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求数列前n项和的常用方法


求数列前 N 项和的常用方法
核心提示:求数列的前 n 项和要借助于通项公式,即先有通项公式,再在分析 数列通项公式的基础上,或分解为基本数列求和,或转化为基本数列求和。当 遇到具体问题时,要注意观察数列的特点和规律,找到适合的方法解题。 一.公式法 ①等差数列求和公式_______________②等比数列求和公式_________________ 特别声明:运用等比数列求和公式,务必检查其公比与 1 的关系,必要时需分类 讨论. 1 n (n ?1) ③ 常 用 公 式 : 1? 2 ? 3 ? ? , 12 ? 22 ? ? n2 ? 1 n(n ? 1)(2n ? 1) , n ? 2 6 n ( n ? 1) 13 ? 23 ? 33 ? ? n3 ? [ ]2 . 2 例1:已知an = 3n + 2 ,求数列的前 n 项和 Sn

2 2 2 练一练: 等比数列 {an } 的前 n 项和 S n = 2 n -1,则 a12 ? a2 = ? a3 ? ? ? an _____ ;

二.分组求和法 所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列,也不是等比数列的数列,若将 这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将 其合并。 1 1 1 例 2:求数列的前 n 项和: 1 ? 1, ? 4, 2 ? 7,? ? ?, n ?1 ? 3n ? 2 ,… a a a

练一练:已知 an = (2n - 1) +

1 ,求 S n 2n

三.倒序相加法 如果一个数列{an},与首末等距的两项之和相等或者有共性,可采用把正着 写与倒着写的两个和式相加, 就得到一个常数列的和,这一求和方法称为倒序相 加法。例如:等差数列前 n 项和公式的推导,用的就是“倒序相加法”。 例 3:求 sin 2 1? ? sin 2 2? ? sin 2 3? ? ? ? ? ? sin 2 88? ? sin 2 89? 的值

1

练 一 练 : 已 知 f ( x) ? ______;

1 1 1 x2 , 则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) = 2 2 3 4 1? x

四.裂项相消法
如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式,且相邻项分裂后相关联,那么常选用裂项 相消法求和.常用裂项形式有:

(1)使用裂项相消法求和时,要注意正、负项相消时,消去了哪些项,保留了哪 些项. 1 1 1 1 (2) 常 见 的 拆 项 有 : ① = - ,② = n+1 - n , n?n+1? n n+1 n+ n+1 1 1 1 1 ③ =2( - )等. ?2n-1??2n+1? 2n-1 2n+1 例4:(1)求数列 (n∈ N*)的和

(2) 在数列{an}中, an ?
n 项的和.

1 2 n 2 ? ? ??? ? ,又 bn ? ,求数列{bn}的前 n ?1 n ?1 n ?1 a n ? a n ?1

练一练:(1)求和:

1 1 ? ? 1? 4 4 ? 7

?

1 ? (3n ? 2) ? (3n ? 1)



(2)在数列 {an } 中, a n ?

1 n ? n ?1

,且 Sn=9,则 n=



2

五.错位相减法 错位相减法是一种常用的数列求和方法,应用于等比数列与等差数列相乘的 形式。即若在数列{an· bn}中,{an}成等差数列,{bn}成等比数列,在和式的两边 同乘以公比,再与原式错位相减整理后即可以求出前 n 项和。 2 4 6 2n 例 5:(1)求数列 , 2 , 3 ,? ? ?, n ,? ? ? 前 n 项的和. 2 2 2 2

(2) 求和: S n ? 1 ? 3x ? 5x 2 ? 7 x 3 ? ? ? ? ? (2n ? 1) x n?1

练一练:设 {an } 为等比数列, Tn ? na1 ? (n ? 1)a2 ?

? 2an?1 ? an ,已知 T1 ? 1 , T2 ? 4 ,① 求数列 {an } 的首项和公比;②求数列 {Tn } 的通项公式.;

六.并项求和法和奇偶讨论法 并项求和法是将原数列的项重新组合(例如两两结合,奇偶项分别结合等), 使它们成为一个或几个等差(比)数列后再求和的方法. 例6:求 S = 1 - 2+ 3 - 4 + … + 99-100

练一练:已知an = (-1)n+1 n2,求S100

例7:求 S = 12 - 22 + 32 - 42 + … + (-1)n-1n2(n∈ N*)(奇偶讨论法)

对于正负项间隔的数列或含有(-1)n 的运算结构的数列求和,通常要进行奇 偶性分类讨论求解. 总之, 在求数列的前 n 项和时, 应先考查其通项公式, 根据通项公式的特点, 再来确定选用何种求和方法,数列求和的实质就是一个代数式的化简问题.

3

数列求和课后练习
一、选择题: 1.数列{an}的通项公式为 an=(-1)n 1· (4n-3),则它的前 100 项之和 S100 等于(


)

A.200

B.-200

C.400
+10

D.-400 )

2.设 f(n)=2+2 4+27+210+?+23n 2 A. (8n-1) 7 2 + B. (8n 1-1) 7

(n∈N),则 f(n)等于( 2 + D. (8n 4-1) 7

2 + C. (8n 3-1) 7

3 3.若数列{ an}的前 n 项和为 Sn,且满足 Sn= an-3,则数列{an}的前 n 项和 Sn 等于( 2 A.3n 1-3


)

B.3n-3

C.3n 1+3


D.3n+3 )

4.数列 an=

1 9 ,其前 n 项之和为 ,则 n= ( 10 n(n+1) B.-9 C.10 D.9

A.-10 二、填空题:

5. 已知函数 f(x)对任意 x∈R, 都有 f(x)=1-f(1-x), 则 f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3) =________. 1 2 3 4 n 6. + 2+ 3+ 4+?+ n-2 等于________. 2 2 2 2 2 1 1 1 1 7.数列 2 , 2 , 2 , 2 ?的前 n 项和等于________. 1 +2 2 +4 3 +6 4 +8 二、解答题: 11.已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn,且 S n ?

3 an ? 1 (n ? N* ) . 2

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)在数列 {bn } 中,b1 ? 5 ,bn?1 ? bn ? an ,求数列 {bn } 的通项公式. 12.数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? 2 且 Sn ? Sn?1 ? 2n ( n ? 2 , n ? N* ). ( I )求 Sn ; ( II ) 是否存在等比数列 {bn } 满足 b1 ? a1, b2 ? a3,b3 ? a9 ?若存在,则求

出数列 {bn } 的通项公式;若不存在,则说明理由. 13.已知 {an } 是公比为 q 的等比数列,且 a1 ? 2a2 ? 3a3 . (Ⅰ)求 q 的值; (Ⅱ)设 {bn } 是首项为 2 ,公差为 q 的等差数列,其前 n 项和为 Tn .

当 n ? 2 时,试比较 bn 与 Tn 的大小.

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