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章末归纳总结2 空间向量与立体几何-优质公开课-北师大选修2-1精品


《章末归纳总结2 空间向量与立体 几何》课件 2 知 识 结 构 3 专 题 探 究 4 即 时 训 练 知识结构 专题探究 ? 1.空间向量的线性运算与数量积运算及其性 质是本章的基础,应熟练掌握 ? 向量共线与向量共面的概念,共线向量定理 与共面向量定理,是解决向量问题和用向量 解决立体几何问题的基本依据,讨论三点共 线、直线平行、四点共面、向量共面、线面 平行等等都需要运用这两个基本原理. ? [例1] 如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中, M为DD1的中点,N在AC上,且AN∶NC= 2∶1,求证:与、共面. [解析] → → → → → → → 1→ A1B=AB-AA1,A1M=A1D1+D1M=AD-2AA1, → 2→ 2 → → AN=3AC=3(AB+AD). → → → 2 → → → ∴A1N=AN-AA1=3(AB+AD)-AA1 2 → → 2 → 1→ =3(AB-AA1)+3(AD-2AA1) 2→ 2 → =3A1B+3A1M. → → → ∴A1N与A1B,A1M共面. ? 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N 分别是C1C,B1C1的中点. ? 求证:(1)MN∥平面A1BD; ? (2)平面A1BD∥平面B1D1C. [证明] (1)方法一:如图所示,以 D 为 坐标原点,DA,DC,DD1 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系,设 1 正方体的棱长为 1,则可求得 M(0,1,2), 1 1 1 → N(2,1,1),D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),于是MN=(2,0,2), → → DA1=(1,0,1),DB=(1,1,0). → 设平面 A1BD 的一个法向量是 n=(x,y,z),则 n· DA1=0 ? ?x+z=0, → 且 n· DB=0,得? 取 x=1,得 y=-1,z=-1.所以 ? ?x+y=0, 1 1 → n=(1,-1,-1).又MN· n=(2,0,2)· (1,-1,-1)=0,所 → 以MN⊥n.又 MN ?平面 A1BD,所以 MN∥平面 A1BD. 1→ 1 → → → → 1 → 方法二:因为 MN= C1N - C1M = 2 C1B1 - 2 C1C= 2 ( D1A1 - 1→ → → → D1D)=2DA1,所以MN∥DA1,又因为 MN ?平面 A1BD,所以 MN∥平面 A1BD. → → → 1 → 1→ 1 → → 方法三: 因为MN=C1N-C1M=2D1A1-2D1D=2(DB+BA) 1 → 1 → 1→ 1 → 1 → 1→ 1 → 1 → -2(D1A1+A1D)=2DB+2BA-2D1A1-2A1D=2DB+2DA1+2 1→ 1 → 1→ 1 → → → → → → (BA-DA)=2DB+2DA1+2BD=2DA1+0· DB.即MN可用DA1与 → → → → → DB表示,故MN与DA1,DB是共面向量,所以MN∥平面 A1BD, 即 MN∥平面 A1BD. (2)由(1)求得平面 A1BD 的一个法向量为 n=(1, -1, -1), 同理可求得平面 B1D1C 的一个法向量 m=(1,-1,-1),所以 m∥n,所以平面 A1BD∥平面 B1D1C. [点评] (1)方法一是建立坐标系, 通过坐标运算证明结论, 方法二和方法三没有建立坐标系,直接通过向量的分解等运算 进行证明,当然在方法二和

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