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正切函数的图像与性质导学案


§1.4.3 正切函数的图像与性质的导学案
【学习目标】 了解单位圆内的正切线画正切曲线的方法,掌握正切曲线的特征、正切函数的性质. 【重难点】 重点:正切函数的图象及其主要性质. 难点: 利用正切线画出函数图象,对直线 x= k? ?

?
2

, k ? Z 是 y=tanx 的渐近线的理解,对单

调性的理解. 一、复习 1.诱导公式 2 sin(x+π )=_______ cos(x+π )=_________ tan(x+π )=_________ 2.正切线的画法 终边在第一、四象限 终边在第二、三象限

二、新课 知识 1 正切函数的图像 问题 1: 你能否根据研究正弦函数、余弦函数的图像的经验,以同样的方法研究正切函数的 图像? 类比正弦函数我们利用单位圆中的_______做出正切函数 y ? tan x 图象:

思路点拨
第一步:作直角坐标系,并在直角坐标系 y 轴左侧作单位圆; 第二步:找横坐标(把 x 轴上

?

?
2



? 2

到这一段分成 8 等份);

第三步:把单位圆右半圆中作出_____; 第四步:找交叉点; 第五步:连线. 这样我们得到正切函数 y ? tan x, x ? ________ 的图像.
1

问题 2:正切函数的周期性是怎么样的?那个诱导公式能直接反应正切函数的周期?

, k ? Z 知道正切函数的周期为π 由诱导公式____________________, x ? R, x ? __________
把上述图象向左、右扩展,得到正切函数 y ? tan x 称“正切曲线”

x ? R ,且 x ?

?
2

? k? ?k ? z ? 的图象,

知识点 2 正切函数的性质 观察正切函数的图像,回答下列问题: 问题 3:正切函数的奇偶性_______ 证明:

问题 4:正切函数单调区间________ 思考:1)正切函数是整个定义域上的增函数吗?为什么? 2)正切函数会不会在某一区间内是减函数?为什么? 问题 5:正切函数的值域_________ 问题 6:正切函数的渐近线_________ 正切函数的对称中心________ 知识点 3 正切函数图像的简图画法 问题 7:类似正弦函数、余弦函数的“五点作图法” ,我们可以来探究一下正切函数的简图如 何画出,需要由哪几个条件确定? 一个周期内: “三点”_________、_________、_________ “两线”________、__________ 右边空白处画出一个周期内的简图

【例题讲解】
例 1.求函数 y= tan(

?
2

x?

?
3

) 的定义域 ,周期和单调区间.

2

变式训练 1 求函数

y ? tan3x

的定义域 ,周期和单调区间.

例 2 不通过求值,比较下列各组中两个正切函数值的大小:

(1).tan1380 与tan1430

(2) tan( ?

11 17 ? )与 tan( ? ? ) 4 5

变式训练 2 不通过求值,比较下列各组中两个正切函数值的大小:

7 ? (1) tan ?与 tan 8 6

(2) tan46 与 tan130

0

0

三、小结 1. 正切函数的图像 2. 正切函数的性质 定义域________ 周 期________ 渐近线方程__________ 四、课堂作业 1.函数 y ? tan(

值 域________ 奇偶性________ 单调区间__________ 对称中心____________

?
4

? x) 的定义域,周期及单调区间.

2.不用求值比较 tan1,tan2,tan3 的大小. 3.画出 y ? tan x 的图像,求出其周期.

3

◆课后练习与提高 一、选择题 1、 y ? tan x( x ? k? ?

?
2

, k ? Z ) 在定义域上的单调性为(

).

A.在整个定义域上为增函数 B.在整个定义域上为减函数 C.在每一个开区间 (? D.在每一个开区间 (?

?
?
2 2

? k? ,

?
2

? k? )(k ? Z ) 上为增函数 2 ? 2k? )( k ? Z ) 上为增函数 13 17 ? ) ? tan(? ? ) 4 5

? 2 k? ,
).

?

2、下列各式正确的是( A. tan( ?

13 17 ? ) ? tan(? ? ) 4 5 13 17 C. tan( ? ? ) ? tan( ? ? ) 4 5 tan x ? 0 3、若 ,则( ).
A. 2k? ? C. k? ?

B. tan( ?

D.大小关系不确定

?
2

? x ? 2k? , k ? Z

B. 2k? ? D. k? ?

?
2

? x ? (2k ? 1)? , k ? Z

?
2

? x ? k? , k ? Z

?
2

? x ? k? , k ? Z

二、填空题 4、函数 f ( x ) ?

tan 2 x 的定义域为 tan x

. .

5、函数 y ? sin x ? tan x 的定义域为 三、解答题 6、求 函数 y ? tan(

?
4

? x ) 的定义域,周期及单调区间。

4


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