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2017步步高大一轮复习讲义数学2.5


1.分数指数幂 n (1)规定:正数的正分数指数幂的意义是 a n = am(a>0,m,n∈N*,且 n>1);正数的负分数 指数幂的意义是 a
? m n m



1 n am

(a>0,m,n∈N*,且 n>1);0 的正分数指数幂等于 0;0 的负分

数指数幂没有意义. (2)有理数指数幂的运算性质:aras=ar s,(ar)s=ars,(ab)r=arbr,其中 a>0,b>0,r,s∈Q.


2.指数函数的图象与性质 y=ax a>1 0<a<1

图象

定义域 值域

(1)R (2)(0,+∞) (3)过定点(0,1) (4)当 x>0 时,y>1; (5)当 x>0 时,0<y<1; 当 x<0 时,y>1 (7)在(-∞, +∞)上是 减函数

性质

当 x<0 时,0<y<1 (6)在(-∞,+∞)上是增函数

【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

n n (1) an=( a)n=a.( ×
m

) )

m (2)分数指数幂 a n 可以理解为 个 a 相乘.( × n
2

1

(3)(-1) 4 =(-1) 2 = -1.( × ) (4)函数 y=a x 是 R 上的增函数.( × )


(5)函数 y=a

x 2+1
-1

(a>1)的值域是(0,+∞).( ×

)

(6)函数 y=2x

是指数函数.( × )

1.若 a=(2+ 3) 1,b=(2- 3) 1,则(a+1) 2+(b+1)
- - -

-2

的值是(

)

1 2 2 A.1B. C. D. 4 2 3 答案 D 解析 ∵a=(2+ 3) 1=2- 3,b=(2- 3) 1=2+ 3,
- -

∴(a+1) 2+(b+1) 2=(3- 3) 2+(3+ 3)
- - -

-2



1 1 2 + = . 12-6 3 12+6 3 3 )

1 2.函数 f(x)=ax- (a>0,a≠1)的图象可能是( a

答案 D 解析 函数 f(x)的图象恒过(-1,0)点,只有图象 D 适合. 3.(教材改编)已知 0.2m<0.2n,到 m________n(填“>”或“<”). 答案 > 解析 设 f(x)=0.2x,f(x)为减函数, 由已知 f(m)<f(n),∴m>n. 4. 若函数 y=(a2-1)x 在(-∞, +∞)上为减函数, 则实数 a 的取值范围是________________. 答案 (- 2,-1)∪(1, 2) 解析 由 y=(a2-1)x 在(-∞,+∞)上为减函数,得 0<a2-1<1,∴1<a2<2,即 1<a< 2或- 2<a<-1. 5.函数 y=8-23 x(x≥0)的值域是________.


答案 [0,8)

解析 ∵x≥0,∴-x≤0,∴3-x≤3, ∴0<23 x≤23=8,∴0≤8-23 x<8,
- -

∴函数 y=8-23 x 的值域为[0,8).


题型一

指数幂的运算
3 a3b2 ab2
1 4 1 2 4
? 1 3

例 1 化简:(1)
2

?a b ? a
1

b

1 3

(a>0,b>0);

(2) (- 27 )? 3 +? 0.002 ?? 2 -10( 5-2)-1+( 2- 3)0 .
8
? ?1? 1? ? 2 ? ?a b a b ? 2 - 解 (1)原式= =a 2 6 3 b 3 3 =ab 1. 1 1

3 2

1 3

2 3

1

3 1

1

1

1

ab2a

?

3

b3
? 1

2 1 ? 2 10 (2)原式= (- 27 )? 3 +? +1 ? ? -

8

? 500 ?

5-2

2 1 ?2 = (- 8 ) 3 +? +1 ? ? -10( 5+ 2)

1

27

? 500 ?

4 167 = +10 5-10 5-20+1=- . 9 9 思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、 分数指数幂统一为分数指数幂, 以便利用法则计算, 还应注意:①必须同底数幂相乘,指数才能相加;②运算的先后顺序. (2)当底数是负数时,先确定符号,再把底数化为正数. (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.
1

2
-2.5

(1)[(0.064 5 )
1


]3 -

3

3 3 -π0=_______________________________. 8

? 4ab 1?3 1 ? (2)( ) 2 · 1 =________. 4 -1 3 -3 2 ?0.1? · ?a · b ? 8 答案 (1)0 (2) 5 解析
1 ? ? 64 ? 5 (1)原式=?? ?? ? ???1000?

? 27? 3 ? ?2 ? ?? 4 ?3? 5 ?( ? 2 )? 3 -??3?3? 3 -1=5-3-1=0. - 1 = ? ? 3 -? ?8? ??10? ? ??2? ? 2 2 ? ? ?
5

2

1

1

5

2

1

2×4 ×a b (2)原式= 3 3 10a 2 b
? 2

3 2

3 2

?

3 2

8 = . 5

题型二
正确的是(

指数函数的图象及应用
-b

例 2 (1)函数 f(x)=ax )

的图象如图所示,其中 a,b 为常数,则下列结论

A.a>1,b<0 B.a>1,b>0 C.0<a<1,b>0 D.0<a<1,b<0 (2)若曲线|y|=2x+1 与直线 y=b 没有公共点,则 b 的取值范围是________. 答案 (1)D (2)[-1,1] 解析 (1)由 f(x)=ax 函数 f(x)=a
x-b
-b

的图象可以观察出,函数 f(x)=ax

-b

在定义域上单调递减,所以 0<a<1.

的图象是在 f(x)=ax 的基础上向左平移得到的,所以 b<0,故选 D.

(2)曲线|y|=2x+1 与直线 y=b 的图象如图所示,由图象可知:如果|y|=2x+1 与直线 y=b 没 有公共点,则 b 应满足的条件是 b∈[-1,1]. 思维升华 (1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点,判断选项中 的图象是否过这些点,若不满足则排除. (2)对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象 入手,通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地,当底数 a 与 1 的大小关系不确定时应注 意分类讨论.(3)有关指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图象,数形 结合求解. (1)如图,面积为 8 的平行四边形 OABC,对角线 AC⊥CO, AC 与 BO 交于点 E.某指数函数 y=ax (a>0,且 a≠1)经过点 E,B,则 a 等 于( A. 2 C.2 ) B. 3 D.3 )

(2)已知函数 f(x)=|2x-1|,a<b<c 且 f(a)>f(c)>f(b),则下列结论中,一定成立的是( A.a<0,b<0,c<0 C.2 a<2c


B.a<0,b≥0,c>0 D.2a+2c<2

答案 (1)A (2)D 解析 (1)设点 E(t, at), 则点 B 坐标为(2t,2at). 因为 2at=a2t, 所以 at=2.因为平行四边形 OABC 的面积=OC×AC=at×2t=4t,又平行四边形 OABC 的面积为 8,所以 4t=8,t=2,所以 a2 =2,a= 2.故选 A.

(2)作出函数 f(x)=|2x-1|的图象,如图, ∵a<b<c,且 f(a)>f(c)>f(b),结合图象知 0<f(a)<1,a<0,c>0, ∴0<2a<1. ∴f(a)=|2a-1|=1-2a<1, ∴f(c)<1,∴0<c<1. ∴1<2c<2,∴f(c)=|2c-1|=2c-1, 又∵f(a)>f(c),∴1-2a>2c-1, ∴2a+2c<2,故选 D.

题型三
例3

指数函数的图象和性质
)

命题点 1 比较指数式的大小 (1)下列各式比较大小正确的是(


A.1.72.5>1.73B.0.6 1>0.62 C.0.8
-0.1

>1.250.2D.1.70.3<0.93.1
2
3

3? 5 ?2? 5 ?2? 5 (2)设 a=? ?5? ,b=?5? ,c=?5? ,则 a,b,c 的大小关系是________. 答案 (1)B (2)a>c>b 解析 (1)A 中,∵函数 y=1.7x 在 R 上是增函数, 2.5<3,∴1.72.5<1.73,错误; B 中,∵y=0.6x 在 R 上是减函数,-1<2, ∴0.6 1>0.62,正确;


2

C 中,∵(0.8) 1=1.25,


∴问题转化为比较 1.250.1 与 1.250.2 的大小. ∵y=1.25x 在 R 上是增函数,0.1<0.2, ∴1.250.1<1.250.2,即 0.8
-0.1

<1.250.2,错误;

D 中,∵1.70.3>1,0<0.93.1<1, ∴1.70.3>0.93.1,错误.故选 B. 2?x (2)∵y=? ?5? 为减函数, 2? 5 ?2? 5 ∴? ?5? <?5? 即 b<c, 3? 5 ?3?0 又 = =? 2 ?2? >?2? =1, c 2 ? ?5 ?5?
3

2

?3? 5 a ?5?

2

2

∴a>c,故 a>c>b. 命题点 2 解简单的指数方程或不等式 1?x ? ?? -7,x<0, ? 例 4 设函数 f(x)=? 2? 若 f(a)<1,则实数 a 的取值范围是( ? ? x,x≥0, A.(-∞,-3) C.(-3,1) 答案 C 1?a 1 ?1?a ?1?a ?1?-3 解析 当 a<0 时,不等式 f(a)<1 可化为? ?2? -7<1,即?2? <8,即?2? <?2? ,因为 0<2<1, 所以 a>-3,此时-3<a<0;当 a≥0 时,不等式 f(a)<1 可化为 a<1,所以 0≤a<1.故 a 的取 值范围是(-3,1),故选 C. 命题点 3 和指数函数有关的复合函数的性质 例 5 设函数 f(x)=kax-a x(a>0 且 a≠1)是定义域为 R 的奇函数.


)

B.(1,+∞) D.(-∞,-3)∪(1,+∞)

(1)若 f(1)>0,试求不等式 f(x2+2x)+f(x-4)>0 的解集; 3 - (2)若 f(1)= ,且 g(x)=a2x+a 2x-4f(x),求 g(x)在[1,+∞)上的最小值. 2 解 因为 f(x)是定义域为 R 的奇函数, 所以 f(0)=0,所以 k-1=0,即 k=1,f(x)=ax-a x.


1 (1)因为 f(1)>0,所以 a- >0, a 又 a>0 且 a≠1,所以 a>1. 因为 f′(x)=axlna+a xlna=(ax+a x)lna>0,
- -

所以 f(x)在 R 上为增函数,原不等式可化为 f(x2+2x)>f(4-x), 所以 x2+2x>4-x,即 x2+3x-4>0, 所以 x>1 或 x<-4. 所以不等式的解集为{x|x>1 或 x<-4}. 3 1 3 (2)因为 f(1)= ,所以 a- = , 2 a 2 1 即 2a2-3a-2=0,所以 a=2 或 a=- (舍去). 2 所以 g(x)=22x+2
- -2x

-4(2x-2 x)
- -

=(2x-2 x)2-4(2x-2 x)+2. 3 - 令 t(x)=2x-2 x(x≥1),则 t(x)在(1,+∞)为增函数(由(1)可知),即 t(x)≥t(1)= , 2 所以原函数为 ω(t)=t2-4t+2=(t-2)2-2, 所以当 t=2 时,ω(t)min=-2,此时 x=log2(1+ 2).

即 g(x)在 x=log2(1+ 2)时取得最小值-2. 思维升华 指数函数的性质及应用问题解题策略 (1)比较大小问题.常利用指数函数的单调性及中间值(0 或 1)法. (2)简单的指数方程或不等式的求解问题.解决此类问题应利用指数函数的单调性,要特别注 意底数 a 的取值范围,并在必要时进行分类讨论. (3)解决指数函数的综合问题时, 要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、 周 期性)相结合,同时要特别注意底数不确定时,对底数的分类讨论. (1)已知函数 f(x)=2|2x 的取值范围是________. (2)如果函数 y=a2x+2ax-1(a>0,a≠1)在区间[-1,1]上的最大值是 14,则 a 的值为( 1 A. 3 C.3 答案 (1)(-∞,4] (2)D m m 解析 (1)令 t=|2x-m|,则 t=|2x-m|在区间[ ,+∞)上单调递增,在区间(-∞, ]上单调 2 2 递减. 而 y=2t 为 R 上的增函数, 所以要使函数 f(x)=2|2x 即 m≤4,所以 m 的取值范围是(-∞,4]. (2)令 ax=t,则 y=a2x+2ax-1=t2+2t-1 =(t+1)2-2. 1 当 a>1 时,因为 x∈[-1,1],所以 t∈[ ,a], a 1 ? 又函数 y=(t+1)2-2 在? ?a,a?上单调递增, 所以 ymax=(a+1)2-2=14,解得 a=3(负值舍去). 1 当 0<a<1 时,因为 x∈[-1,1],所以 t∈[a, ], a 1 又函数 y=(t+1)2-2 在[a, ]上单调递增, a 1 1 则 ymax=( +1)2-2=14,解得 a= (负值舍去). a 3 1 综上知 a=3 或 a= . 3
-m| -m|

(m 为常数),若 f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,则 m

)

B .1 1 D. 或 3 3

m 在[2, +∞)上单调递增, 则有 ≤2, 2

4.换元法在和指数函数有关的复合函数中的应用

1?x ?1?x 典例 (1)函数 y=? ?4? -?2? +1 在区间[-3,2]上的值域是________. 1? -x2+2 x+1 (2)函数 f(x)=? 的单调减区间为________________________________. ?2? 1?x 思维点拨 (1)求函数值域,可利用换元法,设 t=? ?2? ,将原函数的值域转化为关于 t 的二次 函数的值域. (2)根据复合函数的单调性“同增异减”进行探求. 解析 (1)因为 x∈[-3,2], 1?x ?1 ? 所以若令 t=? ?2? ,则 t∈?4,8?, 1?2 3 故 y=t2-t+1=? ?t-2? +4. 1 3 当 t= 时,ymin= ;当 t=8 时,ymax=57. 2 4 3 ? 故所求函数值域为? ?4,57?. (2)设 u=-x2+2x+1, 1?u ∵y=? ?2? 在 R 上为减函数, 1? -x2+2 x+1 ∴函数 f(x)=? 的减区间即为函数 u=-x2+2x+1 的增区间. ?2? 又 u=-x2+2x+1 的增区间为(-∞,1], ∴f(x)的减区间为(-∞,1]. 3 ? 答案 (1)? ?4,57? (2)(-∞,1]

温馨提醒 (1)解决和指数函数有关的复合函数的单调性或值域问题时,要熟练掌握指数函数 的单调性,搞清复合函数的结构,利用换元法转化为基本初等函数的单调性或值域问题;(2) 换元过程中要注意“元”的取值范围的变化.

[方法与技巧] 1.通过指数函数图象比较底数大小的问题,可以先通过令 x=1 得到底数的值,再进行比较. 2.指数函数 y=ax (a>0,a≠1)的性质和 a 的取值有关,一定要分清 a>1 与 0<a<1. 3.对与复合函数有关的问题,要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成. [失误与防范] 1.恒成立问题一般与函数最值有关,要与方程有解区别开来.

2.复合函数的问题,一定要注意函数的定义域. 3.对可化为 a2x+b· ax+c=0 或 a2x+b· ax+c≥0 (≤0)形式的方程或不等式,常借助换元法解 决,但应注意换元后“新元”的范围.

A 组 专项基础训练

(时间:35 分钟) 1.函数 f(x)=2|x 1|的图象是(


)

答案 B 解析 ∵|x-1|≥0,∴f(x)≥1,排除 C、D. 又 x=1 时,|f(x)|min=1,排除 A.故选项 B 正确. 2.函数 f(x)=ax 2+1(a>0 且 a≠1)的图象必经过点(


)

A.(0,1) C.(2,0) 答案 D

B.(1,1) D.(2,2)

解析 ∵a0=1,∴f(2)=2,故 f(x)的图象必过点(2,2). 1 3.已知 a=22.5,b=2.50,c=( )2.5,则 a,b,c 的大小关系是( 2 A.a>c>b C.b>a>c 答案 D 1 解析 a>20=1,b=1,c<( )0=1,∴a>b>c. 2 1 - 4.若函数 f(x)=a|2x 4|(a>0,a≠1),满足 f(1)= ,则 f(x)的单调递减区间是( 9 A.(-∞,2] C.[-2,+∞) B.[2,+∞) D.(-∞,-2] ) B.c>a>b D.a>b>c )

答案 B 1 1 解析 由 f(1)= 得 a2= , 9 9 1 1 1 - 所以 a= 或 a=- (舍去),即 f(x)=( )|2x 4|. 3 3 3 由于 y=|2x-4|在(-∞,2]上递减,在[2,+∞)上递增, 所以 f(x)在(-∞,2]上递增,在[2,+∞)上递减.故选 B. 5.若关于 x 的方程|ax-1|=2a (a>0 且 a≠1)有两个不等实根,则 a 的取值范围是( A.(0,1)∪(1,+∞) C.(1,+∞) 答案 D 解析 方程|ax-1|=2a (a>0 且 a≠1)有两个实数根转化为函数 y=|ax-1|与 y=2a 有两个交点. 1 ①当 0<a<1 时,如图(1),∴0<2a<1,即 0<a< . 2 B.(0,1) 1 0, ? D.? ? 2? )

②当 a>1 时,如图(2),而 y=2a>1 不符合要求.

1 综上,0<a< . 2

3 ?1 7 0 1 2 2 4 3 4 6.计算: ( ) ? (? ) +8 ? 2 ? (? ) 3 =________. 2 6 3
答案 2 2? ?2? 3 4 4 解析 原式=? ?3?×1+2 ×2 -?3? =2. 7.已知正数 a 满足 a2-2a-3=0,函数 f(x)=ax,若实数 m、n 满足 f(m)>f(n),则 m、n 的大 小关系为________. 答案 m>n 解析 ∵a2-2a-3=0,∴a=3 或 a=-1(舍). 函数 f(x)=3x 在 R 上递增,由 f(m)>f(n),得 m>n.
3 1
1

? ?f?x?,x≥0, 1 8.已知函数 f(x)=2x- x,函数 g(x)=? 则函数 g(x)的最小值是________. 2 ?f?-x?,x<0, ?

答案 0 1 解析 当 x≥0 时, g(x)=f(x)=2x- x为单调增函数, 所以 g(x)≥g(0)=0; 当 x<0 时, g(x)=f(- 2 1 - x)=2 x- -x为单调减函数,所以 g(x)>g(0)=0,所以函数 g(x)的最小值是 0. 2 1? ax2-4 x+3 9.已知函数 f(x)=? . ?3? (1)若 a=-1,求 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)有最大值 3,求 a 的值. 1? -x2-4 x+3 解 (1)当 a=-1 时,f(x)=? , ?3? 令 g(x)=-x2-4x+3, 1?t 由于 g(x)在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,+∞)上单调递减,而 y=? ?3? 在 R 上单调递减, 所以 f(x)在(-∞,-2)上单调递减,在(-2,+∞)上单调递增,即函数 f(x)的单调递增区间 是(-2,+∞), 单调递减区间是(-∞,-2). 1?g(x) (2)令 g(x)=ax2-4x+3,f(x)=? ?3? , 由于 f(x)有最大值 3,所以 g(x)应有最小值-1, a>0, ? ? 因此必有?3a-4 解得 a=1, =-1, ? ? a 即当 f(x)有最大值 3 时,a 的值为 1. 10.已知函数 f(x)=ex-e x(x∈R,且 e 为自然对数的底数).


(1)判断函数 f(x)的单调性与奇偶性; (2)是否存在实数 t,使不等式 f(x-t)+f(x2-t2)≥0 对一切 x∈R 都成立?若存在,求出 t;若 不存在,请说明理由. 1?x 解 (1)∵f(x)=ex-? ? e? , 1?x ∴f′(x)=ex+? ? e? , ∴f′(x)>0 对任意 x∈R 都成立, ∴f(x)在 R 上是增函数. ∴f(x)的定义域为 R,且 f(-x)=e x-ex=-f(x),


∴f(x)是奇函数.

(2)存在.由(1)知 f(x)在 R 上是增函数和奇函数, 则 f(x-t)+f(x2-t2)≥0 对一切 x∈R 都成立, ?f(x2-t2)≥f(t-x)对一切 x∈R 都成立, ?x2-t2≥t-x 对一切 x∈R 都成立, 1?2 1 ?t2+t≤x2+x=? ?x+2? -4对一切 x∈R 都成立, 1 1 1 t+ ?2≤0, ?t2+t≤(x2+x)min=- ?t2+t+ =? 4 4 ? 2? 1 1 1 t+ ?2≥0,∴?t+ ?2=0,∴t=- . 又? ? 2? ? 2? 2 1 ∴存在 t=- ,使不等式 f(x-t)+f(x2-t2)≥0 对一切 x∈R 都成立. 2 B 组 专项能力提升 (时间:20 分钟) 11.函数 f(x)=a|x 1|(a>0,a≠1)的值域为[1,+∞),则 f(-4)与 f(1)的关系是(


)

A.f(-4)>f(1) C.f(-4)<f(1) 答案 A

B.f(-4)=f(1) D.不能确定

解析 由题意知 a>1,∴f(-4)=a3,f(1)=a2,由单调性知 a3>a2,∴f(-4)>f(1). 1?a ?1?b 12.已知实数 a,b 满足等式? ?2? =?3? ,下列五个关系式:①0<b<a;②a<b<0;③0<a<b; ④b<a<0;⑤a=b.其中不可能成立的关系式有( A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 答案 B 1?x ?1?x ?1?a ?1?b 解析 函数 y1=? ?2? 与 y2=?3? 的图象如图所示.由?2? =?3? 得 a<b<0 或 0<b<a 或 a=b= 0. )

故①②⑤可能成立,③④不可能成立. 3?x 2+3a 13.关于 x 的方程? ?2? = 5-a 有负数根,则实数 a 的取值范围为__________. 2 3? 答案 ? ?-3,4?

3?x 解析 由题意,得 x<0,所以 0<? ?2? <1, 2+3a 2 3 从而 0< <1,解得- <a< . 3 4 5-a 14. 当 x∈(-∞, -1]时, 不等式(m2-m)· 4x-2x<0 恒成立, 则实数 m 的取值范围是________. 答案 (-1,2) 1?x 解析 原不等式变形为 m2-m<? ?2? , 1?x 因为函数 y=? ?2? 在(-∞,-1]上是减函数, 1?x ?1?-1 所以? ?2? ≥?2? =2, 1?x 2 当 x∈(-∞,-1]时,m2-m<? ?2? 恒成立等价于 m -m<2,解得-1<m<2. 15.已知定义在实数集 R 上的奇函数 f(x)有最小正周期 2,且当 x∈(0,1)时,f(x)= (1)求函数 f(x)在(-1,1)上的解析式; (2)判断 f(x)在(0,1)上的单调性; (3)当 λ 取何值时,方程 f(x)=λ 在(-1,1)上有实数解? 解 (1)∵f(x)是 x∈R 上的奇函数,∴f(0)=0. 设 x∈(-1,0),则-x∈(0,1), 2 x 2x f(-x)= -x = x =-f(x), 4 +1 4 +1


2x . 4 +1
x

2x ∴f(x)=- x ,∴f(x)= 4 +1

? x=0, ?0, ?4 2+1,x∈?0,1?.
x x
2 2 1 2

2x - x ,x∈?-1,0?, 4 +1

(2)设 0<x1<x2<1,
x x x ?2 x x ?2 x ) (2 x1 ? 2 x2 )(1 ? 2 x1 ? x2 ) f(x1)-f(x2)= (2 ? 2 x) ? (2 x ? 2 ? , (4 ? 1)(4 ? 1) (4 x1 ? 1)(4 x2 ? 1) ∵0<x1<x2<1,
1 2 1 1

? 2x1 ? 2x2 , 2x1+x2 ? 20=, 1
∴f(x1)-f(x2)>0,∴f(x)在(0,1)上为减函数. (3)∵f(x)在(0,1)上为减函数, ∴ 2 1? 21 20 <f(x)< 0 ,即 f(x)∈? ?5,2?. 4 +1 4 +1
1

1 2 - ,- ?. 同理,f(x)在(-1,0)上时,f(x)∈? 5? ? 2

1 2? ?2 1? 又 f(0)=0,当 λ∈? ?-2,-5?∪?5,2?, 或 λ=0 时,方程 f(x)=λ 在 x∈(-1,1)上有实数解.


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