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高考专题二解析几何2圆锥曲线1 (终)


圆锥曲线 一、椭圆知识点
1、定义:平面内与两个定点 F )的点的轨迹称 1,F 2 的距离之和等于常数(大于 F 1F 2 为椭圆. 即: | MF1 | ? | MF2 |? 2a, (2a ?| F1 F2 |) 。 这两个定点称为椭圆的焦点,两焦点的距离称为椭圆的焦距. 2、椭圆的几何性质: 焦点的位置 焦点在 x 轴上

焦点在 y 轴上

图形

标准方程

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? a 2 b2
? a ? x ? a 且 ?b ? y ? b

y 2 x2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? a 2 b2
?b ? x ? b 且 ?a ? y ? a

范围

?1 ? ?a,0? 、 ?2 ? a,0?
顶点

?1 ? 0, ?a ? 、 ?2 ? 0, a ? ?1 ? ?b,0? 、 ?2 ? b,0?
长轴的长 ? 2 a

?1 ? 0, ?b? 、 ?2 ? 0, b ?
短轴的长 ? 2b

轴长 焦点 焦距 对称性 离心率

F1 ? ?c,0? 、 F2 ? c,0?

F1 ? 0, ?c ? 、 F2 ? 0, c ?

F1 F2 ? 2c ? c 2 ? a 2 ? b 2 ?
关于 x 轴、 y 轴、原点对称

e?
a2 c

c b2 ? 1 ? 2 ? 0 ? e ? 1? a a
y?? a2 c

准线方程

x??

二、双曲线知识点
1、定义:平面内与两个定点 F 1,F 2 的距离之差的绝对值等于常数(小于 F 1F 2 )的点
1

的轨迹称为双曲线.即: || MF1 | ? | MF2 ||? 2a, (2a ?| F1 F2 |) 。 这两个定点称为双曲线的焦点,两焦点的距离称为双曲线的焦距. 2、双曲线的几何性质: 焦点在 y 轴上 焦点的位置 焦点在 x 轴上

图形

标准方程

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? a 2 b2
x ? ?a 或 x ? a , y ? R

y 2 x2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? a 2 b2
y ? ?a 或 y ? a , x ? R

范围 顶点 轴长 焦点 焦距 对称性 离心率

?1 ? ?a,0? 、 ?2 ? a,0?
虚轴的长 ? 2b

?1 ? 0, ?a ? 、 ?2 ? 0, a ?
实轴的长 ? 2 a

F1 ? ?c,0? 、 F2 ? c,0?

F1 ? 0, ?c ? 、 F2 ? 0, c ?

F1 F2 ? 2c ? c 2 ? a 2 ? b 2 ?
关于 x 轴、 y 轴对称,关于原点中心对称

e?
y?? b x a

c b2 ? 1 ? 2 ? e ? 1? a a
y?? a x b

渐近线方程

准线方程

a2 x?? c

a2 y?? c

3、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线.

三、抛物线知识点
1、 定义: 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线. 定点 F 称为抛物线的焦点,定直线 l 称为抛物线的准线. 2、抛物线的几何性质:

y 2 ? 2 px
标准方程

y 2 ? ?2 px

x 2 ? 2 py

x 2 ? ?2 py

? p ? 0?

? p ? 0?
2

? p ? 0?

? p ? 0?

图形

顶点

? 0, 0 ?
x轴
? p ? F ? ,0? ?2 ?

对称轴

y轴
p? ? F ? 0, ? 2? ?
p? ? F ? 0, ? ? 2? ?

焦点

? p ? F ? ? ,0? ? 2 ?

准线方程

x??

p 2

x?

p 2

y??

p 2

y?

p 2

离心率

e ?1

范围

x?0

x?0

y?0

y?0

3、 过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于 ? 、? 两点的线段 ?? , 称为抛物线的 “通 径” ,即 ?? ? 2 p . 4、焦半径公式:

p ; 2 p 2 若点 ? ? x0 , y0 ? 在抛物线 x ? 2 py ? p ? 0? 上,焦点为 F ,则 ?F ? y0 ? ; 2
若点 ? ? x0 , y0 ? 在抛物线 y ? 2 px ? p ? 0? 上,焦点为 F ,则 ?F ? x0 ?
2

典型例题
2 2 1.已知动点 M 的坐标满足方程 13 x ? y ?| 12 x ? 5 y ? 12 | ,则动点 M 的轨迹是( )

A.

抛物线

B.双曲线

C. 椭圆

D.以上都不对

2.设 P 是双曲线

x2 y2 ? ? 1 上一点,双曲线的一条渐近线方程为 3x ? 2 y ? 0, F1 、F2 分 9 a2

别是双曲线的左、右焦点,若 | PF1 A. 1 或 5 B. 1 或 9

|? 5 ,则 | PF2 |? (
C. 1

) D. 9

3、设椭圆的两个焦点分别为 F1、 、F2,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P,若△F1PF2 为等
3

腰直角三角形,则椭圆的离心率是( ). A.

2 2

B.

2 ?1 2

C. 2 ? 2

D.

2 ?1

x2 y2 ? ? 1 的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是( ) 36 9 A x ? 2y ? 0 B x ? 2y ? 4 ? 0 C 2 x ? 3 y ? 12 ? 0 D x ? 2y ? 8 ? 0 7 6 . 已 知 点 P 是 抛 物 线 y 2 ? 2 x 上 的 动 点 , 焦 点 为 F , 点 A 的 坐 标 是 A( , 4) , 则 2 ) | P A | ? | P F 的最小值是( | 11 9 (A) (B) 4 (C) (D) 5 2 2 7. 如果 x , y 满足 4 x 2 ? 9 y 2 ? 36, 则 2x ? 3 y ? 12 的最大值为
5.如果椭圆
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

8.过点 A(0, 2) 可作

条直线与双曲线 x ?
2

y2 ? 1 有且只有一个公共点。 4

9. 已 知 抛 物 线 y 2 ? 2 px( p? 0)的 过 焦 点 的 弦 为 AB , 且 AB ? 5 , 又 xA ? xB ? 3 ,

p?
10.椭圆 x 2 ? 4 y 2 ? 4 长轴上的一个顶点为 A ,以 A 为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直 角三角形,该三角形的面积是 。

2 2 11.P 为椭圆 x ? y ? 1 上一点, F1 、 F2 为左右焦点,若 ?F1 PF2 ? 60? 25 9 (1)求△ F1 PF2 的面积; (2)求 P 点的坐标.

12.求两条渐近线为 x ? 2 y ? 0 且截直线 x ? y ? 3 ? 0 所得弦长为

8 3 的双曲线方程. 3

2 14.已知抛物线 y ? ? x ? ax ?

1 与直线 y ? 2 x 2

(1) 求证:抛物线与直线相交; (2) 求当抛物线的顶点在直线的下方时, a 的取值范围;

4


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