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(教师用书)高中数学 第二章 圆锥曲线与方程章末归纳提升课件 新人教A版选修1-1

圆锥曲线的定义与性质 圆锥曲线的定义、性质在解题中有着重要作用,要注意灵 活运用,可以优化解题过程.圆锥曲线的定义是相对应标准方 程和几何性质的“源”, “回归定义”是一种重要的解题策略. 一动圆与两圆:x2+y2=1 和 x2+y2-6x+5=0 都 外切,则动圆圆心的轨迹为( A.抛物线 C.双曲线的一支 ) B.双曲线 D.椭圆 【思路点拨】 分析题意,看满足哪种曲线的定义. 【解析】 x2+y2=1 是圆心为原点,半径为 1 的圆,x2+ y2-6x+5=0 化为标准方程为(x-3)2+y2=4, 是圆心为 A(3,0), 半径为 2 的圆.设所求动圆圆心为 P,动圆半径为 r,如图,则 |PO|=r+1 ? ? ? ? |PA|- |PO |= 1 < |AO |= 3 ,符合双曲线的定义, |PA |=r+2 ? ? 结合图形可知,动圆圆心的轨迹为双曲线的一支. 【答案】 C 过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1,y1),B(x2, y2),如果 x1+x2=6,则|AB|的值为( A.10 B.8 C.6 ) D.4 【解析】 ∵y2=4x, ∴2p=4,p=2. ∴由抛物线定义知(如图) |AF|=x1+1,|BF|=x2+1, |AB |=|AF|+|BF|. 又 x1+x2=6, 故|AB |=x1+x2+2=8. 【答案】 B 求圆锥曲线方程 圆锥曲线的轨迹与方程是本章命题的重点, 解决此类问题, 一要理解好圆锥曲线的定义,掌握标准方程的特征;二要熟练 掌握求曲线方程的常用方法——定义法与待定系数法. 求曲线方程的一般步骤是“先定位、后定量”,“定位” 是指确定焦点的位置及对称轴, “定量”是指确定参数的大小. x2 y2 已知点 P(3,-4)是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0) a b → → 渐近线上的一点,E,F 是左、右两个焦点,若EP· FP=0,则双 曲线方程为( x2 y2 A. - =1 3 4 x2 y2 C. - =1 9 16 ) x2 y2 B. - =1 4 3 x2 y2 D. - =1 16 9 【思路点拨】 紧扣已知条件,可以选择排除法. → =(3+c,-4), 【解析】 不妨设 E(-c,0),F(c,0),则EP → → → FP=(3-c,-4),EP· FP=25-c2=0,所以 c2=25.可排除 A、 3 B.又由 D 中双曲线的渐近线方程为 y=± 4x,点 P 不在其上,排 除 D,故选 C. 【答案】 C x2 y2 以椭圆16+ 9 =1 的短轴两个端点为焦点,且过 A(4,-5) 的双曲线方程为________. 【解析】 由椭圆方程知, 椭圆两个短轴端点分别为(0,3)和(0,-3), ∴双曲线焦点在 y 轴上,c=3, 焦点 F1(0,-3),F2(0,3). 又∵双曲线过 A(4,-5), ∴||AF1 |- |AF2 ||=2a, |AF1|= ?4-0?2+?-5+3?2 =2 5, |AF2|= 42+?-5-3?2=4 5, ∴2a=2 5,∴a= 5, ∴b2=c2-a2=9-5=4, y2 x2 ∴双曲线方程为 5 - 4 =1. y2 x2 【答案】 - =1 5 4 直线与圆锥曲线的位置关系 近几年来直线与圆锥曲线的位置关系在高考中占据高考解 答题压轴题的位置,且选择、填空也有涉及.有关直线与圆锥 曲线的位置关系的题目可能会涉及线段中点、弦长等.分析这 类问题,往往运用数形结合的思想和“设而不求”的方法、对 称的方法及根与系数的关系等. (2013· 徐州高二检测)已知椭圆 C 的左、右焦点坐 6 标分别是(- 2,0),( 2,0),离心率是 3 .直线 y=t 与椭圆 C 交于不同的两点 M,N,以线段 MN 为直径作圆 P,圆心为 P. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若圆 P 与 x 轴相切,求圆心 P 的坐标. 【思路点拨】 本题主要考查了直线、椭圆的标准方程和 几何性质,求解的关键在于联立方程组,利用方程思想确定待 定参数. 【规范解答】 ∵椭圆的左、右焦点为(- 2,0)( 2,0), 6 且 e= . 3 c 6 ∴ = 且 c= 2. a 3 则 a= 3,b= a2-c2=1. x2 2 所以椭圆 C 的方程为 3 +y =1. (2)由题意知 P(0,t)(-1<t<1). ?y=t, ? 2 由?x 2 + y =1, ? ?3 得 x=± 3?1-t2?. 所以圆 P 的半径为 3?1-t2?. 当圆 P 与 x 轴相切时, |t |= 3?1-t2?, 3 解得 t=± 2 . 所以点 P ? 3? ? 的坐标是?0,± ? ?. 2 ? ? 如图 2-1 所示,过点 P(2,0)且斜率为 k 的直线 l 交抛物线 y2=2x 于 M(x1,y1),N(x2,y2)两点. (1)写出直线 l 的方程; (2)求 x1x2 与 y1y2 的值; (3)求证:OM⊥ON. 图 2-1 【解】 (1)过点 P(2,0)且斜率为 k 的直线方程为: y=k(x-2). (2)把 y=k(x-2)代入 y2=2x,消去 y 得 k2x2-(4k2+2)x+4k2=0. 由于直线与抛物线交于不同两点, 故 k2≠0 且 Δ=(4k2+2)2-16k4=16k2+4>0. 2 x1· x2=4,x1+x2=4+ 2, k ∵M、N 两点在抛物线上, 2 2 ∴y1 · y2=4x1· x2=16. 而 y1· y2<0,∴y1· y2=-4. → → (3)∵OM=(x1,y1),ON=(x2,y2), → → ∴OM· ON=x1· x2+y1· y2=4-4=0. → → 因此OM⊥ON,故 OM⊥ON. 分类讨论的思想 在解题时,如果解到某一步后,不能再以统一的方法,统