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2017步步高大一轮复习讲义数学2.6


1.对数的概念 如果 ax=N(a>0 且 a≠1),那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 x=logaN,其中 a 叫做对 数的底数,N 叫做真数. 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果 a>0 且 a≠1,M>0,N>0,那么 ①loga(MN)=logaM+logaN; M ②loga =logaM-logaN; N ③logaMn=nlogaM (n∈R); n ④logamMn= logaM(m,n∈R,且 m≠0). m (2)对数的性质 ①a
log a N

=N;②logaaN=N(a>0 且 a≠1).

(3)对数的重要公式 logaN ①换底公式:logbN= (a,b 均大于零且不等于 1); logab ②logab= 1 ,推广 logab· logbc· logcd=logad. logba

3.对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1

图象

(1)定义域:(0,+∞) (2)值域:R 性质 (3)过定点(1,0),即 x=1 时,y=0 (4)当 x>1 时,y>0 当 0<x<1 时,y<0 (6)在(0,+∞)上是增函数 4.反函数 指数函数 y=ax 与对数函数 y=logax 互为反函数,它们的图象关于直线 y=x 对称. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若 MN>0,则 loga(MN)=logaM+logaN.( × (2)logax· logay=loga(x+y).( × ) (3)函数 y=log2x 及 y=log 1 3x 都是对数函数.( ×
3

(5)当 x>1 时,y<0 当 0<x<1 时,y>0 (7)在(0,+∞)上是减函数

)

)

(4)对数函数 y=logax(a>0,且 a≠1)在(0,+∞)上是增函数.( × ) 1+x (5)函数 y=ln 与 y=ln(1+x)-ln(1-x)的定义域相同.( √ ) 1-x 1 ? (6)对数函数 y=logax(a>0 且 a≠1)的图象过定点(1,0),且过点(a,1),? ?a,-1?,函数图象只在 第一、四象限.( √ )

1.(2015· 湖南)设函数 f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),则 f(x)是( A.奇函数,且在(0,1)上是增函数 B.奇函数,且在(0,1)上是减函数 C.偶函数,且在(0,1)上是增函数 D.偶函数,且在(0,1)上是减函数 答案 A

)

解析 易知函数定义域为(-1,1),f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-f(x),故函数 f(x)为奇函数, 2 1+x 又 f(x)=ln =ln?-1-x-1?,由复合函数单调性判断方法知,f(x)在(0,1)上是增函数,故 ? ? 1-x 选 A.

1 1 2.已知 a=3 ,b=log 1 ,c=log2 ,则( 2 3
3

1 2

) B.b>c>a D.b>a>c

A.a>b>c C.c>b>a 答案 A

1 1 解析 a= 3>1,0<b=log 1 =log32<1,c=log2 =-log23<0,故 a>b>c,故选 A. 2 3
3

3.函数 f(x)=lg(|x|-1)的大致图象是(

)

答案 B 解析 由函数 f(x)=lg(|x|-1)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),值域为 R.又当 x>1 时,函 数单调递增,所以只有选项 B 正确. 3 4.(教材改编)若 loga <1(a>0,且 a≠1),则实数 a 的取值范围是( 4 3? A.? ?0,4? 3? C.? ?0,4?∪(1,+∞) 答案 C 3 解析 当 0<a<1 时,loga <logaa=1, 4 3 3 ∴0<a< ;当 a>1 时,loga <logaa=1,∴a>1. 4 4 3? ∴实数 a 的取值范围是? ?0,4?∪(1,+∞). 5.(2015· 浙江)若 a=log43,则 2a+2 a=.


)

B.(1,+∞) 3 ? D.? ?4,1?

答案

4 3 3
a
-a

解析 2 +2 =2

log 4 3

+2

-log 4 3

=2

log 2 3

+2

log 2

3 3

= 3+

3 4 = 3. 3 3

题型一
例1

对数式的运算
)

1 1 (1)设 2a=5b=m,且 + =2,则 m 等于( a b

A. 10B.10C.20D.100 (2)lg 5+lg 20的值是. 答案 (1)A (2)1 解析 (1)∵2a=5b=m,∴a=log2m,b=log5m, 1 1 1 1 ∴ + = + =logm2+logm5=logm10=2. a b log2m log5m ∴m= 10. (2)原式=lg 100=lg10=1. 思维升华 在对数运算中,要熟练掌握对数的定义,灵活使用对数的运算性质、换底公式和 对数恒等式对式子进行恒等变形,多个对数式要尽量先化成同底的形式再进行运算. ?1-log63?2+log62· log618 (1)计算: =. log64 (2)已知 loga2=m,loga3=n,则 a2m n=.


答案 (1)1 (2)12 解析 (1)原式 6 1-2log63+?log63?2+log6 · log6?6×3? 3 = log64 = = = 1-2log63+?log63?2+?1-log63??1+log63? log64 1-2log63+?log63?2+1-?log63?2 log64 2?1-log63? log66-log63 log62 = = =1. 2log62 log62 log62

(2)∵loga2=m,loga3=n,∴am=2,an=3, ∴a2m n=(am)2· an=22×3=12.


题型二
例2

对数函数的图象及应用
)

(1)函数 y=2log4(1-x)的图象大致是(

1 (2)当 0<x≤ 时,4x<logax,则 a 的取值范围是( 2 A.?0,

)

?

2? 2?

B.?

2 ? ? 2 ,1?

C.(1, 2) 答案 (1)C (2)B

D.( 2,2)

解析 (1)函数 y=2log4(1-x)的定义域为(-∞,1),排除 A、B;又函数 y=2log4(1-x)在定 义域内单调递减,排除 D.选 C. (2)方法一 构造函数 f(x)=4x 和 g(x)=logax,当 a>1 时不满足条件,当 0<a<1 时,画出两个 1? 函数在? ?0,2?上的图象, 1? ?1? 可知 f? ?2?<g?2?, 1 2 2 即 2<loga ,则 a> ,所以 a 的取值范围为? ,1?. 2 2 ?2 ? 1 方法二 ∵0<x≤ ,∴1<4x≤2, 2 ∴logax>4x>1, 1 ∴0<a<1,排除选项 C,D;取 a= , 2 1 1 x= ,则有 4 2 =2,log 1 =1, 2 2
2
1

显然 4 <logax 不成立,排除选项 A. 思维升华 应用对数型函数的图象可求解的问题 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值 域(最值)、零点时,常利用数形结合思想. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解. (1)已知 lga+lgb=0,则函数 f(x)=ax 与函数 g(x)=-logbx 的图象可能是( )

x

(2)设方程 10x=|lg(-x)|的两个根分别为 x1,x2,则( A.x1x2<0 C.x1x2>1 答案 (1)B (2)D 解析 (1)∵lga+lgb=0,∴ab=1, ∵g(x)=-logbx 的定义域是(0,+∞),故排除 A. 若 a>1,则 0<b<1, 此时 f(x)=ax 是增函数,g(x)=-logbx 是增函数. 故选 B. (2)构造函数 y=10x 与 y=|lg(-x)|, 并作出它们的图象,如图所示. B.x1x2=1

)

D.0<x1x2<1

因为 x1,x2 是 10x=|lg(-x)|的两个根,则两个函数图象交点的横坐标分 别为 x1,x2, 不妨设 x2<-1,-1<x1<0, 则 10x1=-lg(-x1),10x2=lg(- x2),因此 10x2-10x1=lg(x1x2),因为 10x2-10x1<0,所以 lg(x1x2)<0,即 0<x1x2<1,故选 D.

题型三

对数函数的性质及应用
)

命题点 1 比较对数值的大小 例 3 设 a=log36,b=log510,c=log714,则( A.c>b>a C.a>c>b 答案 D 解析 由对数运算法则得 a=log36=1+log32,b=1+log52,c=1+log72,由对数函数图象 得 log32>log52>log72,所以 a>b>c,故选 D. 命题点 2 解对数不等式 例 4 若 loga(a2+1)<loga2a<0,则 a 的取值范围是( A.(0,1) 1 C.( ,1) 2 答案 C 解析 由题意得 a>0,故必有 a2+1>2a, 1 B.(0, ) 2 D.(0,1)∪(1,+∞) )

B.b>c>a D.a>b>c

又 loga(a2+1)<loga2a<0,所以 0<a<1, 1 同时 2a>1,∴a> . 2 1 综上,a∈( ,1). 2 命题点 3 和对数函数有关的复合函数 例 5 已知函数 f(x)=loga(3-ax). (1)当 x∈[0,2]时,函数 f(x)恒有意义,求实数 a 的取值范围; (2)是否存在这样的实数 a, 使得函数 f(x)在区间[1,2]上为减函数, 并且最大值为 1?如果存在, 试求出 a 的值;如果不存在,请说明理由. 解 (1)∵a>0 且 a≠1,设 t(x)=3-ax, 则 t(x)=3-ax 为减函数, x∈[0,2]时,t(x)的最小值为 3-2a, 当 x∈[0,2]时,f(x)恒有意义, 即 x∈[0,2]时,3-ax>0 恒成立. 3 ∴3-2a>0.∴a< . 2 3? 又 a>0 且 a≠1,∴a∈(0,1)∪? ?1,2?. (2)t(x)=3-ax,∵a>0,∴函数 t(x)为减函数. ∵f(x)在区间[1,2]上为减函数,∴y=logat 为增函数, ∴a>1,x∈[1,2]时,t(x)最小值为 3-2a,f(x)最大值为 f(1)=loga(3-a),
? ?3-2a>0, ∴? 即 ?loga?3-a?=1, ?

?a<2, ? 3 ?a=2.

3

故不存在这样的实数 a,使得函数 f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为 1. 思维升华 在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时,要优先考虑利用对数函数 的单调性来求解.在利用单调性时,一定要明确底数 a 的取值对函数增减性的影响,及真数 必须为正的限制条件. (1)设 a=log32,b=log52,c=log23,则( A.a>c>b C.c>b>a B.b>c>a D.c>a>b ) )

(2)若 f(x)=lg(x2-2ax+1+a)在区间(-∞,1]上递减,则 a 的取值范围为( A.[1,2) C.[1,+∞) B.[1,2] D.[2,+∞)

log x,x>0, ? ? 2 (3)设函数 f(x)=?log ?-x?,x<0, 若 f(a)>f(-a),则实数 a 的取值范围是( 1 ? ? 2 A.(-1,0)∪(0,1) C.(-1,0)∪(1,+∞) 答案 (1)D (2)A (3)C B.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1)

)

解析 (1)∵ 3<2<3,1<2< 5,3>2, ∴log3 3<log32<log33, log51<log52<log5 5,log23>log22, 1 1 ∴ <a<1,0<b< ,c>1,∴c>a>b. 2 2 (2)令函数 g(x)=x2-2ax+1+a=(x-a)2+1+a-a2,对称轴为 x=a,要使函数在(-∞,1]
? ? ?g?1?>0, ?2-a>0, 上递减,则有? 即? ? ? ?a≥1, ?a≥1,

解得 1≤a<2,即 a∈[1,2),故选 A. a>0, a<0, ? ? ? ? (3)由题意可得?log2a>log a 或?log ?-a?>log2?-a?, 1 1 ? ? ? ? 2 2 解得 a>1 或-1<a<0.

2.比较指数式、对数式的大小 典例 (1)设 a=0.50.5,b=0.30.5,c=log0.30.2,则 a,b,c 的大小关系是( A.c<b<a C.b<a<c (2)设 a=log2π,b=log 1 π,c=π 2,则(


)

B.a<b<c D.a<c<b ) B.b>a>c D.c>b>a
2

A.a>b>c C.a>c>b

(3)已知 a=5log2 3.4,b=5log4 3.6,c=( ) log3 0.3 ,则( A.a>b>c C.a>c>b
0.5

1 5

)

B.b>a>c D.c>a>b

思维点拨 (1)可根据幂函数 y=x 的单调性或比商法确定 a,b 的大小关系,然后利用中间 值比较 a,c 大小.(2)a,b 均为对数式,可化为同底,再利用中间变量和 c 比较.(3)化为同 底的指数式.

解析 (1)根据幂函数 y=x0.5 的单调性, 可得 0.30.5<0.50.5<10.5=1,即 b<a<1; 根据对数函数 y=log0.3x 的单调性,可得 log0.30.2>log0.30.3=1,即 c>1. 所以 b<a<c. 1 1 1 (2)∵a=log2π>log22=1,b=log π=log2 <log21=0,0<c= 2<1,∴b<c<a. 2 π π
log 3 1 log 0.3 -log3 0.3 (3)c=( ) 3 =5 =5 3 . 5 10

方法一 在同一坐标系中分别作出函数 y=log2x,y=log3x,y=log4x 的图象,如图所示.

由图象知: 10 log23.4>log3 >log43.6. 3 方法二 ∵log3 10 10 >log33=1,且 <3.4, 3 3

10 ∴log3 <log33.4<log23.4. 3 10 ∵log43.6<log44=1,log3 >1, 3 10 ∴log43.6<log3 . 3 10 ∴log23.4>log3 >log43.6. 3 由于 y=5 为增函数,∴5 即5
log 2 3.4

x

log 2 3.4

>5

log 3

10 3

>5

log 4 3.6

.

>( )

1 5

log 3 0.3

>5

log 4 3.6

,故 a>c>b.

答案 (1)C (2)C (3)C 温馨提醒 (1)比较指数式和对数式的大小,可以利用函数的单调性,引入中间量;有时也可 用数形结合的方法. (2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数,利用函数单调性进行比较,如果指数相同,而 底数不同则构造幂函数,若底数相同而指数不同则构造指数函数,若引入中间量,一般选 0 或 1.

[方法与技巧] 1.对数值取正、负值的规律 当 a>1 且 b>1 或 0<a<1 且 0<b<1 时,logab>0; 当 a>1 且 0<b<1 或 0<a<1 且 b>1 时,logab<0. 2.对数函数的定义域及单调性 在对数式中,真数必须是大于 0 的,所以对数函数 y=logax 的定义域应为(0,+∞).对数函 数的单调性和 a 的值有关,因而,在研究对数函数的单调性时,要按 0<a<1 和 a>1 进行分类 讨论. 3.比较幂、对数大小有两种常用方法:(1)数形结合;(2)找中间量结合函数单调性. 4.多个对数函数图象比较底数大小的问题,可通过比较图象与直线 y=1 交点的横坐标进行 判定. [失误与防范] 1.在运算性质 logaMα=αlogaM 中,要特别注意条件,在无 M>0 的条件下应为 logaMα= αloga|M|(α∈N*,且 α 为偶数). 2.解决与对数函数有关的问题时需注意两点:(1)务必先研究函数的定义域;(2)注意对数底 数的取值范围.

A 组 专项基础训练

(时间:30 分钟) 1.若函数 y=logax(a>0,且 a≠1)的图象如图所示,则下列函数图象正确的是( )

答案 B 解析 由题图可知 y=logax 的图象过点(3,1), ∴loga3=1,即 a=3. 1 - A 项,y=3 x=( )x 在 R 上为减函数,错误; 3

B 项,y=x3 符合; C 项,y=(-x)3=-x3 在 R 上为减函数,错误; D 项,y=log3(-x)在(-∞,0)上为减函数,错误. 2.已知 x=lnπ,y=log52,z=e A.x<y<z C.z<y<x 答案 D 解析 ∵x=lnπ>lne,∴x>1. 1 ∵y=log52<log5 5,∴0<y< . 2 1 1 1 1 1 ∵z=e- = > = ,∴ <z<1. 2 2 2 e 4 综上可得,y<z<x. 1?x ? ?? ?x≥4?, ? 3.若函数 f(x)=? 2? 则 f(log23)等于( ?f?x+1??x<4?, ?
? 1 2

,则(

) B.z<x<y D.y<z<x

)

1 A. 6 1 C. 24 答案 C

1 B. 12 1 D. 3

解析 ∵1<log23<log24=2,∴3+log23∈(4,5), ∴f(log23)=f(log23+1)=f(log23+2) =f(log23+3)=f(log224) 1? log 2 24 -log 2 24 =? =2 ?2? =2
log 2 1 24



1 . 24

2 4.设 f(x)=lg?1-x+a?是奇函数,则使 f(x)<0 的 x 的取值范围是(

?

?

)

A.(-1,0) C.(-∞,0) 答案 A 解析 由 f(x)是奇函数可得 a=-1, 1+x ∴f(x)=lg ,定义域为(-1,1). 1-x

B.(0,1) D.(-∞,0)∪(1,+∞)

1+x 由 f(x)<0,可得 0< <1,∴-1<x<0. 1-x 1 5. 定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(-x)=-f(x), f(x-2)=f(x+2), 且 x∈(-1,0)时, f(x)=2x+ , 5 则 f(log220)等于( A.1 C.-1 答案 C 解析 由 f(x-2)=f(x+2),得 f(x)=f(x+4),因为 4<log220<5,所以 f(log220)=f(log220-4)
log 2 4 1 =-f(4-log220)=-f(log2 )=-(2 5 + )=-1. 5 5 4

) 4 B. 5 4 D.- 5

6.函数 f(x)=log2 x· log 1 答案 - 4

2(2x)的最小值为.

1 1 解析 显然 x>0,∴f(x)=log2 x· log 2(2x)= log2x· log2(4x2)= log2x· (log24+2log2x)=log2x+ 2 2 1?2 1 1 2 1 (log2x)2=? ?log2x+2? -4≥-4.当且仅当 x= 2 时,有 f(x)min=-4. 1 7.设函数 f(x)满足 f(x)=1+f( )log2x,则 f(2)=. 2 答案 3 2

1 1 1 1 1 1 3 解析 由已知得 f( )=1-f( )· log22,则 f( )= ,则 f(x)=1+ · log2x,故 f(2)=1+ · log22= . 2 2 2 2 2 2 2
? ?-x+6,x≤2, 8.(2015· 福建)若函数 f(x)=? (a>0,且 a≠1)的值域是[4,+∞),则实数 a ?3+logax,x>2 ?

的取值范围是. 答案 (1,2]
?a>1, ? 解析 由题意 f(x)的图象如右图,则? ? ?3+loga2≥4,

∴1<a≤2. 9.设 f(x)=loga(1+x)+loga(3-x)(a>0,a≠1),且 f(1)=2. (1)求 a 的值及 f(x)的定义域; 3 (2)求 f(x)在区间[0, ]上的最大值. 2 解 (1)∵f(1)=2, ∴loga4=2(a>0,a≠1),

∴a=2.
? ?1+x>0, 由? 得 x∈(-1,3), ?3-x>0, ?

∴函数 f(x)的定义域为(-1,3). (2)f(x)=log2(1+x)+log2(3-x) =log2(1+x)(3-x)=log2[-(x-1)2+4], ∴当 x∈(-1,1]时,f(x)是增函数; 当 x∈(1,3)时,f(x)是减函数, 3 故函数 f(x)在[0, ]上的最大值是 f(1)=log24=2. 2 B 组 专项能力提升 (时间:20 分钟) 10.(2015· 陕西)设 f(x)=lnx,0<a<b,若 p=f( ab),q=f? 系式中正确的是( A.q=r<p C.q=r>p 答案 B a+b 解析 ∵0<a<b,∴ > ab, 2 又∵f(x)=lnx 在(0,+∞)上为增函数, ∴f? a+b? ? 2 ?>f( ab),即 q>p. ) B.p=r<q D.p=r>q a+b? 1 ,r= (f(a)+f(b)),则下列关 2 2 ? ?

1 1 又 r= (f(a)+f(b))= (lna+lnb)=ln ab=p, 2 2 故 p=r<q.选 B. 11.设函数 f(x)定义在实数集上,f(2-x)=f(x),且当 x≥1 时,f(x)=lnx,则有( 1 1 A.f( )<f(2)<f( ) 3 2 1 1 B.f( )<f(2)<f( ) 2 3 1 1 C.f( )<f( )<f(2) 2 3 1 1 D.f(2)<f( )<f( ) 2 3 答案 C 2-x+x 解析 由 f(2-x)=f(x)知 f(x)的图象关于直线 x= =1 对称,又当 x≥1 时,f(x)=lnx, 2 )

所以离对称轴 x=1 距离大的 x 的函数值大, 1 1 ∵|2-1|>| -1|>| -1|, 3 2 1 1 ∴f( )<f( )<f(2). 2 3 12.函数 f(x)=|log3x|在区间[a,b]上的值域为[0,1],则 b-a 的最小值为. 答案 2 3

解析 由题意可知求 b-a 的最小值即求区间[a,b]的长度的最小值,当 f(x)=0 时 x=1,当 1 1 2 2 f(x)=1 时 x=3 或 ,所以区间[a,b]的最短长度为 1- = ,所以 b-a 的最小值为 . 3 3 3 3 x 13.已知函数 f(x)=ln ,若 f(a)+f(b)=0,且 0<a<b<1,则 ab 的取值范围是. 1-x 1 0, ? 答案 ? ? 4? a b 解析 由题意可知 ln +ln =0, 1-a 1-b a b a b 即 ln?1-a×1-b?=0,从而 × =1,化简得 a+b=1,故 ab=a(1-a)=-a2+a=- ? ? 1-a 1-b

?a-1?2+1, ? 2? 4
又 0<a<b<1, 1?2 1 1 1 ∴0<a< ,故 0<-? ?a-2? +4<4. 2 1 1 14.设 x∈[2,8]时,函数 f(x)= loga(ax)· loga(a2x)(a>0,且 a≠1)的最大值是 1,最小值是- , 2 8 求 a 的值. 1 解 由题意知 f(x)= (logax+1)(logax+2) 2 1 1 32 1 = (log2 ax+3logax+2)= (logax+ ) - . 2 2 2 8 1 3 当 f(x)取最小值- 时,logax=- . 8 2 又∵x∈[2,8],∴a∈(0,1). ∵f(x)是关于 logax 的二次函数, ∴函数 f(x)的最大值必在 x=2 或 x=8 时取得.
? 1 3 1 若 (loga2+ )2- =1,则 a=2 3 , 2 2 8 1

此时 f(x)取得最小值时,

1 ? x=(2- ) 2 = 2?[2,8],舍去. 3 1 3 1 1 若 (loga8+ )2- =1,则 a= , 2 2 8 2 1 3 此时 f(x)取得最小值时,x=( )- =2 2∈[2,8], 2 2 1 符合题意,∴a= . 2

3


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