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2019年版高中全程复习方略配套课件:12命题、充分条件与必要条件(北师大版·数学理)语文_图文

第二节 命题、充分条件与必要条件

三年26考 高考指数:★★★★★ 1.理解命题的概念. 2.了解“若p,则 q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题, 会分析四种命题的相互关系. 3.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.

1.充分、必要条件的判断和四种命题及其关系是本节考查的重 点和热点. 2.以选择题和填空题为主,由于知识载体丰富,因此题目有一 定的综合性,属于中、低档题.

1.命题 (1)定义:可以判断真假、用_文__字__或__符__号__表述的语句. (2)特点:能判断真假. (3)分类:真命题、假命题.

【即时应用】

判断下列说法是否正确.(请在括号中填写√或×)

(1)“sin45°=1”是假命题

()

(2)“x2+2x-1”是命题

()

(3)“3是12的约数吗”是假命题

()

(4)“x2+2x-3>0”是真命题

()

【解析】“sin45°=1”能判断真假,是命题且为假命题,故 (1)正确. “x2+2x-1”与“x2+2x-3>0”不能判断真假,不是命题,故 (2)、(4)错. “3是12的约数吗”不是陈述句,不是命题,故(3)错. 答案:(1)√ (2)× (3)× (4)×

2.四种命题及其关系

(1)四种命题间的相互关系

原命题 若p,则q

互逆

互 否
否命题 若﹁p,则﹁q

互逆

逆命题 若q,则p
互 否
逆否命题 若﹁q,则﹁p

(2)四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题,它们具有相同的_真__假__性___. ②两个命题互为逆命题或否命题,它们的真假性_没_有__关__系___.

【即时应用】

(1)判断下列命题是真命题还是假命题.(填“真”或“假”)

①“若x2+y2≠0,则x,y不全为零”的否命题

()

②“正多边形都相似”的逆命题

()

③“若m>0,则x2+x-m=0有实根”的逆否命题

()

④“若x- 3是有理数,则x是无理数”的逆否命题 ( ) (2)命题:“若x2≤1,则-1<x<1”的逆否命题是______.

(3)命题“对实数a,若a>0,则a2>0”的否命题是______.

【解析】(1)①的否命题是“若x2+y2=0,则x,y全为零”,是真 命题;②的逆命题是“相似形是正多边形”,是错误的,故是假命 题;③④的原命题是真命题,故它们的逆否命题也是真命题. (2)“-1<x<1”的否定是“x≥1或x≤-1”,“x2≤1”的否定 是“x2>1”,故已知命题的逆否命题是“若x≥1或x≤-1,则x2 >1”. (3)“a>0”的否定是“a≤0”,“a2>0”的否定是“a2≤0”, 故已知命题的否命题是“对实数a,若a≤0,则a2≤0”.

答案:(1)①真 ②假 ③真 ④真 (2)若x≥1或x≤-1,则x2>1 (3)对实数a,若a≤0,则a2≤0

3.充分条件、必要条件与充要条件 (1)“若p,则q”为真命题,记p?q,则_p_是__q_的充分条件, _q_是__p_的必要条件. (2)如果既有p?q,又有q?p,记作p ?q,则__p_是__q_的充要条 件,q也是p的_充__要__条__件__.

【即时应用】 (1)设a≠0,则“x∈{a,-a}”是“|x|=a”的______条件. (2)“m< 1 ”是“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”的_____
4
条件. (3)若集合A={1,m2},B={2,4},则“m=2”是“A∩B={4}”的 _______条件.

【解析】(1)当a<0时,x∈{a,-a} ?|x|=a, 但|x|=a?x∈{a,-a},

故“x∈{a,-a}”是“|x|=a”的必要不充分条件.
(2)Δ=1-4m,当m< 1 时,Δ>0,方程x2+x+m=0有实数解;若
4
方程x2+x+m=0有实数解,

则Δ=1-4m≥0,

∴m≤ 1 , ∴“m< 1 ”是“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”的

4

4

充分不必要条件.

(3)m=2?A∩B={4},但A∩B={4} ?m=2, 故“m=2”是“A∩B={4}”的充分不必要条件.

答案:(1)必要不充分 (2)充分不必要 (3) 充分不必要

四种命题及其关系 【方法点睛】1.四种命题关系的判断 首先要注意分清命题的条件与结论,再比较每个命题的条件与 结论之间的关系. 2.命题的等价性 当一个命题直接判断真假不容易进行时,可以转而判断其逆否 命题的真假.

【提醒】要注意四种命题关系的相对性,一旦一个命题被定为 原命题,也就相应有了它的“逆命题”、“否命题”、“逆否 命题”.

【例1】(1)(2011·苏州模拟)命题“若一个数是负数,则它的 平方是正数”的逆命题是___________. (2)(2011·岳阳模拟)命题“若a>b,则a-1>b-1”的否命题 是____________. (3)给出命题:若函数y=f(x)是幂函数,则函数y=f(x)的图像 不过第四象限.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中, 真命题的个数是_________.

【解题指南】(1)、(2)先分清原命题的条件和结论,再根据四 种命题的概念,写出逆命题、否命题. (3)在判断四种命题的真假时,可根据原命题与其逆否命题、 原命题的逆命题与否命题的等价性来判断.

【规范解答】(1)逆命题是将原命题的结论与条件互换位置, 故该命题的逆命题是“若一个数的平方是正数,则它是负数”. (2)同时否定原命题的条件和结论,所得命题就是它的否命题, 故该命题的否命题是“若a≤b,则a-1≤b-1”. (3)原命题与逆否命题等价,而原命题为真,所以逆否命题为 真命题;原命题的逆命题为:若y=f(x)的图像不过第四象限, 则函数y=f(x)是幂函数,此命题为假命题,又因为逆命题与否 命题同真同假,所以否命题为假命题,故真命题的个数是1.

答案:(1)若一个数的平方是正数,则它是负数 (2)若a≤b,则a-1≤b-1 (3)1

【反思·感悟】1.对于四种命题真假的判断,关键是分清命题 的条件和结论,然后再结合相关的知识进行判断; 2.由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性,因而,当 判断原命题的真假比较困难时,要善于利用命题的等价性进行 转化.

充分条件与必要条件的判定 【方法点睛】充分、必要条件的判断方法 (1)命题判断法 通过判断p?q与q?p是否成立确定p是q的什么条件.

(2)集合判断法 建立命题p,q相应的集合:p:A={x|p(x)成立},q:B={x|q(x)成 立},那么从集合的观点看, ①若A?B,则p是q的充分条件,若A B,则p是q的充分不必要 条件; ②若B?A,则p是q的必要条件,若B A,则p是q的必要不充分 条件; ③若A?B且B?A,即A=B,则p是q的充要条件.

【例2】(1)(2011·天津高考)设集合A={x∈R|x-2>0}, B={x∈R|x<0},C={x∈R|x(x-2)>0},则“x∈A∪B”是“x∈C” 的( ) (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件

(2)(2012·驻马店模拟)已知条件p:(1-x)(x+1)>0,条件 q : lg( 1? x ? 1? x2 ) 有意义,则﹁p是﹁q的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 【解题指南】(1)求出集合C及A∪B,根据两集合的关系判断. (2)化简条件p、q,求出﹁p与﹁q后根据集合间的关系判断.

【规范解答】(1)选C.集合C的解集是{x|x<0或x>2}, ∵A∪B={x|x<0或x>2},∴A∪B=C,故选C.

(2)选B.由(1-x)(x+1)>0,得-1<x<1,即条件p:-1<x<1,

则﹁p:x≤-1或x≥1.

?1? x ? 0

由??1? x2 ? 0

,得 ?1<x ? 1.

? ?

1? x ?

1? x2>0

即条件q:-1<x≤1,则﹁q:x≤-1或x>1.

∴﹁p ? ﹁q,但﹁q?﹁p. ∴﹁p是﹁q的必要不充分条件,故选B.

【反思·感悟】判断充分、必要条件时应注意的问题 (1)要弄清先后顺序:“A的充分不必要条件是B”是指B能推出 A,且A不能推出B;而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推 出B,且B不能推出A; (2)要善于举出反例:如果从正面判断或证明一个命题的错误 不易进行时,可以通过举出恰当的反例来说明; (3)要注意转化:若 p是 q的必要不充分条件,则p是q的充 分不必要条件;若 p是 q的充要条件,那么 p是q的充要条件.

充分条件、必要条件的应用 【方法点睛】充分条件、必要条件的应用 解决此类问题一般是先把充分条件、必要条件或充要条件转化 为集合之间的关系,再根据集合之间的关系列出关于参数的不 等式求解.

【例3】已知集合M={x|x<-3或x>5},P={x|(x-a)·(x-8) ≤0}. (1)求实数a的取值范围,使它成为M∩P={x|5<x≤8}的充要条 件; (2)求实数a的一个值,使它成为M∩P={x|5<x≤8}的一个充分 但不必要条件. 【解题指南】(1)利用集合M和M∩P,通过分析求得a的范围. (2)借助(1)的结论,根据充分但不必要条件所满足的关系,确 定a的值.

【规范解答】(1)由 M∩P={x|5<x≤8},得-3≤a≤5,因此 M∩P={x|5<x≤8}的充要条件是{a|-3≤a≤5}; (2)求实数a的一个值,使它成为M∩P={x|5<x≤8}的一个充分 但不必要条件,就是在集合{a|-3≤a≤5}中取一个值,如取 a=0,此时必有M∩P={x|5<x≤8};反之,M∩P={x|5<x≤8} 未必有a=0,故a=0是M∩P={x|5<x≤8}的一个充分不必要条件.

【反思·感悟】解答本例(2)时,需借助(1)的结论,即求某一 个结论的充分不必要条件或必要不充分条件时,一般是先求出 这个结论的充要条件.

【创新探究】探求结论成立的充要条件 【典例】(2011·陕西高考)设n∈N*,一元二次方程x2-4x+n=0 有整数根的充要条件是n=________. 【解题指南】直接利用求根公式进行计算,然后用整数等有关 概念进行分析、验证.

【规范解答】x ? 4 ? 16 ? 4n ? 2 ? 4 ? n,因为x是整数,
2
即 2 ? 4 ? n 为整数,所以 4 ? n 为整数,且n≤4,又因为 n∈N*,取n=1,2,3,4,验证可知n=3,4符合题意,所以n=3,4时
可以推出一元二次方程x2-4x+n=0有整数根.
答案:3或4

【阅卷人点拨】通过对本题的深入研究,可以得到以下创新点 拨和备考建议:
本题有以下两个创新的命题角度: 创
(1)考查内容创新,本题以一元二次方程为背景,探求方 新
程有整数根的充要条件. 点
(2)此类题目的特点是给出结论,未给条件,由结论探求 拨
条件.

备 在解决此类问题时,有以下两个备考建议需特别关注: 考 (1)解答此类题目,可先从结论出发,求出使结论成立的 建 必要条件,然后再验证得到的必要条件是否满足充分性. 议 (2)解答时应思路清晰,可在平时多加练习.

1.(2011·陕西高考)设a,b是向量,命题“若a=-b,则|a|=|b|” 的逆命题是( ) (A)若a≠-b,则|a|≠|b| (B)若a=-b,则|a|≠|b| (C)若|a|≠|b|,则a≠-b (D)若|a|=|b|,则a=-b

【解析】选D.原命题的条件是a=-b,作为逆命题的结论,原命 题的结论是|a|=|b|,作为逆命题的条件,即得逆命题“若 |a|=|b|,则a=-b”,故选D.

2.(2011·湖南高考)设集合M={1,2},N={a2},则“a=1”是 “N?M”的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件

【解析】选A.当a=1时,N={1},可推出“N?M”. 当“N?M”时,有a2=1或a2=2,得到a=±1或a= ? 2,不能推出 a=1.所以“a=1”是“N?M”的充分不必要条件.

3.(2012·亳州模拟)在三角形ABC中,“A>30°”是“sinA>1 ”
2
的( )

(A)充分不必要条件

(B)必要不充分条件

(C)充要条件

(D)既不充分也不必要条件

【解析】选B.当A>30°时,sinA> 1 不一定成立,如A=150°,

2

而sinA= 1 ,当sinA> 1 时,A>30°一定成立,故在△ABC中,

2

2

A>30°是sinA> 1 的必要不充分条件.

2

4.(2012·西安模拟)下列四个命题:①命题“若x2-3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为:“若x≠1,则x2-3x+2≠0”; ②“x>1”是“|x|>1”的充分不必要条件; ③函数y=sin(2x+ ? )的最小正周期是π ;
3
④命题“函数f(x)在x=x0处有极值,则f′(x0)=0”的否命题是 真命题. 其中正确的序号是:________.

【解析】由逆否命题的定义知:①正确;x>1?|x|>1,但 |x|>1?x>1或x<-1,故②正确;③T= 2?=π,故③正确;④中
2
否命题为:函数f(x)在x=x0处无极值,则f′(x0)≠0正确.
答案:①②③④