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【金版学案】2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第十一章 第四节参数方程 理


第四节

参数方程

知识梳理 一、参数方程的定义 一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 x,y 都是某个变数 t 的函 ?x=f t , ? 数? (*) ?y=g t , ? 并且对于 t 的每一个允许值,由方程组(*)所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上,那么 方程(*)就叫做这条曲线的参数方程,联系变数 x,y 的变数 t 叫做参变数,简称参数. 相对于参数方程而言,直接给出点的横、纵坐标间关系的方程叫做普通方程.

二、圆的参数方程 圆(x-x0) +(y-y0) =r 的参数方程为?
2 2 2 2

? ?x=x0+rcos θ , ?y=y0+rsin θ . ?
2 2

(θ 为参数)
? ?x=rcos θ , ?y=rsin θ . ?

特别地,圆心在原点,半径为 r 的圆 x +y =r 的参数方程是?

(θ 为

参数) 其中参数 θ 的几何意义是 OM0 绕点 O 逆时针旋转到 OM 的位置时,OM0 转过的角度. 三、椭圆的参数方程 ? ?x=acos φ , x2 y2 中心在原点 O,焦点在 x 轴上的椭 圆 2+ 2=1(a>b>0)的参数方程是? a b ?y=bsin φ . ? (φ 为参数) 其中参数 φ 的范围为 φ ∈[0,2π ). 四、双曲线的参数方程 中心在原点 O, 焦点在 x 轴上的双曲线 2- 2=1 的参数方程是? 参数) π 3π 1 其中参数 φ 的范围为 φ ∈[0,2π ),且 φ ≠ ,φ ≠ 注意:sec φ = . 2 2 cos φ 五、抛物线的参数方程 2 ? ?x=2pt , 2 ? 开口向右,焦点在 x 轴上的抛物线 y =2px(p>0)的参数方程是 (t 为参 ?y=2pt. ? 数),其中参数 t 表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数,其范围为
1

x2 y2 a b

? ?x=asec φ , ?y=btan φ . ?

(φ 为

t∈(-∞,+∞).
六、直线的参数方程 1.标准式. 经过点 M0(x0,y0),倾斜角为 θ 的直线的参数方程为 ? ?x=x0+tcos θ , ? (t 为参数) ?y=y0+tsin θ . ? → 其中,t 是直线上的定点 M0(x0,y0)到动点 M(x,y)的有向线段M0M的数量,即 M0M=t, 当点(x,y)在点(x0,y0)的上方时,t>0;当点(x,y)在点(x0,y0)的下方时,t<0,当点(x, y)与点(x0,y0)重合时,t=0.以上反之亦然. 于是参数 t 的绝对值等于直线上的动点 M 到定点 M0 的距离. 由于直线的标准参数方程 中 t 具有这样的几 何意义, 所以在解决直线与二次曲线相交 的弦长和弦的中点问题时,用参数方程来解决,方便了很多. 2.点斜式.
? ?x=x0+at, ? ?y=y0+bt. ?

(t 为参数)其中,(x0,y0)表示该直线上的一点, 表示直线的斜率.

b a

当 a, b 分别表示点 M(x, y)在 x 方向与 y 方向的分速度时, t 就具有物理意义 ——时间, 相应的 at,bt 则表示点 M(x,y)在 x 方向,y 方向上相对(x0,y0)的位移. 七、渐开线与摆线的参数方程(了解) 1.渐开线的参数方程. ?x=r φ +φ sin φ , ? ? (φ 为参数),其中 r 为基圆的半径,φ 为过切点的 ? φ -φ cos φ ?y=r 半径与 x 轴正方向所成的角.(如图 1)

图1

图2 2.摆线的参数方程. ?x=r φ -sin φ , ? -cos φ 所转过的角(如图 2).
? ?y=r ?

(φ 为参数),其中 r 为圆的半径,φ 为定点作圆周运动时

2

八、参数方程和普通方程的互化 1. 由参数方程化为普通方程(重点)——消去参数. 消参数常用的方法有代入法、 加减(或 乘除)消元法、三角代换法等.消参时应特别注意参数的取值范围对 x,y 的限制. 由参数方程化为普通方程一般是唯一的. 2.由普通方程化为参数方程(难点)——选参数.参数选法多种多样,所以由普通方程 化为参数方程是不唯一的.

基础自测 1.若直线?
? ?x=1-2t, ?y=2+3t, ?

(t 为实数)与直线 4x+ky=1 垂直,则常数 k=________.

解析:参数方程?

?x=1-2t, ? ? ?y=2+3t,

所表示的直线方程为 3x+2y-7=0,由此直线与直线

? 3? ? 4? 4x+ky=1 垂直可得?- ?×?- ?=-1,解得 k=-6. ? 2? ? k? 答案:-6
2.参数方程?
?x=2cos α , ? ?y=2-cos 2α ?



是参数)表示的曲线的普通方程是

____________________. 答案:y=- +3(|x|≤2) 2
?x=t, ? ?y=t-a, ?

x2

3.(2013·湖南卷)在平面直角坐标系 xOy 中,若直线 l:? 椭圆 C:?
?x=3cos φ , ? ?y=2sin φ , ?

(t 为参数)过

(φ 为参数)的右顶点,则常数 a 的值为__________.

解析:直线 l 的普通方程为 y=x-a,椭圆 C 的普通方程为 + =1,右顶点为(3,0), 9 4 代入直线 l 的方程中,得 0=3-a,所以 a=3. 答案:3 4. (2013·宝鸡三模)已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ =6sin θ ,以极点为原点,极轴 1 x= t, ? ? 2 为 x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系, 直线 l 的参数方程为? 3 ? ?y= 2 t+1, 数),则直线 l 被曲线 C 截得的线段长度为________. 解析:曲线 C 的直角坐标方程为 x +y -6y=0,该曲线是圆,圆心为(0,3),半径为 3; |-3+1| 直线 l 的普通方程为 3x-y+1=0,圆心到直线的距离为 d= =1,所以,直线 l 2 被曲线 C 截得的线段长度为 2 3 -1 =4 2.
3
2 2 2 2

x2 y2

(t 为参

答案:4 2

1.(2013·重庆卷)在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立
?x=t , ? 极坐标系.若极坐标方程为 ρ cos θ =4 的直线与曲线? 3 ?y=t ?
2

(t 为参数)相交于 A,B

两点,则|AB|=__________.
? ?x=t , 解析:将极坐标方程 ρ cos θ =4 化为直角坐标方程得 x=4,将 x=4 代入? 3 ?y=t ?
2

得 t=±2,从而 y=±8.于是得 A(4,8),B(4,-8).所以|AB|=8-(-8)=16. 答案:16
? ?x=t, ?y=t ?
2

2.(2013·江西卷)设曲线 C 的参数方程为?

(t 为参数),若以直角坐标系的

原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线 C 的极坐标方程为________.
? ?x=t, ?y=t ?
2

解析: 由?
2

得曲线 C 的普通方程为 y=x , 利用互化公式?
2

2

? ?x=ρ cosθ , ?y=ρ sinθ ?

将y

=x 化为极坐标方程为 sin θ =ρ cos θ . 2 答案:sin θ =ρ cos θ

1.(2013·华南师大附中三模)以平面直角坐标系的原点为极点,并在两种坐标系中取 相同的单位长度.已知圆 C 的极坐标方程是 ρ = 4cos θ ,则它的圆心到直线 l :

?x=-2- 2t, ? ?y=3+ 2t

(t 为参数)的距离等于__________.

解析:圆 C 的直角坐标方程为 x +y -4x=0,圆心为 C(2,0),直线 l 的普通方程为 x |2+0-1| 2 +y-1=0,所以圆心到该直线的距离为 d= = . 2 2 答案: 2 2

2

2

2.(2013·湖南十二校二模)设极点与坐标原点重合,极轴与 x 轴正半轴重合,已知直 π? ?x=2 3+2cos θ , ? 线 l 的极坐标方程是: ρ sin?θ - ?=a, a∈R, 圆 C 的参数方程是? 3? ? ?y=2+2sin θ (θ 为参数),若圆 C 关于直线 l 对称,则 a=__________. 解析:直线 l 的直角坐标方程为 3x-y+2a=0,圆 C 的圆心为(2 3,2),因为圆 C 关于直线 l 对称,所以,圆心(2 3,2)在直线 l 上,得 3×(2 3)-2+2a=0,解得 a= -2. 答案:-2
4

3. 已知曲线 C 的参数方程为? 的切线方程为____________.

?x=3t, ? ? ?y=2t +1
2

(t 为参数), 则过曲线 C 上横坐标为 1 的点

2 2 4 ? 11? 解析:曲线 C 的普通方程为 y= x +1,则切点坐标为?1, ?.由 y′= x 得切线斜率 9? 9 9 ? 4 k=y′|x=1= ,故所求的切线方程为 4x-9y+7=0. 9 答案:4x-9y+7=0

5


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