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2018-2019学年高中数学人教A版必修3课件:2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征(38张)_图文

【课标要求】
1.会求样本的众数、中位数、平均数、标准差、方差.结合实 例理解样本数据的标准差、方差.
2.会用样本的数字特征对总体进行估计. 3.会应用相关知识解决简单的实际问题.

自主学习 基础认识
|新知预习|
1.众数、中位数、平均数的概念 (1)众数:一组数据中,重复出现次数最多的数据是众数. (2)中位数:把一组数据按照大小顺序排成一列,把处在最中间 的数据(或两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数. (3)平均数:如果有 n 个数 x1,x2,x3,…,xn,那么这 n 个数 的平均数为1n(x1+x2+…+xn).

2.标准差、方差 (1)标准差的计算公式 标准差是样本数据到平均数的一种平均距离,一般用 s 表示,
s= 1n[?x1- x ?2+?x2- x ?2+…+?xn- x ?2]. (2)方差的计算公式 标准差的平方 s2 叫做方差.s2=1n[(x1- x )2+(x2- x )2+…+(xn - x )2],其中,xi(i=1,2,…,n)是样本数据,n 是样本容量, x 是 平均数.

[化解疑难] (1)对众数、中位数、平均数的理解 ①众数、中位数与平均数都是描述一组数据集中趋势的量,平 均数是最重要的量. ②众数考查各个数据出现的频率,大小只与这组数据中的部分 数据有关,当一组数据中部分数据多次重复出现时,其众数往往更 能反映问题. ③中位数仅与数据的排列位置有关,某些数据的变动对中位数 没有影响,中位数可能在所给的数据中,也可能不在所给的数据中. ④实际问题中求得的平均数、众数和中位数应带上单位.

(2)对方差与标准差概念的理解 ①标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准 差、方差越大,数据的离散程度越大;标准差、方差越小,数据的 离散程度越小. ②标准差、方差的取值范围:[0,+∞). 标准差、方差为 0 时,样本各数据全相等,表明数据没有波动 幅度,数据没有离散性. ③因为方差与原始数据的单位不同,且平方后可能夸大了偏差 的程度,所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一 样的,但在解决实际问题时,一般多采用标准差.

|自我尝试|
1.判断下列各题.(对的打“√”,错的打“×”) (1)数据 5,4,4,3,5,2 的众数为 4.( × ) (2)数据 2,3,4,5 的标准差是数据 4,6,8,10 的标准差的一半.( √ ) (3)方差与标准差具有相同的单位.( × ) (4)如果一组数中每个数减去同一个非零常数,则这组数的平均 数改变,方差不变.( √ )

2.为了了解我国 13 岁男孩的平均身高,从北方抽取了 300 个

男孩,平均身高 1.60 m;从南方抽取了 200 个男孩,平均身高为 1.50

m,由此可推断我国 13 岁男孩的平均身高为( )

A.1.54 m

B.1.55 m

C.1.56 m

D.1.57 m

解析: x =300×13.0600+ +220000×1.50=1.56(m). 答案:C

3.已知一组数据为 20,30,40,50,50,60,70,80.其中平均数、中位 数和众数的大小关系是( )
A.平均数>中位数>众数 B.平均数<中位数<众数 C.中位数<众数<平均数 D.众数=中位数=平均数
解析:平均数、中位数、众数皆为 50,故选 D. 答案:D

4.已知一组数据为-3,5,7,x,11,且这组数的众数为 5,那么 该组数据的中位数是( )
A.7 B.5 C.6 D.11
解析:由这组数据的众数为 5,可知 x=5,把这组数据由小到 大排列为-3,5,5,7,11,则可知中位数为 5.
答案:B

5.已知五个数据 3,5,7,4,6,则该样本的标准差为________.
解析:因为 x =15×(3+5+7+4+6)=5, 所以 s= 15×[?3-5?2+…+?6-5?2]= 2. 答案: 2

课堂探究 互动讲练

类型一 众数、中位数、平均数的应用

[例 1] 某公司的 33 名员工的月工资(以元为单位)如下:

职务 董事长 副董事长 董事 总经理 经理 管理员 职员

人数

1

1

2

1

5

3

20

月工资 5 500 5 000 3 500 3 000 2 500 2 000 1 500

(1)求该公司员工月工资的平均数、中位数、众数;(精确到 1

元)

(2)假设副董事长的月工资从 5 000 元提升到 20 000 元,董事长

的月工资从 5 500 元提升到 30 000 元,那么新的平均数、中位数、

众数又分别是多少?(精确到 1 元)

(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平?结

合此问题谈一谈你的看法.

【解析】 (1)平均数是 x =
5 500+5 000+3 500×2+3 000+2 500×5+2 000×3+1 500×20 33
≈2 091(元), 中位数是 1 500 元,众数是 1 500 元.
(2)新的平均数是 x ′=
30 000+20 000+3 500×2+3 000+2 500×5+2 000×3+1 500×20 33
≈3 288(元), 中位数是 1 500 元,众数是 1 500 元. (3)在这个问题中,中位数和众数都能反映出这个公司员工的工 资水平.因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较 大,这样导致平均数偏差较大,所以平均数不能反映这个公司员工 的工资水平.

方法归纳 (1)平均数计算方法 ①定义法:n 个数据 a1,a2,…,an 的平均数 a =a1+a2+n …+an. ②利用加权平均数公式: 在 n 个数据中,如果 x1 出现 f1 次,x2 出现 f2 次,…,xk 出现 fk 次 (f1 + f2 + … + fk = n) , 则 这 n 个 数 的 平 均 数 为 : x = x1f1+x2f2+n …+xkfk. ③当数据较大时,用公式 x = x ′+a 简化计算.

(2)中位数的求法 ①当数据个数为奇数时,中位数是按从小到大(或从大到小)的 顺序依次排列的中间那个数.
②当数据个数为偶数时,中位数为按从小到大(或从大到小)的 顺序依次排列的最中间的两个数的平均数.

跟踪训练 1 某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出 7 名学 生参加数学竞赛,他们取得的成绩(满分 100 分)的茎叶图如图,其 中甲班学生成绩的平均分是 85 分,乙班学生成绩的中位数是 83 分, 则 x+y 的值为___8_____.

解 析 : 因 为 甲 班 学 生 成 绩 的 平 均 分 是 85 , 所 以 78+79+85+807+x+80+96+92=85,解得 x=5,又因为乙班学 生成绩的中位数是 83,所以 y=3,所以 x+y=8.

类型二 标准差、方差的应用 [例 2] 甲、乙两机床同时加工直径为 100 mm 的零件,为检验 质量,各从中抽取 6 件测量,数据为: 甲:99 100 98 100 100 103 乙:99 100 102 99 100 100 (1)分别计算两组数据的平均数及方差; (2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定.

【解析】 (1) x 甲=16(99+100+98+100+100+103)=100,

x 乙=16(99+100+102+99+100+100)=100.

s

2




1 6

[(99



100)2



(100



100)2



(98



100)2



(100



100)2



(100-100)2+(103-100)2]=73,

s

2




1 6

[(99



100)2



(100



100)2



(102



100)2



(99



100)2



(100-100)2+(100-100)2]=1.

(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同,又 s2甲>s乙2 ,

所以乙机床加工零件的质量更稳定.

方法归纳 在实际应用中,常常把平均数与标准差结合起来进行决策,在 平均值相等的情况下,比较方差或标准差以确定稳定性.

跟踪训练 2 在本例中,若甲机床所加工的 6 个零件的数据全 都加 10,那么所得新数据的平均数及方差分别是多少?

解析:甲的数据为 99+10,100+10,98+10,100+10,100+10,103

+10,平均数为 100+10=110,









1 6

[(109



110)2



(110



110)2



(108



110)2



(110



110)2+(110-110)2+(113-110)2]=73.

类型三 频率分布直方图与数字特征的综合应用 [例 3] (1)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶 5 次,两人成 绩的条形统计图如图所示,则( C ) A.甲的成绩的平均数 小于乙的成绩的平均数 B.甲的成绩的中位数 等于乙的成绩的中位数 C.甲的成绩的方差小 于乙的成绩的方差 D.甲的成绩的极差小 于乙的成绩的极差

(2)从高三抽出 50 名学生参加数学竞赛,由成绩得到如下的频 率分布直方图.
由于一些数据丢失,试利用频率分布直方图求: ①这 50 名学生成绩的众数与中位数; ②这 50 名学生的平均成绩.

【思路点拨】 (1)由平均数、中位数、方差、极差的概念进行 判断.(2)根据直方图中的众数、中位数、平均数的求解方法计算.

【解析】 (1) x 甲=15(4+5+6+7+8)=6, x 乙=15(5×3+6+9)=6, 甲的中位数是 6, 乙的中位数是 5.
甲的成绩的方差为15(22×2+12×2)=2, 乙的成绩的方差为15(12×3+32×1)=2.4. 甲的极差是 4,乙的极差是 4. 所以 A,B,D 错误,C 正确.

(2)①由众数的概念可知,众数是出现次数最多的数.在直方图 中高度最高的小长方形的底边中点的横坐标即为所求,所以众数应 为 75.
由于中位数是所有数据中的中间值,故在频率分布直方图中体 现的是中位数的左右两边频数应相等,即频率也相等,从而就是小 矩形的面积和相等.因此在频率分布直方图中将所有小矩形的面积 一分为二地垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标所对应的成绩 即为所求.
∵0.004×10+0.006×10+0.02×10=0.04+0.06+0.2=0.3, ∴ 前 三 个 小 矩 形 面 积 的 和 为 0.3. 而 第 四 个 小 矩 形 面 积 为 0.03×10=0.3,0.3+0.3>0.5,

∴中位数应位于第四个小矩形内. 设其底边为 x,高为 0.03, ∴令 0.03x=0.2,得 x≈6.7, 故中位数应约为 70+6.7=76.7. ②样本平均值应是频率分布直方图的“重心”,即所有数据的 平均值,取每个小矩形底边的中点的横坐标乘以每个小矩形的面积 求和即可. ∴ 平 均 成 绩 为 45×(0.004×10) + 55×(0.006×10) + 65×(0.02×10) + 75×(0.03×10) + 85×(0.021×10) + 95×(0.016×10)=73.65.

方法归纳 利用频率分布直方图求数字特征
(1)众数是最高的矩形的底边的中点. (2)中位数左右两侧直方图的面积相等. (3)平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐 标. (4)利用直方图求众数、中位数、平均数均为近似值,往往与实 际数据得出的不一致.但它们能粗略估计其众数、中位数和平均数.

跟踪训练 3 已知一组数据:125 121 123 125 127 129

125 128 130 129 126 124 125 127 126 122 124

125 126 128

(1)填写下面的频率分布表:

分组

频数 频率

[120.5,122.5) [122.5,124.5) [124.5,126.5) [126.5,128.5) [128.5,130.5] (2)作出频率分布直方图; (3)根据频率分布直方图或频率分布表求这组数据的众数、中位 数和平均数.

解析:(1)

分组

频数 频率

[120.5,122.5) 2 0.1

[122.5,124.5) 3 0.15

[124.5,126.5) 8 0.4

[126.5,128.5) 4 0.2

[128.5,130.5] 3 0.15

合计

20 1

(2)频率分布直方图为:

(3)在[124.5,126.5)中的数据最多,取这个区间的中点值作为众 数的近似值,得众数为 125.5,事实上,众数的精确值为 125.图中 虚线对应的数据是 124.5+2×58=125.75,事实上中位数为 125.5.使 用“组中值”求平均数 x =121.5×0.1+123.5×0.15+125.5×0.4+ 127.5×0.2+129.5×0.15=125.8,
平均数的精确值为 x =125.75.

|素养提升|
众数、中位数、平均数与频率分布表、频率分布直方图的关系 (1)众数:众数一般用频率分布表中频率最高的一小组的组中值 来表示.即在样本数据的频率分布直方图中,最高矩形的中点的横 坐标. (2)中位数:在频率分布表中,中位数是累计频率(样本数据小 于某一数值的频率叫作该数值点的累计频率)为 0.5 时所对应的样本 数据的值,而在样本中有 50%的个体小于或等于中位数,也有 50% 的个体大于或等于中位数.因此,在频率分布直方图中,中位数左 边和右边的直方图的面积应该相等.

(3)平均数:平均数在频率分布表中等于组中值与对应频率之积 的和.平均数是频率分布直方图的“重心”.我们知道,n 个样本 数据 x1,x2,…,xn 的平均数 x =1n(x1+x2+…+xn),则有 n x =x1 +x2+…+xn,也就是把每个 xi(i=1,2,…,n)都用 x 取代后,数据 总和保持不变,所以平均数 x 对数据有“取齐”的作用,代表了一 组数据的数值平均水平.在频率分布直方图中,平均数是直方图的 平衡点.

|巩固提升|

1.一组数据的方差一定是( )

A.正数

B.负数

C.任意实数

D.非负数

解析:方差可为 0 和正数. 答案:D

2.(长沙四校联考)为了了解某同学的数学学习情况,对他的 6 次数学测试成绩(满分 100 分)进行统计,作出的茎叶图如图所示, 则下列关于该同学数学成绩的说法正确的是( )
A.中位数为 83 B.众数为 85 C.平均数为 85 D.方差为 19
解析:易知该同学的 6 次数学测试成绩的中位数为 84,众数为 83,平均数为 85,方差约为 19.7.
答案:C

3.若 40 个数据的平方和是 56,平均数是 22,则这组数据的 方差是________,标准差是________.

解析:设这 40 个数据为 x1,x2,…,x40,

则 s2=410??????x1- 22???2+???x2- 22???2+…+???x40- 22???2???=

410????x21+x22+…+x240?+40×??? 22???2-2× 22?x1+x2+…+x40????

=410×???56+20- 2× 22×40???=3460=190,所以 s=31010.

答案:190

3 10 10