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二次函数知识点(打印版)


二次函数知识点 二次函数知识点
1.定义:一般地, 是常数, 的二次函数. 1.定义:一般地,如果 y = ax + bx + c( a, b, c 是常数, a ≠ 0) ,那么 y 叫做 x 的二次函数. 定义
2

2.二次函数 2.二次函数 y = ax 的性质
2

的顶点是坐标原点, 的符号关系. (1)抛物线 y = ax (a ≠ 0) 的顶点是坐标原点,对称轴是 y 轴.(2)函数 y = ax 的图像与 a 的符号关系. 顶点为其最低点; ①当 a > 0 时 抛物线开口向上 顶点为其最低点;②当 a < 0 时 抛物线开口向下 顶点为其最高点
2 2

3.二次函数 的图像是对称轴平行于(包括重合 重合) 轴的抛物线. 3.二次函数 y = ax + bx + c 的图像是对称轴平行于(包括重合) y 轴的抛物线.
2
2 2 b 4 ac b 2 . ,k = 用配方法可化成: 的形式, 4.二次函数 4.二次函数 y = ax + bx + c 用配方法可化成: y = a( x h ) + k 的形式,其中 h =

2a

4a

① y = ax ;② y = ax + k ;③ y = a ( x h ) ;④ y = a ( x h ) + k ;⑤ y = ax + bx + c . 6.抛物线的三要素:开口方向、对称轴、顶点. 6.抛物线的三要素:开口方向、对称轴、顶点. 抛物线的三要素 决定抛物线的开口方向: ① a 决定抛物线的开口方向:
2 2
2 2

5.二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式: 5.二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式: 二次函数由特殊到一般

2

开口向上; 开口向下; 相等,抛物线的开口大小、形状相同. 当 a > 0 时,开口向上;当 a < 0 时,开口向下; a 相等,抛物线的开口大小、形状相同. ②平行于 y 轴(或重合)的直线记作 x = h .特别地, y 轴记作直线 x = 0 . 或重合) 特别地, 轴记作直线 7.顶点决定抛物线的位置 几个不同的二次函数, 顶点决定抛物线的位置. 相同,那么抛物线的开口方向、 7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数,如果二次项系数 a 相同,那么抛物线的开口方向、开口 大小完全相同,只是顶点的位置不同. 大小完全相同,只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点 求抛物线的顶点、 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法

b 4ac b2 b 4ac b 2 b ( ) 对称轴是直线 x = . 公式法: ,∴顶点是 , , (1)公式法: y = ax + bx + c = a x + + 2a 4a 4a 2a 2a 2 配方法:运用配方法将抛物线的解析式化为 的形式,得到顶点为( (2)配方法:运用配方法将抛物线的解析式化为 y = a(x h) + k 的形式,得到顶点为( h , k ),对称轴是 x = h .
2 2

(3)运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是 运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形, 抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点. 抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失★ ★用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失★
2 9.抛物线 9.抛物线 y = ax + bx + c 中, a , b, c 的作用 2 决定开口方向及开口大小, 完全一样. (1) a 决定开口方向及开口大小,这与 y = ax 中的 a 完全一样.

2 共同决定抛物线对称轴的位置. (2) b 和 a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线 y = ax + bx+ c 的对称轴是直线 x = b ,故:

① b = 0 时,对称轴为 y 轴;② b > 0 (即 a 、 b 同号)时,对称轴在 y 轴左侧; 同号) 轴左侧;
a

2a

异号) 轴右侧. ③ b < 0 (即 a 、 b 异号)时,对称轴在 y 轴右侧.
a
2 轴交点的位置. (3) c 的大小决定抛物线 y = ax + bx + c 与 y 轴交点的位置. 2 轴有且只有一个交点( 当 x = 0 时, y = c ,∴抛物线 y = ax + bx + c 与 y 轴有且只有一个交点(0, c ):

抛物线经过原点; 轴交于正半轴; 轴交于负半轴. ① c = 0 ,抛物线经过原点; ② c > 0 ,与 y 轴交于正半轴;③ c < 0 ,与 y 轴交于负半轴. 以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立. 轴右侧, 以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立.如抛物线的对称轴在 y 轴右侧,则 b < 0 . a 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下 几种特殊的二次函数的图像特征如下: 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下: 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 2 x = 0 ( y 轴) 0,0) y = ax (0,0)

y = a(x h ) + k
2

y = a(x h )

y = ax 2 + k

2

当a > 0时 开口向上 当 a < 0时 开口向下

x = 0 ( y 轴) x=h x=h
x= b 2a

(0, k ) ( h ,0) (h,k ) (

y = ax 2 + bx + c

b 4ac b 2 , ) 2a 4a

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11.用待定系数法求二次函数的解析式 11.用待定系数法求二次函数的解析式 2 的值,通常选择一般式. 一般式: (1)一般式: y = ax + bx + c .已知图像上三点或三对 x 、 y 的值,通常选择一般式. 通常选用交点式: (3)交点式:已知图像与 x 轴的交点坐标 x1 、 x 2 ,通常选用交点式: y = a( x x1 )( x x 2 ) . 交点式: 12.直线与抛物线的交点 12.直线与抛物线的交点 2 得交点为( (1) y 轴与抛物线 y = ax + bx + c 得交点为( 0 , c )
2 2 有且只有一个交点( (2)与 y 轴平行的直线 x = h 与抛物线 y = ax + bx + c 有且只有一个交点( h , ah + bh + c ). (3)抛物线与 x 轴的交点

已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式. (2)顶点式: y = a ( x h ) + k .已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式. 顶点式:
2

二次函数 y = ax + bx + c 的图像与 x 轴的两个交点的横坐标 x1 、 x 2 ,是对应一元二次方程
2

ax 2 + bx + c = 0 的两个实数根.抛物线与 x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定: 的两个实数根. 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定: 轴相交; ①有两个交点 > 0 抛物线与 x 轴相交; 轴上) 轴相切; 有一个交点 个交点( ②有一个交点(顶点在 x 轴上) = 0 抛物线与 x 轴相切; 轴相离. ③没有交点 < 0 抛物线与 x 轴相离. (4)平行于 x 轴的直线与抛物线的交点
个交点、 个交点、 个交点. 个交点时,两交点的纵坐标相等, 同(3)一样可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标
2 的两个实数根. 为 k ,则横坐标是 ax + bx + c = k 的两个实数根.

2 的交点, (5)一次函数 y = kx + n(k ≠ 0) 的图像 l 与二次函数 y = ax + bx + c(a ≠ 0 ) 的图像 G 的交点,由方程组

y = kx + n 的解的数目来确定: 的解的数目来确定: 2 y = ax + bx + c 有两个交点; ①方程组有两组不同的解时 l 与 G 有两个交点; 只有一个交点; 没有交点. ②方程组只有一组解时 l 与 G 只有一个交点;③方程组无解时 l 与 G 没有交点. 2 轴两交点之间的距离: 0 0 (6)抛物线与 x 轴两交点之间的距离:若抛物线 y = ax + bx + c 与 x 轴两交点为 A( x1,),B( x 2,) ,由于

x1 、 x 2 是方程 ax 2 + bx + c = 0 的两个根,故 的两个根,
AB = x1 x2 =

b c x1 + x2 = , x1 x2 = a a
2

(x1 x2 )

2

=

(x1 x2 )

2

b 2 4ac b 4c 4x1 x2 = = = a a a a

13.二次函数与一元二次方程的关系: 二次函数与一元二次方程的关系: 与一元二次方程的关系 (1)一元二次方程 y = ax 2 + bx + c 就是二次函数 y = ax 2 + bx + c 当函数 y 的值为 0 时的情况. (1)一元二次方程 时的情况.
2 (2)二次函数 轴的交点有三种情况:有两个交点、有一个交点、没有交点; (2)二次函数 y = ax + bx + c 的图象与 x 轴的交点有三种情况:有两个交点、有一个交点、没有交点;

当二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象与 x 轴有交点时,交点的横坐标就是当 y = 0 时自变量 x 的值, 轴有交点时, 的值, 的根. 即一元二次方程 ax + bx + c = 0 的根. 2 2 (3)当二次函数 轴有两个交点时, (3)当二次函数 y = ax + bx + c 的图象与 x 轴有两个交点时,则一元二次方程 y = ax + bx + c 有两个不
2

相 等 的 实 数 根 ; 当 二 次 函 数 y = ax 2 + bx + c 的 图 象 与 x 轴 有 一 个 交 点 时 , 则 一 元 二 次 方 程

ax 2 + bx + c = 0 有两个相等的实数根;当二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象与 x 轴没有交点时,则一 有两个相等的实数根; 轴没有交点时,
元二次方程 ax + bx + c = 0 没有实数根 14.二次函数的应用: 14.二次函数的应用: (1)二次函数常用来解决最优化问题 这类问题实际上就是求函数的最大( 二次函数常用来解决最优化问题, (1)二次函数常用来解决最优化问题,这类问题实际上就是求函数的最大(小)值; (2)二次函数的应用包括以下方面 分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系; 二次函数的应用包括以下方面: (2)二次函数的应用包括以下方面:分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系; 运用二次函数的知识解决实际问题中的最大( 运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值. 15.解决实际问题时的基本思路: 理解问题;(2)分析问题中的变量和常量;(3)用函数表达式表示出它 分析问题中的变量和常量 15.解决实际问题时的基本思路:(1)理解问题;(2)分析问题中的变量和常量;(3)用函数表达式表示出它 们之间的关系;(4)利用二次函数的有关性质进行求解 (5)检验结果的合理性 对问题加以拓展等. 利用二次函数的有关性质进行求解; 检验结果的合理性, 们之间的关系;(4)利用二次函数的有关性质进行求解;(5)检验结果的合理性,对问题加以拓展等.
2

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