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宁夏银川一中2015届高三第二次模拟考试 数学文 Word版含答案


绝密★启用前

2015 年普通高等学校招生全国统一考试









(银川一中第二次模拟考试)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第 22~24 题为选 考题,其它题为必考题。考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效。考试结 束后,将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项: 1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的 姓名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。 2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的标号;非选 择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。 4.保持卡面清洁,不折叠,不破损。 5.做选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题 号涂黑。

第I卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.设 A ? x x 2 ? x ? 6 ? 0, x ? Z , B ? x x ? 1 ? 2, x ? Z ,则 A A. ?0,1? B. ??1, 0,1? C. ?0,1, 2?

?

?

?

?

B?
D. ??1, 0,1, 2?

(1 ? i) 2 2.复数 等于 1? i
A. ? 1 ? i
2 3.函数 y ? 2 cos ( x ?

B. 1 ? i

C. 1 ? i

D. ? 1 ? i

?
4

) ?1 是
B. 最小正周期为 ? 的偶函数 D. 最小正周期为

A.最小正周期为 ? 的奇函数 C. 最小正周期为

? 的奇函数 2

? 的偶函数 2

4.下列四个命题中真命题的个数是( ) 第 1 页(共 6 页) 2 文科数学试卷 ①“ x ? 1 ”是“ x ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件 ②命题“ ?x ? R , sin x ? 1 ”的否定是“ ?x ? R , sin x ? 1 ” ③命题 p : ?x ??1, ??? , lg x ? 0 ,命题 q : ?x ? R ,
-1-

D1 A1 B1

C1

D

C

x2 ? x ? 1 ? 0 ,则 p ? q 为真命题
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5.如图,在直四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,底面 ABCD 为正方 形, AA1 ? 2 AB ,则异面直线 A1 B 与 AD1 所成角的余弦值为 A.

1 5

B.

2 5

C.

3 5

D.

4 5

6.如图是一建筑物的三视图(单位:米) , 现需将其外壁用油漆刷一遍,若每平方 米用漆 ? 千克,则共需油漆的总量为 A. (48 ? 36? )? 千克 B. (39 ? 24? )? 千克 C. (36 ? 36? )? 千克 D. (36 ? 30? )? 千克

?x ? y ? 5 ? 0 ? 7.已知点 ? ? x, y ? 的坐标满足 ? x ? y ? 0 , ? 点的坐标为 ?1, ?3? ,点 ? 为坐标原点,则 ?x ? 3 ?

?? ??? 的最小值是
A. 12 B. 5 C. ?6 D. ?21 8.已知 OA ? ?4,6?, OB ? ?3,5?, 且 OC ? OA, AC // OB , 则向量 OC 等于 A. ? ? C. ?

? 3 2? , ? ? 7 7?

B. ? ?

? 2 4? , ? ? 7 21?

?3 2? ,? ? ?7 7?
B.1

D. ? ,?

?2 ?7

4? ? 21?
D.2

9.运行如右图所示的算法框图,则输出的结果 S 为 A.-1 10.以双曲线 C.-2

x2 y2 ? ? 1 (m>0)的离心率为半径,以右焦点为圆心的圆与该双曲线的渐近 4 m

线相切,则 m 的值为 A.

3 2

B.

1 3

C.

4 3

D.

1 4

11. 已知四面体 P-ABC 的外接球的球心 O 在 AB 上,且 PO⊥平面 ABC,2AC= 3 AB , 若四面体 P-ABC 的体积为
3 ,则该球的体积为 2

-2-

A. 4 3?
x

B.

4 3 ? 3

C. 8 3?

D.

8 3 ? 3

?1? 12.关于方程 ? ? ? sin x ? 1 ? 0 ,给出下列四个命题: ?2?
①该方程没有小于 0 的实数解; ②该方程有无数个实数解; ③该方程在 ? ??,0? 内有且只有一个实数根;④若 x0 是方程的实数根,则 x0 ? ?1 其中所有正确命题的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做 答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.从 3 名男生和 2 名女生中选出 2 名参加某项活动,则选出的 2 名学生中至少有 1 名女生 的概率为_______ 14.已知抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0) 的准线为 l ,过点 M (1,0) 且斜率为 3 的直线与 l 相交于
2

点 A ,与 C 的一个交点为 B ,若 AM ? MB ,则 p 等于____________. 15.已知 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和, 2a n ? n ? S n ,求数列 ?an ? 的通项公式 ___________. 16.已知函数 f(x)是偶函数,当 x>0 时, f ( x ) ? x ? 恒成立,则 m-n 的最小值是__________.
1 3 1 ,且当 x ? [? ,? ] 时,n ? f ( x ) ? m x 2 2

三、解答题:解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 文科数学试卷 第 3 页(共 6 页) 17.(本小题满分 12 分) 等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 S1 , S3 , S2 成等差数列 (1)求 ?an ? 的公比 q; (2)若 a1 ? a3 ? 3 , bn ? nan .求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .

18.(本题满分 1 2 分) 某工厂有工人 500 名,记 35 岁以上(含 35 岁)的为 A 类工人,不足 35 岁的为 B 类工人, 为调查该厂工人的个人文化素质状况,现用分层抽样的方法从 A、B 两类工人中分别抽取了 40 人、60 人进行测试.
-3-

(I)求该工 厂 A、B 两类工人各有多少人? (Ⅱ)经过测试,得到以下三个数据图表: 图一:75 分以上 A、B 两类工人成绩的茎叶图 (茎、叶分别是十位和个位上的数字)(如右图)

①先填写频率分布表(表一)中的六个空格 ,然后将频率分布直方图(图二)补充完整; ②该厂拟定从参加考试的 79 分以上(含 79 分)的 B 类工人中随机抽取 2 人参加高级技工 培训班,求抽到的 2 人分数都在 80 分以上的概率。

19. (本小题满分 12 分) 如图,四边形 ABCD 为矩形, DA ? 平面 ABE , AE ? EB ? BC ? 2 , BF ? 平面 ACE 于点 F ,且 点 F 在 CE 上。 (1)求证: AE ? BE ; (2)求三棱锥 D ? AEC 的体积; (3)设点 M 在线段 AB 上,且满足 AM ? 2 MB , 试在线段 CE 上确定一点 N ,使得 MN // 平面 DAE .

20. (本小题满分 12 分) 如图,设椭圆

y2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右顶点与上顶点 a 2 b2

分别为 A、B,以 A 为圆心, OA 为半径的圆与以 B 为圆心, OB 为半径的圆相交于点 O、P. (1)若点 P 在直线 y ?

3 x 上,求椭圆的离心率; 2
-4-

(2)在(1)的条件下,设 M 是椭圆上一动点,且点 N(0,1)到椭圆上的点的最近距 离为 3,求椭圆的方程.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? ?a ln y=-3x+2ln2+2.. (1)求 a,b 的值;
1 (2)若方程 f ( x ) ? m ? 0 在 [ , e ] 内有两个不等实根,求 m 的取值范围(其中 e 为自然对 e 1 ? bx 2 图象上一点 P(2,f(2))处的切线方程为 x

数的底,e≈2.7).

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时 文科数学试卷 第 5 页(共 6 页) 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分) 选修 4—1;几何证明选讲. 已知 AB 为半圆 O 的直径, AB ? 4 ,C 为半圆上一点,过点 C 作半圆的切线 CD ,过 A 点作 AD ? CD 于 D ,交半圆于点 E , DE ? 1 . (1)证明: AC 平分 ? BAD ; (2)求 BC 的长.

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4: 坐标系与参数方程. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C1: ?
? x ? cos? (? 为参数),将 C1 上的所有点的横坐 ? y ? sin?

标、纵坐标分别伸长为原来的 2 和 2 倍后得到曲线 C2. 以平面直角坐标系 xOy 的原点 O 为 极点,x 轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线
l : ? ( 2 cos? ? sin? ) ? 4 .

(1)试写出曲线 C1 的极坐标方程与曲线 C2 的参数方程; (2)在曲线 C2 上求一点 P,使点 P 到直线 l 的距离最小,并求此最小值.

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5;不等式选讲.

-5-

函数 f ( x) ? | x ? 1 | ? | x ? 2 | ?a . (1)若 a ? 5 ,求函数 f ( x ) 的定义域 A; (2)设 B ? { x | ?1 ? x ? 2} ,当实数 a, b ? ( B ? C R A) 时,证明:

银川一中 2015 届高三第二次模拟考试数学(文科)参考答案
一、选择题 题号 1 2 答案 B A 二、填空题 7 13. 14.2 10 三、解答题: 3 A 4 D 5 D 16. 6 B
1 2

7 D

8 D

9 A

10 C

11 A

12 C

15.2n-1

q ?-
17. 解: (Ⅰ) 18.

1 2 ……(6 分) (Ⅱ) T n? ( 32 ? 8 n) ? (? 1 ) n ? 16 ………(12 分)
9 3 2 9

-6-

19.解: (Ⅰ)证明:由 AD ? 平面 ABE 及 AD // BC ∴ BC ? 平面 ABE ,∴ AE ? BC 而 BF ? 平面 ACE ,∴ BF ? AE ,又 BC ……………………2 分

BF ? B ,
……………………4 分

∴ AE ? 平面 BCE ,又 BE ? 平面 BCE ,∴ AE ? BE 。

(Ⅱ)在 ?ABE 中,过点 E 作 E H ? A B 于点 H ,则 EH ? 平面 A C D .

1 AB ? 2, S?ADC ? 2 2 . 2 1 4 故 VD ? AEC ? VE ? ADC ? ? 2 2 ? 2 ? 3 3 (Ⅲ)在 ?ABE 中过点 M 作 MG // AE 交 BE 于点 G , 在 ?BEC 中过点 G 作 GN // BC 交 BC 于点 N ,连接 CN BG MB 1 MN ,则由 ? ? ? 得 CE BE AB 3 1 CN ? CE ……………………10 分 3
由已知及(Ⅰ)得 EH ? ∵MG ∥AE MG ? 平面ADE, AE ? 平面AED. ∵ MG // 平面 ADE 由 GN // BC , BC // AD ∴ GN // 平面 ADE , 又 MN ? 平面 MGN ,则 MN // 平面 ADE 。

……………………6 分 ……………………8 分

∴当点 N 为线段 CE 上靠近点 C 的一个三等分点时, MN // 平面 ADE 。…12 分 20、

21、解(Ⅰ) f ? ? x ? ?

a a ? 2bx , f ? ? 2? ? ? 4b , f ? 2? ? a ln 2 ? 4b . x 2

-7-



a ? 4b ? ?3 ,且 a ln 2 ? 4b ? ?6 ? 2 ln 2 ? 2 . 2

解得 a=2,b=1.

(Ⅱ) f ? x ? ? 2ln x ? x2 ,令 h ? x ? ? f ( x) ? m ? 2ln x ? x2 ? m ,
2 2(1 ? x 2 ) ? 2x ? ,令 h? ? x ? ? 0 ,得 x=1(x=-1 舍去) . x x 1 1 在 [ , e] 内,当 x∈ [ , 1) 时, h? ? x ? ? 0 ,∴h(x)是增函数; e e

则 h? ? x ? ?

当 x∈ (1, e] 时, h? ? x ? ? 0 ,∴h(x)是减函数.

? 1 ?h( e ) ≤ 0, ? ? 1 则方程 h ? x ? ? 0 在 [ , e] 内有两个不等实根的充要条件是 ?h(1) ? 0, e ?h(e) ≤ 0. ? ? ?
即 1 ? m≤ e 2 ? 2 .

22. 解: (1)连接 OC ,因为 OA ? OC , 所以 ?OAC ? ?OCA CD 为半圆的切线

? AD ? CD ,? OC / / AD

? AC 平分 ?BAD ……… (5 分) (2)连接 CE ,由??OCA ? ?CAD 知 BC ? CE ? c o s? B ? cos ? CED 所以 A、B、C、E 四点共圆 ,
? DE CB ? ,? BC ? 2 CE AB
(10 分)

?? O C A ? ?C A D ?? O A C ? ?C A D

-8-

24. 解:(1)由 | x ? 1| ? | x ? 2 | ?5 ? 0 ,得 A ? {x | x ? ?4或x ? 1} (2)

(5 分)

B CR A ? (?1,1) |a?b| ab ?|1 ? |? 2 | a ? b |?| 4 ? ab | 又 2 4


4(a ? b) 2 ? (4 ? ab) 2 ? 4(a 2 ? 2ab ? b 2 ) ? (16 ? 8ab ? a 2b 2 ) ? 4a 2 ? 4b 2 ? a 2b 2 ? 16 ? a 2 (4 ? b 2 ) ? 4(b 2 ? 4) ? (b 2 ? 4)(4 ? a 2 ) a, b ? (?1,1) ?(b2 ? 4)(4 ? a2 ) ? 0 ?4(a ? b)2 ? (4 ? ab)2 |a?b| ab ? ?|1 ? | ……(10 分) 2 4

-9-

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