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“杨辉三角”中的一些秘密_图文

“杨辉三角”中的一些秘 密

杨辉

二项式(a+b)n展开 式的二项式系数,当 n依次取1,2, 3...时,列出的 一张表,叫做二项式 系数表,因它形如三 角形,南宋的杨辉对 其有过深入研究,所 以我们又称它为杨辉 三角.

1.杨辉三角 《 详 解 九 章 算 法 》 中 记 载 的 表

2.杨辉三角与二项系数
第0行 第1行 第2行 第3行 第4行 第5行 第6行

见书P35 1

1
1

…… …… 2 r n? r ?1 1 … C n?1 C n?1 … C n?12 1 第n-1行 1 C n ?1 C n ?1 r n 2 1 … … Cn C n ?1 第n行 1 C n C n …… … …

1 1 3 3 1 1 4 4 1 6 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1

1

2

1

3.杨辉三角基本性质
(1)表中每个数都是组合数,第 n 行的第 r+1 个数是
n! C ? . r!(n ? r )!
r n

(2)三角形的两条斜边上都是数字 1,而其余的数都等
r r ?1 r Cn ? Cn?1 ? Cn?1 . 于它肩上的两个数字相加,也就是

r n Cn ? Cn ? r . (3)杨辉三角具有对称性(对称美) ,即

(4)杨辉三角的第 n 行是二项式(a+b)n 展开式的二项 式系数,即

C C C ?C ?C

0 n

1 n

2 n

r n

n n

…… …… 2 r n? r ?1 1 … C n?1 C n?1 … C n?12 1 第n-1行 1 C n ?1 C n ?1 r n 2 1 … … Cn C n ?1 第n行 1 C n C n …… … …

第0行 第1行 第2行 第3行 第4行 第5行 第6行

1 1 1 2 1

再探杨 辉三角

1 1 3 3 1 1 4 4 1 6 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1

1

根据你发现的规律,猜想下列数列的前若干项的和:

1 ? 2 ? 3 ? ??? ? C 1 ? 3 ? 6 ? ??? ? C
一般地,

1 ? 4 ? 10 ? ??? ? C C ?C
r r r r ?1

1 n ?1 2 n ?1 3 n ?1

C ? _____ 3 Cn ? _____
4 ? _____ Cn

2 n

见书P36

?C

r r ?2 1 1

? ??? ? C
1 2 2 3 3 4

r n ?1

C ? _______(n ? r )
1 n ?1

r ?1 n

当r ? 1时,C ? C ? C ? ??? ? C
1 3 2 2 3 3 2 4 3 5

?C

2 n 3 n 4 n

当r ? 2时,C ? C ? C ? ??? ? C

当r ? 3时,C ? C ? C ? ??? ? C

2 n ?1 3 n ?1

?C

?C

4.横看杨辉三角中各行数字
第1行 第2行 第3行 第4行 第5行 1+1=2 1+2+1=4=22 1+3+3+1=8=23 1+4+6+4+1=16=24 1+5+10+10+5+1=32=25 ...
1 n 2 n r n n?1 n

第n行 C ? C ? C ? ? ? C ? ? ? C
0 n

?C ? 2
n n

n

(1)第n行数字的和为2 . 性质1 (2) 前n行(含第0行)所有数的和为2

n

n+1

–1

4.横看杨辉三角中各行数字
一看:1,3,7,15…各行数字有何特点? 二看:4,8,16,…各行数字有何特点?
三看:2,3,5,7,11… 各行数字有何特点?

性质2

? 1、第1,3,7,15,…这些行即2k-1(k是 正整数)行的各个数字均为奇数,2k行除 两端的1之外都是偶数。 ? 2、当行数P是质数(素数),除去两端的 数字1以外,行数P整除其余所有的数。

5.斜看杨辉三角中各行数字的和

从杨辉三角中一个确定的数的“左(右)肩”出 发,向右(左)上方作一条和左斜边平行的射线, 在这条射线上的各数的和等于这个数.

5.斜看杨辉三角中各行数字的和
根据这一性质,猜想下列数列的前 n 项和: 1 1+1+1+ ..+1= Cn . (第 1 条斜线)
1 Cn?1 =C 2 1+2+3+ ..+ . n 2 Cn?1 = C 3 1+3+6+ ..+ . n

(第 2 条斜线) (第 3 条斜线) (第 4 条斜线)
r n?1

3 Cn?1 = C 4 1+4+10+ ..+ . n

.. .

C ?C
r r

r r ?1

?C

r r ?2

? ?? C

Cnr ?1 r+1 条斜线) ? (第

一般地,在第m条斜线上(从右上到左下) 性质3 前n个数字的和,等于第 m+1 条斜线上 的第 n 个数.

5.斜看杨辉三角中各数的和
第0行 第1行 第2行 第3行 第4行

1
1 1

1 1 1 4 3

2 3 6

1 1 4 1

第5行 1 5 10 10 5 1 第6行 1 6 15 20 15 6 1 第7行 1 7 21 35 35 21 7 1 第8行 1 8 28 56 70 56 28 8 1

……

性质4
1,1,2,3,5,8,13,21,34,…此数列{an} 满足, a1=1,a2=1, 且an=an-1+an-2 (n≥3)这就是著名 的斐波那契数列.

世事洞明皆数学,留心处处是文章。

中世纪意大利数学家斐波那契的传世之作《算术之法》中 提出了一个饶有趣味的问题:假定一对刚出生的兔子一个月就 能长成大兔子,再过一个月就开始生下一对小兔子,并且以后 每个月都生一对小兔子.设所生一对兔子均为一雄一雌,且均 无死亡.问一对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子?

兔子繁殖问题也可以从杨辉三角得到答案:

1,1,2,3,5,8,13,21,34,...

“纵横路线图”是数学中的一类有趣的问题: 如图是某城市的部分街道图,纵横各有五条路, 如果从A处走到B处 (只能由北到南,由西向东), 那么有多少种不同的走法? 70
A

6.杨辉三角与“纵横路线 图”

C84=70

B

由此看来,杨辉三角与纵横路线图问题有天然的联系

7.杨辉三角与弹子游戏
在游艺场,可以看到如图的弹子游戏,小球 (黑 色 ) 向容器内跌落,碰到第一层阻挡物后等可能地 向两侧跌落,碰到第二层阻挡物再等可能地向两侧第 三层跌落,如是,一直下跌,最终小球落入底层,根 据具体区域获得奖品。试问:为什么两边区奖品高于 中间区奖品?

答:两边的概率要比中间小。类 似于一个三角形,中间掉的概率 高。商家当然是要把钱多的给少 的了!放在中间岂不是对不起自 己么!(见书P70-高尔顿板)

8.成果展示
? 1、杨辉三角的第n行数字的和为2n。前n行(含第 0行)所有和为2n-1,它恰好比第n行的和2n小1; ? 2、杨辉三角的第1,3,7,15,…行,即第2K-1 (k是正整数)行的各个数字均为奇数。 ? 3、当行数P是质数(素数),除去两端的数字1以 外,行数P整除其余所有的数。 ? 4、一般地,在第m条斜线上(从右上到左下)前n 个数字的和,等于第 m+1 条斜线上的第 n 个数. ? 5、数列{an}满足, a1=1,a2=1, 且an=an-1+an-2 (n≥3)这就是著名的斐波那契数列.

9.方法总结 ? 1、运用了联系、类比的观点看问题; ? 2、运用了从特殊到一般的归纳猜想与证明 的思想方法; ? 3、学会从多角度看问题:“横看成岭侧成峰, 远近高低各不同”; ? 4、锤炼发现问题、提出问题、解决问题的 能力。
课外研究性作业:除了以上性质(蕴含的)数字 之外,还有哪些好的性质?

10.链接高考 1、(04. 上海春季高考)如图,在由 二项式系数所构成的杨辉三角形中, 第_____行中从左至右第14与第15个数 34 的比为2:3
第0行 1 第1行 1 1 第2行 1 2 1 第3行 1 3 3 1 第4行 1 4 6 4 1 第5行 1 5 10 10 5 1
…… …… ……

2、如图,它满足:(1)第 n 行首尾两数 均为 n,(2)表中的递推关系类似杨辉 2 三角, 则第 n 行 (n≥2) 2 个数 第
第1行 第2行 第3行 第4行 第5行
……
n ?n?2 . 2

1

an?1 ? an ? n(n ? 2)
2

2
3 4 7 4

? an?1 ? an ? n
3 4 11 5 16 6

7

5 11 14
…… ……

第6行 6 16 25 25

(n ? 1)(n ? 2) an ?1 ? a2 ? 2 ? 3 ? ??? ? n ? 1 ? 2

r Cn 3、 (2006 年湖北卷)将杨辉三角中的每一个数

1 都换成分数 ?n ? 1?C r ,就得到一个如右图所示的 n 分数三角形,称为莱布尼茨三角形. 从莱布尼 茨三角形可以看出 1 1 1 ? ? r x r+1 ?n ? 1?Cn ?n ? 1?Cn nCnr?1 ,其中 x=____.

1 1 1 1 1 1 an ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 令 3 12 30 60 nCn?1 ?n ? 1?Cn
则 an ? 1 1 1 1 1 1 an ? ? ? ? ? ??? ? ? 2 2 3 12 30 60 nCn ?1 ? n ? 1? Cn



?

1 1 1 1 1 1 ? 1 ? 2 ? 2 ? ??? ? ? 0 n? n 3C2 4C3 5C4 6C5 nCn ?13 ? n ? 1? Cn ? 2

1 1 ? - n 2 ? n ? 1? Cn ?1


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