=3?x-7?, ∴? ?-14=3?y-8?, ?

x=5, ? ? 解得? 10 y= . ? 3 ?

? 10? 【答案】 ?5, ? 3 ? ?
二、解答题 9.已知 a=(1,0),b=(2,1). (1)当 k 为何值时,ka-b 与 a+2b 共线?

9

→ → (2)若AB=2a+3b,BC=a+mb 且 A,B,C 三点共线,求 m 的值. 【解】 (1)ka-b=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1),

a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2).
∵ka-b 与 a+2b 共线, ∴2(k-2)-(-1)×5=0, 1 即 2k-4+5=0,得 k=- . 2 (2)∵A,B,C 三点共线, → → ∴AB=λ BC,λ ∈R,
? ?2=λ , 即 2a+3b=λ (a+mb),∴? ?3=mλ , ?

3 解得 m= . 2 10.如图 2?3?19 所示,在四边形 ABCD 中,已知 A(2,6),B(6,4),C(5,0),D(1,0), 求直线 AC 与 BD 交点 P 的坐标.

图 2?3?19 → → → → 【解】 设 P(x,y),则DP=(x-1,y),DB=(5,4),CA=(-3,6),DC=(4,0). → → 由 B,P,D 三点共线可得DP=λ DB=(5λ ,4λ ). → → → 又∵CP=DP-DC=(5λ -4,4λ ), → → 由于CP与CA共线得,(5λ -4)×6+12λ =0, → 4→ ?20 16? 4 解之得 λ = ,∴DP= DB=? , ?, 7 7 ?7 7?

?27 16? ∴P 的坐标为? , ?. ?7 7?
[能力提升] 1.已知向量 a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若 λ 为实数,且(a+λ b)∥c,则 λ 等于________. 【解析】 a+λ b=(1,2)+(λ ,0)=(1+λ ,2),

10

1 因为(a+λ b)∥c,所以 4(1+λ )-6=0,故 λ = . 2 【答案】 1 2
2

2.设 a=(6,3a),b=(2,x -2x),且满足 a∥b 的实数 x 存在,则实数 a 的取值范围 是________. 【解析】 a∥b,∴6(x -2x)-2×3a=0,即 a=x -2x, ∴a=(x-1) -1≥-1. 【答案】 [-1,+∞) → → → 3.已知向量OA=(1,3),OB=(2,-1),OC=(m+1,m-2),若点 A,B,C 能构成三角 形,则实数 m 应满足的条件为________. 【解析】 由 A,B,C 能构成三角形知,A,B,C 三点不共线, → → ∴AB与AC不共线, → → ∴AB≠λ AC(λ 为实数). → → → → → → ∵AB=OB-OA=(1,-4),AC=OC-OA=(m,m-5), ∴(1,-4)≠λ (m,m-5), 即 1 -4 ≠ ,∴m≠1. λ m λ ?m-5?
2 2 2

【答案】 m≠1 → 4.如图 2?3?20,在?OABP 中,过点 P 的直线与线段 OA,OB 分别相交于点 M,N,若OM=

xOA,ON=yOB(0<x<1).

→ →



图 2?3?20 (1)求 y=f(x)的解析式; (2)令 F(x)= 1

f?x?

+x,判断 F(x)的单调性,并给出你的证明.

→ → → → → → → → → 【解】 (1)OP=AB=OB-OA,则NM=OM-ON=xOA-yOB, →

MP=OP-OM=(OB-OA)-xOA
→ → =-(1+x)OA+OB.

→ →







11

→ → 又NM∥MP,有 x-y(1+x)=0, 即 y=f(x)=

x (0<x<1). x+1

(2)F(x)在(0,1)上单调递减,证明如下: 设 0<x1<x2<1,则

x1+1 1 1 F(x1)= +x1= +x1+1,F(x2)= +x2+1, x1 x1 x2
1 1 x1-x2 ∴F(x2)-F(x1)= - +(x2-x1)= +x2-x1

x2 x1

x1x2



?x2-x1??x1x2-1? .

x1x2

又 0<x1<x2<1,∴x2-x1>0,x1x2-1<0, ∴F(x2)-F(x1)<0,即 F(x2)<F(x1), ∴F(x)在(0,1)上为减函数.

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