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【高优指导】2016高考数学二轮复习 专题十 数学思想方法 第一讲 函数与方程思想、数形结合思想课件 理


专题十 数学思想方法

第一讲 函数与方程思想、数形结合思想

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1.和函数与方程思想密切关联的知识点 (1)函数与不等式的相互转化.对函数 y=f(x),当 y>0 时,就化为不等式 f(x)>0,借助于函数的图象和性质可解决有关问题,另外研究函数的性质也 离不开不等式. (2)数列的通项与前 n 项和是自变量为正整数的函数,用函数的观点去 处理数列问题十分重要. (3)在三角函数求值中,把所求的量看作未知量,其余的量通过三角函数 关系化为未知量的表达式,那么问题就能化为未知量的方程来解. (4)解析几何中的许多问题,例如直线与二次曲线的位置关系问题,需要 通过解二元方程组才能解决.这都涉及二次方程与二次函数的有关理论. (5)立体几何中有关线段的长、面积、体积的计算,经常需要运用列方 程或建立函数表达式的方法加以解决.

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2.运用数形结合思想的三种题型 (1)由形化数——就是借助所给的图形,仔细观察研究,揭示出图形中蕴 涵的数量关系,反映几何图形内在的属性. (2)由数化形——就是根据题设条件正确绘制相应的图形,使图形能充 分反映出它们相应的数量关系,揭示出数与式的本质特征. (3)数形转换——就是根据“数”与“形”既对立又统一的特征,观察图形 的形状,分析数与式的结构,引起联想,适时将它们相互转换,化抽象为直观并 揭示隐含的数量关系.

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3.运用数形结合思想解题时,要遵循三个原则 (1)等价性原则.要注意因图象无法精确刻画数量关系所带来的负面效 应. (2)双方性原则.既要进行几何直观分析,又要进行相应的代数抽象探求, 仅对代数问题进行几何分析容易出错. (3)简单性原则.不能为了“数形结合”而数形结合.具体运用时,一要考 虑是否可行和是否有利;二是选择好突破口,恰当设参、用参、建立关系,做 好转化;三是要挖掘隐含条件,准确界定参变量的取值范围,特别是运用函数 图象时应设法选择直线与二次曲线.

考点1

考点2

函数与方程思想的简单应用
例 1 东海水晶制品厂去年的年产量为 10 万件,每件水晶产品 的销售价格为 100 元,固定成本为 80 元.从今年起,工厂投入 100 万元科技 成本,并计划以后每年比上一年多投入 100 万元科技成本.预计产量每年递 增 1 万件,每件水晶产品的固定成本 g(n)与科技成本的投入次数 n 的关系 80 是 g(n)= .若水晶产品的销售价格不变,第 n 次投入后的年利润为 f(n)万 +1 元. (1)求出 f(n)的表达式; (2)求从今年算起第几年利润最高?最高利润为多少万元? 解:(1)第 n 次投入后,产量为 10+n 万件,价格为每件 100 元,固定成本为
每件
80 元,科技成本投入为 +1

100n 万元.
80 +1

故年利润为 f(n)=(10+n) 100-

-100n(n∈N*).

考点1

考点2

(2)由(1)知 f(n)=(10+n) 100=1 000-80 + 1 + 当且仅当 + 1 =
9 +1 9 , +1

80 +1

-100n

≤520(万元),

即 n=8 时,利润最高,最高利润为 520 万元. 故从今年算起第 8 年利润最高,最高利润为 520 万元.

考点1

考点2

(2014 吉林长春第一次调研,12)已知
4 2 013 2 +…+ ,g(x)=1-x+ 4 2 013 2 3 ? 3 4 2 013 + -…,设函数 4 2 013

2 f(x)=1+x2

3 + 3

?

F(x)=f(x+3)g(x-4),且 F(x)

的零点均在区间[a,b](a<b,a,b∈Z)内,则 b-a 的最小值为( ) A.8 B.9 C.10 D.11 1 1 1 1 1 1 解析:f(0)=1>0,f(-1)=1-1- ? ? ? -…? <0,f'(x)=1-x+x22 3 4 5 2 012 2 013 3 2 012 x +…+x . 易知当 x≤0 时,f'(x)>0;当 又 f(-1)· f(0)<0, 故 f(x)只有一个零点,记为 x1,则 x1∈(-1,0). 同理可证明 g(x)也只有一个零点,记为 x2,且 x2∈(1,2).
1-(-) x>0 时,f'(x)= 1+
2 013

=

1+2 013 >0, 1+

则 f'(x)>0 在 R 上恒成立,故 f(x)在 R 上是增函数.

考点1

考点2

故 F(x)=f(x+3)g(x-4)有 2 个不同零点 x3,x4,x3 即将 x1 向左平移 3 个单 位,x4 即将 x2 向右平移 4 个单位, ∴x3∈(-4,-3),x4∈(5,6). 又函数 F(x)的零点均在区间[a,b]内,且 a<b,a,b∈Z, 故当 a=-4,b=6 时,b-a 的最小值为 6-(-4)=10. 答案:C

考点1

考点2

例 2(本小题满分 12 分)若 a,b 是正数,且满足 ab=a+b+3,求 ab
的取值范围. 思路分析:根据 ab=a+b+3,得 b=
+3 ,代入 -1

ab 就化为关于 a 的函数.于

是可用函数思想求解;由 ab=a+b+3?ab-3=a+b≥2 构造出关于 的 不等式,可先求出 的取值范围,再得到 ab 的取值范围.把 a,b 看作一元二 次方程的两根,可构造二次方程求解. 解:方法一:(用函数思想) ∵ab=a+b+3,∴a≠1.∴b= ∵b>0,∴
+3 >0. -1 +3 .3 分 -1

∴a>1 或 a<-3. 又∵a>0,∴a>1.故 a-1>0.7 分

考点1

考点2

+3 (-1) +5(a-1)+4 ∴ab=a· = -1 -1 4 =(a-1)+ +5≥9, -1 4 当且仅当 a-1= ,即 a=3 时取等号. -1

2

∴ab 的取值范围是[9,+∞).12 分 方法二:(构造不等式) ∵a,b 为正数,∴a+b≥2 .3 分 又 ab=a+b+3, ∴ab≥2 +3, 即( )2-2 -3≥0, 解得 ≥3 或 ≤-1(舍去).8 分 ∴ab≥9,当且仅当 a=b=3 时,等号成立. ∴ab 的取值范围是[9,+∞).12 分

考点1

考点2

方法三:(用方程思想) 若设 ab=t,则 a+b=t-3, 因此 a,b 可看成方程 x2-(t-3)x+t=0 的两个正根.3 分 = (-3)2 -4t ≥ 0, 从而有 + = -3 > 0, 6 分 = > 0, ≤ 1 或 ≥ 9, 即 解得 t≥9,即 ab≥9. > 3, > 0, 故 ab 的取值范围是[9,+∞).12 分

考点1

考点2

方法四:ab=a+b+3?ab-a-b+1=4 ?(a-1)(b-1)=4.3 分
2 2 -1+-1 + ∵(a-1)(b-1)≤ = -1 2 2 + 2 6 2 ∴ab≤ ≤ =9, 2 2 2 + -1 ≥4?a+b≥6,8 分 2

?

两次取到等号都是在 a=b 时取得. ∴ab 的取值范围是[9,+∞).12 分

考点1

考点2

若 a,b 都为正实数,且 + =1,则 A.
9 16

1 5 3 C. D. 2 16 4 2+ 1 1 1 1 1 1 2 解析:依题意得 = + = + 1- =2 2 2 9 1 3 1 3 1 1 的最大值是 当 ? =0,即 = , = 时取得最大值 16 4 4 4

1

1

2+ 的最大值为( 2 3 1 3 2 + =- 2 4

)
9 16

B.

+

,因此选 A.

答案:A

考点1

考点2

数形结合思想
例 3(2014 贵州六校联盟第一次联考,12)给出定义:若 x∈
- ,m +
1 2 1 2

(其中 m 为整数),则 m 叫做与实数 x“亲密的整数”,记作{x}=m,
2

在此基础上给出下列关于函数 f(x)=|x-{x}|的四个命题:①函数 y=f(x)在 x∈ (0,1)上是增函数;②函数 y=f(x)的图象关于直线 x= (k∈Z)对称;③函数 y=f(x)是周期函数,最小正周期为 1;④当 x∈(0,2]时,函数 g(x)=f(x)-ln x 有两 个零点.其中正确命题的序号是( ) A.②③④ B.①③ C.①② D.②④

考点1

考点2

解析:由函数定义可知当 x∈ - , 时,f(x)=|x-{x}|=|x-0|;当 x∈ 时,f(x)=|x-{x}|=|x-1|;当 x∈
3 5 , 2 2

1 1 2 2

1 3 , 2 2

时,f(x)=|x-2|;….可以作出函数的图象(如

图),根据函数的图象可以判断①错误,②③是正确的,④由函数的图象再作 出函数 y=ln x,x∈(0,2]的图象,可判断两者有两个交点,故④也正确.

答案:A

考点1

考点2

考点1

考点2

(2014 云南昆明三中、玉溪一中联考,10)记实数 x1,x2,…,xn 中的最大数为 max{x1,x2,…,xn},最小数为 min{x1,x2,…,xn},则 max{min{x+1,x2-x+1,-x+6}}的值为( ) A.
3 4

B.1

C.3

D.

7 2

解析:在同一坐标系下作出函数 y=x+1,y=x2-x+1,y=-x+6 的图象,如图 所示,由图象知 max{min{x+1,x2-x+1,-x+6}}= .
7 2

答案:D

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1.当直线 y=kx 与曲线 y=|x|-|x-2|有 3 个公共点时,实数 k 的取值范围是 ( ) A.(0,1) B.(0,1] C.(1,+∞) D.[1,+∞) 解析:依题意得,当 x<0 时,y=-x+(x-2)=-2;当 0≤x≤2 时,y=x+(x-2)=2x-2;当 x>2 时,y=x-(x-2)=2. 在平面直角坐标系中画出该函数的图象,将 x 轴绕着原点逆时针方向 旋转,当满足相应的直线与该函数的图象都有三个不同的交点时,可知此时 k 的取值范围是(0,1).故选 A.

答案:A

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2.用 min{a,b,c}表示 a,b,c 三个数中的最小值.设 f(x)=min{2x,x+2,10x}(x≥0),则 f(x)的最大值为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 解析:由题意知函数 f(x)是三个函数 y1=2x,y2=x+2,y3=10-x 中的较小者,在同 一个平面直角坐标系中作出三个函数的图象(如图,实线部分为 f(x)的图象) 可知 A(4,6)为函数 f(x)图象的最高点.所以 f(x)在点 A(4,6)处取得最大值 6.

答案:C

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3.(2014 河北邯郸质检,12)已知函数 f(x)= y=f[f(x)]+1 的零点个数的 4 个判断: ①当 k>0 时,有 3 个零点; ②当 k<0 时,有 2 个零点; ③当 k>0 时,有 4 个零点; ④当 k<0 时,有 1 个零点. 则正确的判断是( ) A.①④ B.②③ C.①② D.③④ 解析:令 f[f(x)]+1=0,得 f[f(x)]=-1.

+ 1, ≤ 0, 下列是关于函数 log 2 x,x > 0,

当 k>0 时,在平面直角坐标系下画出函数 f(x)的大致图象及直线 y=-1, 注意到直线 y=-1 与函数 f(x)的图象有 2 个交点,设其横坐标分别是 t1,t2,则 t1<0,0<t2<1;再画出直线 y=t1 与 y=t2,

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结合图象可知,直线 y=t1 与函数 f(x)的图象有 2 个不同的交点,直线 y=t2 与函数 f(x)的图象有 2 个不同的交点,因此此时函数 y=f[f(x)]+1 有 4 个 零点.同理,当 k<0 时,函数 y=f[f(x)]+1 有 1 个零点,结合各选项知,选 D. 答案:D

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4.里氏震级 M 的计算公式为 M=lg A-lg A0,其中 A 是测震仪记录的地震曲 线的最大振幅,A0 是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录 的最大振幅是 1 000,此时标准地震的振幅为 0.001,则此次地震的震级为 级;9 级地震的最大振幅是 5 级地震最大振幅的 倍. 解析:lg 1 000-lg 0.001=3-(-3)=6.设 9 级地震时最大振幅为 A1,5 级地震时最 大振幅为 A2,则 9=lg A1-(-3),5=lg A2-(-3),所以 A1=106,A2=102, 1=10 000. 答案:6 10 000
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5.若函数 f(x)=|x|+ - 2 ? 2(a>0)没有零点,则实数 a 的取值范围 为 . 解析:在平面直角坐标系中画出函数 y= - 2 (a>0)的图象(其图象是以原点 为圆心、 为半径的圆,且不在 x 轴下方的部分)与 y= 2-|x|的图象.观察图 形可知,要使这两个函数的图象没有公共点,则原点到直线 y= 2-x 的距离 大于 或 > 2.又原点到直线 y= 2-x 的距离等于 1,所以有 0< <1 或 > 2,由此解得 0<a<1 或 a>2.所以,实数 a 的取值范围是(0,1)∪(2,+∞).

答案:(0,1)∪(2,+∞)


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