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双曲线的定义及其标准方程 导学及练习 含答案


课题 双曲线及其标准方程 【学本研读】 【学习目标】 1.通过类比椭圆的定义理解并掌握双曲线的定义; 2.掌握双曲线的标准方程,体会数形结合和类比的数学思想. 【知识链接】 一、课前准备 1:椭圆的定义是什么?椭圆的标准方程是什么?
x2 y2 ? 2 ?1 2 2:在椭圆的标准方程 a b 中, a,b,c 有何关系?

3:阅读课本 P52-55. 【研读学本问题】 一、双曲线的定义 1:把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差” ,那么点的轨迹会怎样?

2.双曲线的定义: 叫做双曲线。两定点 F1 , F2 叫做双曲线的____,两焦 点间的距离| F1F2 |叫做双曲线的. 3.设常数为2a ,为什么2a < | F1 F2 |? 2a = | F1 F2 |时,轨迹是__________ ; 2a > | F1 F2 |时,轨迹是____________

例1.点 A( 1,0) , B (-1 ,0) , 若 ||AC|- |BC||= 2 ,则点 C 的轨迹方程是__________ ; 若 |AC|- |BC|= 1 ,则点 C 的轨迹方程是__________ .

二、双曲线的标准方程 1.试根据双曲线的定义结合椭圆标准方程的推导过程推导双曲线的标准方程

2.总结双曲线的标准方程的特点,与椭圆的标准方程进行比较











线


y
y

图 象

O

x
O

x

定 义

焦点在 x 轴上时:

焦点在 x 轴上时:

焦点在 y 轴上时: 焦点在 y 轴上时: 标 准 方 注: 根据判断焦点在哪一坐标轴 注:根据来判断焦点所在的位置 程 上 常 数
a, b, c

的 关 系

例 2:求满足下列条件的双曲线的标准方程: (1)焦点在 x 轴上, a ? 4 , b ? 3 . (2)焦点在 x 轴上,经过点 (? 2, ? 3) , (
15 , 2) . 3

(3)焦点为 (0, ?6) , (0, 6) ,且经过点 (2, ?5) .

例 3 双曲线 的距离为

x2 y2 ? ? 1 上一点 p 到焦点 (5,0) 的距离为 15,那么该点到另一个焦点 16 9

【变式 1】双曲线 4 x ? y ? 64 ? 0 上一点 P 到它的一个焦点的距离等于 1 ,求 点 P 到另一个焦点的距离. .
2 2

x2 y2 【变式 2】双曲线 ? ? 1 上一点 P 到焦点 的距离为 17,那么该点到另 (? 10,0) 64 36
(-10,0) 一个焦点 的距离为___。

【基础测试】

1.已知 A(2,-3) ,B(-4,-3) ,动点 P 满足|PA|-|PB|=6,则 P 点轨迹分别 是( ) A.双曲线 2.双曲线
1 2

B.两条射线

C.双曲线的一支

D.一条射线 )

x2 y2 ? ? 1 的一个焦点为(2,0) ,则 m=( m 3? m

A.

B.1 或 3

C.

1? 2 2

D.

2 ?1 2

3.k>9 是方程

x2
9-k



y2 k-4

=1 表示双曲线的(

)

A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件
x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的双曲线,求 m 的取值范围. 4.若方程 m ?1 m ? 2

5.在△ABC 中, 已知 c ? 4 2 , 且三边 a、 b、 c 满足 2a+c=2b, 建立适当的坐标系, 求定点 C 的轨迹

【拓展提升】 1.已知点 F1 (?4,0) 和 F2 (4,0) ,曲线上的动点 P 到 F1 、 F2 的距离之差为 6, 则曲线方程为( )

A.

x2 y2 ? ?1 9 7 x2 y2 y2 x2 ? ? 1或 ? ?1 9 7 9 7

B.

y2 x2 ? ? 1( y ? 0) 9 7

C.

D.

x2 y2 ? ? 1( x ? 0) 9 7

2. “ab<0”是“方程 ax2 ? by2 ? c 表示双曲线”的( A.必要不充分条件 C.充要条件 3.P 为双曲线



B.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件

x2 y2 ? ? 1 上的一点,F 为一个焦点,以 PF 为直径的圆与圆 a2 b2

x 2 ? y 2 ? a 2 的位置关系是( )
A.内切 C.外切 4.若椭圆 B.内切或外切 D.相离或相交
x2 y2 x2 y2 ? ? 1(m ? n ? 0) 和双曲线 ? ? 1(a ? b ? 0) 有相同的焦 m n a b

点 F1 、 F2 ,P 是两曲线的一个公共点,则 | PF1 | ? | PF2 | 的值是( A.m-a C. m 2 ? a 2 D. m+a
1 B. ( m ? a ) 2

)

5.双曲线 2 x 2 ? y 2 ? m 的一个焦点是 (0, 3 ) ,则 m 的值是_________。
x2 y2 6. 过双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的焦点且垂直于 x 轴的弦的长度为_______。 a b
y2 x2 ? ? 1 表示双曲线,则 m 的取值范围是_________,此时双曲 7.已知方程 9 m ?1

线的焦点坐标是________________,焦距是________________; 【变式】若将 9 改成 2 ? m ,则 m 的取值范围是_____。

8.已知双曲线过点 A(-2,4) 、B(4,4) ,它的一个焦点是 F1 (1,0) ,求它的另 一个焦点 F2 的轨迹方程。

9. 设双曲线与椭圆

x2
27



y2
36

=1 有共同的焦点且与椭圆相交,在第一象限的交点 A

的纵坐标为 4,求此双曲线的方程.

10.已知 A, B 两地相距 800m,在 A 地听到炮弹爆炸声比在 B 地晚 2s,且声速 为 340m/ s ,求炮弹爆炸点的轨迹方程.

11.已知方程

x2
2-k



y2 k-1

=1 表示的图形是:(1)双曲线;(2)椭圆;(3)圆.试分

别求出 k 的取值范围.

2 2 12.已知圆 C1 : ( x ? 3) ? y ?

9 2 2 和圆 C2 : ( x ? 3) ? y ? 9 ,动圆 M 同时与圆 C1 及圆 4

C2 相外切,求动圆圆心的轨迹方程.

13.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的左.右焦点分别为 F1 . F2 ,若双曲线上一点 P 使得 9 16

?F1PF2 ? 90? ,求 ?F1PF2 的面积.
? ? 若把本例中的“ ?F1PF2 ? 90 ”改为“ ?F1PF2 ? 60 ” ,求 ?F1PF2 的面积.

【总结与反思】 答案: 例 1: (1) y ? 0?x ? ?1或x ? 1? (2) 4 x 2 ?
4 2 y ?1 3
2

y y 2 x2 2 x2 y 2 x ? ? 1 ? ?1 ?1; 例 2: (1) ? (2) (3) 3 20 16 16 9 例 3 : 7 或 23 变式 1 : 17 变式 2 : 33 基础测试 1-3 BAC 4.m<-2 5. 以 BC 边所在直线为 x 轴,BC 中点为原点建系
x2 y 2 ? ? 1? x ? 0 ? 2 6

拓展提升 1-4 DABA 5.-2
2b 2 6. a

7. m ? ?1 ? 10 ? m,0 2 10 ? m 变式: m ? ?1 或 m ? ?2 . 8.

?

?

?x ? 1?2 ? ? y ? 4?2 ? 1? y ? 0?
25 16

y 2 x2 9. ? ? 1 4 5 x2 y2 ? ? 1?x ? 0? 10. 以 AB 所在直线为 x 轴,AB 中点为原点建系 102400 57600

11.(1) k ? 2或k ? 1 (2) 1 ? k ? 2 (3) k ? 12.
16x 2 y 2 ? ? 1?x ? 0? 9 15

3 2

13.16

16 3


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