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2018-2019学年数学人教A版选修4-5优化练习:第二讲+三 反证法与放缩法+Word版含解析

2018-2019 学年[课时作业] [A 组 基础巩固] )

1.如果两个正整数之积为偶数,则这两个数( A.两个都是偶数 B.一个是奇数,一个是偶数 C.至少一个是偶数 D.恰有一个是偶数

解析:假设这两个数都是奇数,则这两个数的积也是奇数,这与已知矛盾,所以 这两个数至少一个为偶数. 答案:C 2.设 x>0,y>0,A= A.A≥B C.A>B 解析:A= 答案:D 1 1 1 3.设 x,y,z 都是正实数,a=x+ y,b=y+ z ,c=z+x,则 a、b、c 三个数( A.至少有一个不大于 2 B.都小于 2 C.至少有一个不小于 2 D.都大于 2 解析:假设 a,b,c 都小于 2,则 a+b+c<6,这与 1 1 1 a+b+c=x+ y+y+ z +z+ x≥6 矛盾.故选 C. 答案:C 1 4.设 M=210+ A.M=1 C.M >1 1 1 1 + +?+ 11 ,则( 210+1 210+2 2 -1 B.M<1 D.M 与 1 大小关系不定 ) ) x+y x y ,B= + ,则 A 与 B 的大小关系为( 1+x+y 1+x 1+y B.A≤B D.A<B x y x y + < + =B. 1+x+y 1+x+y 1+x 1+y )

1 解析:M 是 210 项求和,M=210+ 1 +210=1,故选 B. 答案:B

1 1 1 1 1 1 + 10 +?+ 11 <210+210+210+? 2 +1 2 +2 2 -1
10

?a+b? ? 2ab ? ?1? ?,G=f( ab), H=f?a+b?,则( 5.若 f(x)=?2?x,a,b 都为正数,A=f? ? ? ? 2 ? ? ? A.A≤G≤H C.G≤H≤A B.A≤H≤G D.H≤G≤A

)

a+b ab ab 2ab 解析:∵a,b 为正数,∴ 2 ≥ ab= ≥ = , ab a+b a+b 2 ?1? 又∵f(x)=?2?x 为单调减函数, ? ? ?a+b? ? 2ab ? ?≤f( ab)≤f?a+b?, ∴f? ? 2 ? ? ? ∴A≤G≤H. 答案:A 6.某同学准备用反证法证明如下一个问题:函数 f(x)在[0,1]上有意义,且 f(0) =f(1),如果对于不同的 x1,x2∈[0,1],都有|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|,求证: 1 |f(x1)-f(x2)|<2.那么它的假设应该是________. 1 答案:|f(x1)-f(x2)|≥2 7.已知|a|≠|b|,m= 解析:m= |a|-|b| |a|+|b| ,n= ,则 m,n 之间的大小关系是________. |a-b| |a+b|

|a|-|b| |a|-|b| ≤ =1, |a-b| |a|-|b|

|a|+|b| |a|+|b| n= ≥ =1. |a+b| |a|+|b| 答案:m≤n 8. 设 a>0, b>0, M= a+b a b , N= + , 则 M 与 N 的大小关系是________. a+b+2 a+2 b+2

解析:∵a>0,b>0,

∴N=

a+b a b a b + > + = =M. a+2 b+2 a+b+2 a+b+2 a+b+2

∴M<N. 答案:M<N 9.实数 a,b,c,d 满足 a+b=c+d=1,且 ac+bd>1,求证:a,b,c,d 中至 少有一个是负数. 证明:假设 a,b,c,d 都是非负数. 由 a+b=c+d=1 知:a,b,c,d∈[0,1]. a+c b+d 从而 ac≤ ac≤ 2 ,bd≤ bd≤ 2 . ∴ac+bd≤ a+c+b+d =1.即 ac+bd≤1.与已知 ac+bd>1 矛盾,∴a,b,c,d 2

中至少有一个是负数. 1 1 1 1 10.求证:1+1+ + +?+ <3(n∈N+). 1×2 1×2×3 1×2×3×?×n 证明:由 1 1 1 < = (k 是大于 2 的自然数), 1×2×3×?×k 1×2×2×?×2 2k-1

1 1 1 1 1 1 1 1 得 1+1+ + +?+ <1+1+2+22+23+?+ n-1= 1×2 1×2×3 1×2×3×?×n 2 1 1-2n 1 1+ = 3 - n-1<3. 1 2 1-2 ∴原不等式成立. [B 组 能力提升]

xn?x2 n+3? 1.已知 x1>0,x1≠1 且 xn+1= 2 (n=1,2,?).试证:数列{xn}或者对任意 3xn+1 正整数 n 都满足 xn<xn+1,或者对任意的正整数 n 都满足 xn>xn+1.当此题用反证法 否定结论时,应为( )

A.对任意的正整数 n,有 xn=xn+1 B.存在正整数 n,使 xn=xn+1 C.存在正整数 n,使 xn≥xn-1 且 xn≥xn+1 D.存在正整数 n,使(xn-xn-1)(xn-xn+1)≥0

解析: “xn<xn+1 或 xn>xn+1”的对立面是“xn=xn+1”, “任意一个”的反面是“存 在某一个”. 答案:B 5 ? 1 ? 2.若 α∈?π,4π?,M=|sin α|,N=|cos α|,P=2|sin α+cos α|, ? ? Q= 1 2sin 2α,则它们之间的大小关系为( )

A.M>N>P>Q C.M>P>Q>N 5 解析:∵α∈(π,4π),∴0>sin α>cos α. ∴|sin α|<|cos α|, 1 1 ∴P=2|sin α+cos α|=2(|sin α|+|cos α|) 1 >2(|sin α|+|sin α|)=|sin α|=M. 1 P=2|sin α|+|cos α| 1 <2 (|cos α|+|cos α|)=|cos α|=N. ∴N>P>M. 对于 Q= 1 2sin 2α= sin αcos α<

B.M>P>N>Q D.N>P>Q>M

|sin α|+|cos α| =P. 2

而 Q= sin αcos α> ∴N>P>Q>M. 答案:D

sin2α=|sin α|=M.

3.用反证法证明“已知平面上有 n(n≥3)个点,其中任意两点的距离最大为 d, 距离为 d 的两点间的线段称为这组点的直径,求证直径的数目最多为 n 条”时, 假设的内容为________. 解析:对“至多”的否定应当是“至少”,二者之间应该是完全对应的,所以本 题中的假设应为“直径的数目至少为 n+1 条”. 答案:直径的数目至少为 n+1 条 4. 若二次函数 f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1 在区间[-1,1]内至少有一个值 c,

使 f(c)>0, 则实数 p 的取值范围是________. 解析:假设在 [-1,1]内没有值满足 f(c)>0, ?f?-1?≤0, 则? ?f?1?≤0, 1 p ≤ - ? ? 2或p≥1, 所以? 3 ? ?p≤-3或p≥2,

3? 3 ? 所以 p≤-3 或 p≥2,取补集为 p∈?-3,2?. ? ? 3? ? 故实数 p 的取值范围是?-3,2?. ? ? 3? ? 答案:?-3,2? ? ? 5.已知 0<x<2,0<y<2,0<z<2,求证:x(2-y),y(2-z),z(2-x)不都大于 1. 证明:法一:假设 x(2-y)>1 且 y(2-z)>1 且 z(2-x)>1 均成立, 则三式相乘有:xyz(2-x)(2-y)(2-z)>1. ① 由于 0<x<2, ∴0<x(2-x)=-x2+2x=-(x-1)2+1≤1. 同理:0<y(2-y)≤1,且 0<z(2-z)≤1, ∴三式相乘得:0<xyz(2-x)(2-y)(2-z)≤1 ② ②与①矛盾,故假设不成立. ∴x(2-y),y(2-z),z(2-x)不都大于 1. 法二:假设 x(2-y)>1 且 y(2-z)>1 且 z(2-x)>1. ∴ x?2-y?+ y?2-z?+ z?2-x?>3. ③ 又 x?2-y?+ y?2-z?+ z?2-x?≤ ④与③矛盾,故假设不成立. ∴原题设结论成立. x+?2-y? y+?2-z? z+?2-x? + + =3④ 2 2 2

1? ? 6.已知数列{an}满足 a1=2,an+1=2?1+n?2· a (n∈N+), ? ? n (1)求 a2,a3 并求数列{an}的通项公式; n 7 (2)设 cn=a ,求证:c1+c2+c3+?+cn<10.
n

1 解析:(1)∵a1=2,an+1=2(1+n)2· an(n∈N+), 1 1 ∴a2=2(1+1)2· a1=16,a3=2(1+2)2· a2=72. 又∵ an+1 an 2=2· 2,n∈N+, n ?n+1?

an ∴{n2}为等比数列. an a1 n-1 n ∴n2=12· 2 =2 , ∴an=n2· 2n. n 1 (2)证明:cn=a =n· 2n ,
n

∴c1+c2+c3+?+cn 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 =1· + ( 2+ 3+?+ n< + + + · 4+ 5+?+ n) 2 2· 2 3· 2 n· 2 2 8 24 4 2 2 2 1 1 n-3 1 ] 4[1-? ? 4 2 2 12 2 1 2 2 1 =3+4· < + · = + 1 3 4 1 3 32 1-2 1-2 67 670 96×7 7 =96=960< =10,所以结论成立. 96×10

没有平日 的失败 ,就没 有最终 的成功 。重要 的是分 析失败 原因并 吸取教 训。