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金陵中学2012-2013学年度第二学期高一数学期中试卷-定稿


金陵中学 2012-2013 学年度第二学期高一数学期中试卷
命题:高一数学备课组
注 意 事 项

审核:张松年

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求: 1.本试卷共 2 页,包含填空题(第 1 题~第 12 题)、解答题(第 13 题~第 18 题)两部分.本试卷满分 100 分, 考试时间为 100 分钟.考试结束后,请将答题卡上交. 2.答题前,请务必将自己的姓名、班级、学号用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填在答题卡上. 3. 作答非选择题必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置, 在其它位置作答一律无效.

一、填空题:本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分.请将答案写在答题卡指定的横线 上. ........ 1.计算:sin75? =________ ▲ . 2.在等差数列{an}中,a1=-1,d=2,则前 10 项和的值为________ ▲ . 7 3.已知 sinθ+cosθ= ,则 sin2θ 的值为________ ▲ . 5 1 π 1 π 4.若 tan(α+β)= ,tan(β- )= ,则 tan(α+ )的值为________ ▲ . 2 4 2 4 5.若等比数列{an}满足 a2+a3=3,a3+a4=6,则 a1 的值为________ ▲ . 6.现有总长为 20 m 的栅栏,欲靠墙围成一个矩形 (注:靠墙一边不用栅 栏,如图所示),则此矩形的最大面积为________ ▲ m2. 7.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a2tanB=b2tanA, 则△ABC 的形状是________ ▲ 三角形. 1 8. 若关于 x 的不等式 ax2+bx+1<0 的解集为{x|-1<x<- }, 2 D 则 x -ax-b<0 的解集为________ ▲ . 9.如图,ABCD 是由三个边长为 1 的正方形拼成的矩形,则 α +β 的值为________ ▲ .(填角度) 10.设{an}是各项均为正数的等比数列,其前 n 项和为 Sn.若 Sk=3,S3k=39,则 S4k 的值为________ ▲ . 11.若等比数列{an}的前 n 项和 Sn=2×3n 1+t,则 t 的值为________ ▲ .


(第 6 题)

C

2

?
A E

?
B (第 9 题)

?2n-1,n为奇数, ? 12. 已知数列{an}中, an=? n 则该数列的前 2k 项和 S2k 的表达式为________ ▲ . ?2 -1,n为偶数, ?

二、解答题:本大题共 6 小题,共 64 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字 ....... 说明、证明过程或演算步骤. 13.(本小题满分 12 分) π π (1)已知 f(α)=2sin( -α)cos( -α),求 f(π)的值; 4 4 3 π 3 π 4 (2)已知 sin(α+ )= ,sin(α- )= ,求 sinα,cosα 和 tanα 的值. 4 5 4 5

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14.(本小题满分 10 分) 如图,某炮兵阵地位于 A 处, 两观察所分别设于 C, D 处, 已知△ACD 为边长等于 a 的正三角形.当目标出现于 B 处时,测得∠CDB=60? ,∠DCB=75? ,试求炮击目标距 炮位的距离 AB.(结果保留根号)
A (第 14 题) C D B

15.(本小题满分 10 分) (1)已知等差数列{an}满足:a1=-3,11a5=5a8,求 Sn 的最小值; (2)已知等比数列{an}满足:a1+an=66,a2an-1=128.若 Sn=126,求 n,q 的值.

16.(本小题满分 10 分) π 在△ABC 中,已知∠A= ,边长 BC=2 3.设∠B=x,周长为 y. 3 (1)求函数 y=f(x)的解析式和定义域; (2)求 y 的最大值.

17.(本小题满分 10 分) A 5 在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边,且满足 2cos2 -cos2A= . 2 4 (1)求角 A 的大小; (2)若 b+c=3,求 a 的最小值,并判断当 a 取最小值时△ABC 的形状.

18.(本小题满分 12 分) 已知{an}是各项均为正数的数列,a1=1,且满足 an+1-an+1an-2an=0 (n∈N*). (1)求证:数列{an}是等比数列,并求其通项公式; log an+1 (2)设 bn= 2 ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn; an+1 n (3)在(2)的条件下,请问:在数列{ }中是否存在三项,它们可以构成等差数列?若存在, bn 请求出一组符合条件的项;若不存在,请说明理由.
2 2

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金陵中学 2012-2013 学年度第二学期高一数学期中试卷解析
一、填空题:本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分. 1. 1 5. 2 9.45° 6+ 2 4 2.80 6.50 10.120 24 3. 25 7.等腰或直角 11.-6 4.0 8.{x|-1<x<3} 4k 1 4 12. +2k2-2k- 3 3


二、解答题:本大题共 6 小题,共 64 分. 13.(本小题满分 12 分) π π (1)已知 f(α)=2sin( -α)cos( -α),求 f(π)的值; 4 4 3 π 3 π 4 (2)已知 sin(α+ )= ,sin(α- )= ,求 sinα,cosα 和 tanα 的值. 4 5 4 5 π 1 解:(1)法一 f(α)=sin( -2α)=cos2α,所以 f(π)=cos2π=- . 2 2 3 3 π π π π π π π 1 法二 f(π)=2sin( - )cos( - )=2sin(- )cos(- )=-sin =- . 4 3 4 3 12 12 6 2 3 π π π π π 4 (2)cos(α+ )=cos[ -( -α)]=sin( -α)=-sin(α- )=- , 4 2 4 4 4 5 π π π π π π 3 2 4 2 7 2 sinα=sin[(α+ )- ]=sin(α+ )cos -cos(α+ )sin = × -(- )× = , 4 4 4 4 4 4 5 2 5 2 10 π π π π π π 4 2 3 2 2 cosα=cos[(α+ )- ]=cos(α+ )cos +sin(α+ )sin =(- )× + × =- , 4 4 4 4 4 4 5 2 5 2 10 sinα tanα= =-7. cosα 14.(本小题满分 10 分) 如图,某炮兵阵地位于 A 处,两观察所分别设于 C,D 处, 已知△ACD 为边长等于 a 的正三角形. 当目标出现于 B 处 时,测得∠CDB=60? ,∠DCB=75? ,试求炮击目标距炮 A 位的距离 AB.(结果保留根号) CDsin60? 6 由正弦定理,得 BC= = a. sin45? 2 在△ABC 中,AC=a,∠ACB=60? +75? =135? , 由余弦定理,得 AB2 = AC2 + BC2 - 2· AC· BCcos ∠ ACB = a2 + ( 5+2 3 2 a ,即 AB= 2 5+2 3 a. 2 5+2 3 a. 2 6 2 6 2 a) - 2· a· a· (- )= 2 2 2
(第 14 题) C D B

解:在△BCD 中,DC=a,∠CDB=60? ,∠BCD=75? ,则∠DBC=45? ,

答:炮击目标的距离 AB 为

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15.(本小题满分 10 分) (1)已知等差数列{an}满足:a1=-3,11a5=5a8,求前 n 项和 Sn 的最小值; (2)已知等比数列{an}满足:a1+an=66,a2an-1=128.若 Sn=126,求 n,q 的值. 解:(1)由 11a5=5a8,得 11(a1+4d)=5(a1+7d),因为 a1=-3,所以 d=2,an=2n-5. 解法一 由 an=2n-5≤0,得 n≤2.5,所以前 2 项和最小,最小值为 S2=a1+a2=-4. 解法二 易得 Sn=n2-4n=(n-2)2-4,所以当 n=2 时,Sn 的最小值为-4.
? ? ?a1+an=66, ?a1=64, ? ?a1=2, (2)因为? 所以? 或? ?a2an-1=a1an=128, ?an=2, ?an=64. ? ? ?

a -a q 64-2q 1 当 a1=64,an=2 时,126=Sn= 1 n = ,所以 q= , 2 1-q 1-q 1 - - 又 2=an=a1qn 1=64· ( )n 1,所以 n=6; 2 a -a q 2-64q 当 a1=2,an=64 时,126=Sn= 1 n = ,所以 q=2, 1-q 1-q 又 64=an=a1qn 1=2× 2n 1,所以 n=6.
- -

16.(本小题满分 10 分) π 在△ABC 中,已知∠A= ,边长 BC=2 3.设∠B=x,周长为 y. 3 (1)求函数 y=f(x)的解析式和定义域; (2)求 y 的最大值. π 解:(1)因为△ABC 的内角和 A+B+C=π,A= ,B=x>0,C>0, 3 所以 0<B=2π-C<2π,即 0<x<2π, 3 3 3 由正弦定理,得 AC= BC ?sinB=2 3?sinx=4sinx,AB= BC ?sinC=4sin(2π-x), sinA π sinA 3 sin 3 因为 y=AB+BC+AC, 所以 y=4sinx+4sin(2π-x)+2 3,(0<x<2π). 3 3 (2) y=4 (sinx+ 3cosx+1sinx)+2 3 2 2 =4 3( 3sinx+1cosx)+2 3 2 2 =4 3sin(x+π)+2 3, 6 因为 0<x<2π,所以π<x+π<5π, 3 6 6 6 所以,当 x+π=π,即 x=π时,y 取得最大值 6 3. 6 2 3 17.(本小题满分 10 分)

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A 5 在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边,且满足 2cos2 -cos2A= . 2 4 (1)求角 A 的大小; (2)若 b+c=3,求 a 的最小值,并判断当 a 取最小值时△ABC 的形状. 解:(1)因为 A+B+C=π, A 5 所以 2cos2 -cos2A= (1+cosA)-cos2A=-cos2A+cosA+1= , 2 4 1 1 即 cos2A-cosA+ =0,解得 cosA= , 4 2 因为 0<A<π,所以 A=60? . b2+c2-a2 (2)由余弦定理 cosA= ,得 bc=b2+c2-a2, 2bc b+c 2 9 3 3 所以 a2=(b+c)2-3bc=9-3bc≥9-3( ) = ,即 a≥ ,当且仅当 b=c= 时取等号, 2 4 2 2 3 所以 a 的最小值为 ,此时△ABC 为正三角形. 2 18.(本小题满分 12 分) 已知{an}是各项均为正数的数列,a1=1,且满足 an+1-an+1an-2an=0 (n∈N*). (1)求证:数列{an}是等比数列,并求其通项公式; log an+1 (2)设 bn= 2 ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn; an+1 n (3)在(2)的条件下,请问:在数列{ }中是否存在三项,它们可以构成等差数列?若存在, bn 请求出一组符合条件的项;若不存在,请说明理由. 解:(1)由 an+12-an+1an-2an2=0 (n∈N*),得(an+1-2an)( an+1+an)=0, 因为 an>0,所以 an+1=2an, a+ 又 a1=1≠0,所以 n 1=2 对 n∈N*成立, an 因此,{an}是以 a1=1 为首项,2 为公比的等比数列. 其通项公式为 an=a1qn 1=2n 1.
- -

2

2

log a + log 2n n (2)由(1)可得 bn= 2 n 1= 2 = n, 2n 2 an+1 n-1 n 1 2 3 所以 Sn= + 2+ 3+…+ n-1 + n,① 2 2 2 2 2 n-1 1 1 2 3 n 则 Sn= 2+ 3+ 4+…+ n + n+1,② 2 2 2 2 2 2 ①-②得: 1 1 1 1 1 n 1 n S =( + + +…+ n)- n+1=1-( )n- n+1, 2 n 2 22 23 2 2 2 2 2+n 所以,Sn=2- n . 2 n (3)由(2)易得 =2n, bn

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n 假设在数列{ }中存在三项 2r,2s,2t(r<s<t),它们可以构成等差数列, bn 则 2r+2t=2×2s=2s 1,即 1+2t r=2s
+ - +1-r

(*),

因为 r<s<t,且 r,s,t∈N*,所以(*)式左边为奇数,右边为偶数, 所以(*)式不可能成立, n 因此,在数列{ }中不存在可以构成等差数列的三项. bn

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