当前位置:首页 >> 数学 >>

切线法证明不等式题目汇编Tesla35


§1
1.1 基本应用

切线法

1. 设 a, b, c 为非负实数, 且 a + b + c = 1, 求证: (1 ? a2 )2 + (1 ? b2 )2 + (1 ? c2 )2 ? chhb y 64 27

32 f (x) = (1 ? x2 )2 y = ? 27 (x ? 1) x O 图 1: 2. 设 a, b, c, d > 0, 且 a + b + c + d = 1, 证明: 6(a3 + b3 + c3 + d3 ) ? a2 + b2 + c2 + d2 + xcj y f (x) = 6x3 ? x2 y= 5 1 x? 8 8 x 1 8

O

图 2: 3 3. 设 a, b, c ? ? , 且 a + b + c = 1, 求证: 4 a b c 9 + + ? 1 + a2 1 + b2 1 + c2 10 xcj 4. 已知 x, y, z 是非负实数且满足 x + y + z = 3, 证明: 1 1 1 3 + + ? 2 2 2 1+x 1+y 1+z 2 kuing

2

§1 切线法

y

3 18 x+ 25 50 x f (x) = 1 + x2 y= O x

图 3: 5. 已知 a, b, c, d > 0, 且 a + b + c + d = 1. 求证: 1 1 1 1 256 + + + ? 1 + a3 1 + b3 1 + c3 1 + d3 65 6. 已知 a, b, c ∈ R+ , 且 a + b + c = 1. 求 u = 7. 已知 a + b + c ? 3, 求证: a+1 b+1 c+1 + + ?2 a(a + 2) b(b + 2) c(c + 2) tieba 8. a, b, c ? 0,a + b + c = 1, 求证: √ √ √ √ 4a + 1 + 4b + 1 + 4c + 1 ? 21 9. 已知 x, y, z ∈ R+ , 且 x + y + z = 1, 求证: √ x y z 6 √ +√ +√ ? y+z x+y 2 z+x kuing √ √ √ a b c 10. a, b, c ∈ R+ ,a + b + c = 3, 求 + + 的最小值. kuing b+c c+a a+b 11. Let a, b, c be positive real numbers such that a + b + c = 1.Prove that √ √ √ √ a a b b c c 3 + + ? b+c c+a a+b 2 xcj 12. 设 a, b, c 是正实数, 且 a + b + c = 3, 求证: a2 + 9 b2 + 9 c2 + 9 + + ?5 2a2 + (b + c)2 2b2 + (c + a)2 2c2 + (a + b)2 3a2 ? a 3b2 ? b 3c2 ? c + + 的最小值. tieba 1 + a2 1 + b2 1 + c2

1.2 无条件等式
13. 已知 a, b, c > 0, 证明: ( 2a b+c )2 3 + ( 2b c+a )2 3 + ( 2c a+b )2 3 ?3

ttxsh

§1 切线法

3

14. 已知 x, y, z ∈ R+ , 求证: (x + y ? z )2 (y + z ? x)2 (z + x ? y )2 3 + + ? 2 2 2 2 2 2 (x + y ) + z (y + z ) + x (z + x) + y 5 15. 已知 a, b, c > 0, 求证: a(b + c) b(c + a) c(a + b) 6 + 2 + 2 ? 2 2 2 + (b + c) b + (c + a) c + (a + b) 5

a2 16. 求证:

(2a + b + c)2 (2b + c + a)2 (2c + a + b)2 + + ?8 2a2 + (b + c)2 2b2 + (c + a)2 2c2 + (a + b)2 tieba anzp

1.3 变量不独立
17. 若 a, b, c 为正数, 且 a + b + c = 6, 求证: a4 b4 c4 48 + + ? 2 2 2 1 + a + bc + a 1 + b + ca + b 1 + c + ab + c 11 ttxsh 18. 已知 a, b, c 是满足 a + b + c = 1 的正数, 求证: (3b)n (3c)n 27 (3a)n + + ? (b + 1)(c + 1) (c + 1)(a + 1) (a + 1)(b + 1) 16 xcj 19. 已知 a, b, c, d > 0. 求证: ∑ a3 1 ? (a + b)(a + c)(a + d) 2 a 3 √ ? 2 2 5 2 b ? bc + c + 3a

20. 已知 a, b, c > 0. 求证:



21. 已知 a, b, c > 0. 求证:



√ a 3 √ ? √ 7 2 b2 + bc + c2 + 5 3a

1 22. 已知 x, y, z > ? , 且 x + y + z = 3. 求证: 3 ∑ 1 3 √ ? √ 4 3x + 1 + 3y + 1

23. 已知 a, b, c 是满足 a + b + c = 3 的正数, 求证: 18 hzln 24. 已知 a, b, c ? 0, a + b + c = 3, 求证: √ √ √ a + b + c ? ab + bc + ca ∑
cyc

1 + 2(ab + bc + ca) ? 15 (3 ? c)(4 ? c)

4

§1 切线法

25. 设 a, b, c > 0,a + b + c ? abc, 求证: 1 1 3 1 √ +√ +√ ? 2 1 + ca 1 + ab 1 + bc 26. 设 0 < a, b, c < 1 且 ab + bc + ca = 1, 求证: a b c 3√ + + ? 3 2 2 2 1?a 1?b 1?c 2 √ √ √ 1 1 1 27. 已知 a, b, c > 0, 且 a + b + c = abc. 求 1 + 2 + 1 + 2 + 1 + 2 的最小值. a b b 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + ? + + = 1 设 x = 2 , y = 2 , z = 2 , 则原不等式等价于: a2 b2 c2 ab b c √ √ bc ac √ a x + y + z ? 1, 求 1 + x + 1 + y + 1 + z 的最小值.

1.4 与其他曲线相切
28. 已知 x, y, z 非负且 x2 + y 2 + z 2 = 1, 证明: √ x y z 3 3 + + ? 1 + x2 1 + y 2 1 + z 2 4 x y z + + 的最小值. tieba 2 2 1?x 1?y 1 ? z2 30. 已知 x, y, z > 0, 且 x2 + y 2 + z 2 = 3, 求证: 29. 设 x, y, z 是正数, 且 x2 + y 2 + z 2 = 1, 求 x5 tieba 31. Let a, b, c be positive real numbers such that a2 + b2 + c2 = 3.Prove the inequality a3 wyz 32. 设 x, y, z > 0, x4 + y 4 + z 4 = 1. 求 1 1 1 + 3 + 3 ?1 +2 b +2 c +2 ∑ 1 1 1 + 5 + 5 ?3 2 2 ? x + 3 y ? y + 3 z ? z2 + 3

x3 的最小值. 1 ? x8 5 5 ∑ ∑ 1 xi 33. 已知 xi > 0(i = 1, 2, 3, 4, 5), 且 = 1. 求证: ?1 1 + xi 4 + x2 i i=1 i=1 34. 设 x, y, z > 0, x2 y2 z2 x y z + + = 2. 求 + + 的最大值. 2 2 2 2 2 1+x 1+y 1+z 1+x 1+y 1 + z2

1.5 部分切线法
35. 已知 x, y, z > 0, 且 x + y + z = 1. 证明: y z 3 x + + ? y+1 z+1 x+1 4 yjq 36. 已知 a, b, c > 0 且 a + b + c = 3. 证明: a b c 3 + + ? 2 2 2 1+b 1+c 1+a 2 tieba

§1 切线法

5

1.6 支撑线
37. 已知 a, b, c ? 0, 且 a + b + c = 1, 求证: √ √ √ √ 4a + 1 + 4b + 1 + 4c + 1 ? 5 + 2 38. 已知 x, y, z ? 0, 且 x + y + z = 1. 求证: √ √ √ √ 3 3 8+x+ 3 8+y+ 38+z ?4+ 9 tieba 39. 设正实数 x, y, z 满足 x + y + z = 1, 求证: √ √ √ √ 1 ? 3x2 + 1 ? 3y 2 + 1 ? 3z 2 > 3 ? 3 tieba

1.7 条件等式 abc = 1
40. 已知 x, y, z > 0. 求证: x3 y3 z3 3 + + ? 2 2 2 y (x + y ) z (y + z ) x(z + x) 4 41. Let a, b, c be positive real numbers such that abc = 1.Prove that 1 1 1 + + ?1 3a2 + (a ? 1)2 3b2 + (b ? 1)2 3c2 + (c ? 1)2 42. Let a, b, c be positive real numbers such that abc = 1.Prove that a2 1 1 1 + 2 + 2 ?3 ?a+1 b ?b+1 c ?c+1 a2

a b c 3 + 2 + 2 ? . xxp +3 b +3 c +3 4 44. 证明: 对于所有的正整数 n 和满足 a1 a2 · · · an = 1 的正实数 a1 , a2 , · · · , an 都有 43. 已知 a, b, c > 0,abc = 1, 求证:
n ∑ i=1

1∑ 1 a √ i ? 2 i=1 ai a4 i +3
n n ∑ i=1

tieba 45. 对 xi > 0(i = 1, 2, · · · , n) 且

n ∏ i=1

xi = 1. 求

1 √ 的最大值. tieba 1 + 2xi

1.8 其他
46. Given that the real numbers x,y and z satisfies the condition x + y + z = 3,find the maximum value of f (x, y, z ) = kuing 3 ? 2x4 ? 2x; 8 (2) 已知 x, y, z ? 0 且 x + y + z = 1, 求 f (x, y, z ) = 2x4 + y 2 + z 的最大值和最小值.(2012 吉林预赛) 10 48. 已知 x, y, z ? 0, 且 x + y + z = 1, 求 f (x, y, z ) = x3 + 2y 2 + z 的取值范围. tieba 3 47. (1) 已知 0 ? x ? 1, 求证 x ? √ √ √ 2x + 13 + 3 3y + 5 + 4 8z + 12

6

§1 切线法 3+x , x ∈ [0, 3], 已知数列 {an } 满足 0 < an ? 3 且 a1 + a2 + · · · + 1 + x2 = 670, 则 f (a1 ) + f (a2 ) + · · · + f (a2010 ) 的最大值为

49. (2010 南昌一模) 已知 f (x) = a2010

3 3 50. 设 ak ∈ [?2, 2](k = 1, 2, · · · , 2013), 且 a1 + a2 + · · · + a2013 = 0. 试求 M = a3 1 + a2 + · · · + a2013

的最大值.(第九届北方) anzhenping kuing
2 2 51. 实数 ai ∈ [?2, 17], i = 1, 2, · · · , 59, 且 a1 + a2 + · · · + a59 = 0, 求证: a2 1 + a2 + · · · + a59 ? 2006.(2006

波罗的海) anzhenping
3 3 52. 设实数 x1 , x2 , · · · , xn ∈ [?1, 1], 且满足 x3 1 + x2 + · · · + xn = 0, 求表达式 x1 + x2 + · · · + xn 的最

大值.(Tran Nam Dung) 53. 已知正数 x, y, z 满足 x + y + z = 3, 证明: 1 ? xy 1 ? yz 1 ? zx + + ?0 2 2 y+z+x z+x+y x + y + z2 tieba 54. 已知 a, b, c > 0, 且 a4 + b4 + c4 = 3. 求证: 55. 已知 a, b, c > 1, 证明: 1 1 1 + + ?1 4 ? ab 4 ? bc 4 ? ca

a5 b5 c5 5√ 3 50 + + ? b3 ? 1 c3 ? 1 a3 ? 1 2

yjq 56. sqing


相关文章:
切线法证明不等式题目汇编Tesla35.pdf
切线法证明不等式题目汇编Tesla35_数学_高中教育_教育专区。云师堂 §1
以曲代曲证明不等式切线法证明不等式的发展.pdf
曲证 明不等式 一 切线 法证 明不等式 的发 展...数 学教 学 235 厂( )=z1互(1一x 4) 的...[1] 杨先义. 探索一道西部数学奥林匹克问 题的...
数学归纳法证明不等式_图文.ppt
数学归纳法证明不等式 - 全国名校,高中数学选修系列,优质学案汇编,(附详解)... 全国名校高中数学选修系列优质学案汇编(附详解) 第四讲 数学归纳法证明不等式 在数学...
更多相关标签: