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高一数学人教A版必修二 课件 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.2.2_图文

2.2 直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 直线与平面平行的判定 2.2.2 平面与平面平行的判定

学案· 新知自解

1.了解线面平行,面面平行的定义以及两个定理的探究过程. 2.理解两个定理的含义并会应用. 3.能够应用两个判定定理判定或证明线面平行,面面平行.

直线与平面平行的判定 文字语言

平面外 一条直线与此 _________ 平面内 的一条直线平行,则该直线与此 _________
平面平行

图形语言 符号语言

a?α,b?α,且a∥b?a∥α ___________________________

平面与平面平行的判定 文字语言 一个平面内的__________ 则这两个平面平行 两条相交 直线与另一个平面平行, 图形语言

符号语言

? ? b? β ? a∩b=P ____________ ??β∥α ? a∥ α ? b∥ α ? a? β

[化解疑难 ] 1.线面平行的判定定理包含三个条件: (1)直线 a 在平面 α 外即 a? α; (2)直线 b 在平面 α 内即 b? α; (3)两直线 a, b 平行即 a∥ b,三个条件缺一不可. 2.定理充分体现了等价转化思想,它将线面平行问题转化为线线平行问 题,即将空间问题转化为平面问题,即线线平行?线面平行. 3.此定理的作用是证明线面平行,关键是在平面内找到一条直线与已知 直线平行 .

1.下列说法中正确的是 (

)

A.若直线 a 平行于平面 α 内的无数条直线,则 a∥ α B.若直线 a∥b,直线 b?α,则 a∥ α C.若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线,则这 两个平面平行 D.若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直 线,则这两个平面平行

解析: 对于 A,直线 a 还有可能在平面 α 内;对于 B,直线 a 还有可能 在平面 α 内;对于 C,不符合面面平行的判定定理.这两个平面还可能相交; D 是面面平行判定定理的推论.
答案: D

2.若两条直线都与一个平面平行,则这两条直线的位置关系是 ( A.平行 C.异面
解析: 借助长方体易得.

)

B.相交 D.以上均有可能

答案:

D

3.AB,BC,CD 是不在同一平面内的三条线段,经过它们中点的平面和 AC 的位置关系是 ______;和 BD 的位置关系是________.
解析: 如图,在空间四边形 ABCD 中,E,F,G 分别

是 AB,BC,CD 的中点,则 AC∥EF, ∴AC∥平面 EFG,BD∥FG,∴BD∥平面 EFG.

答案:

平行

平行

教案· 课堂探究

直线与平面平行的判定 多维探究型 已知公共边为 AB 的两个全等的矩形 ABCD 和 ABEF 不在同一平面 内,P,Q 分别是对角线 AE,BD 上的点,且 AP=DQ(如图).求证:PQ∥平 面 CBE.

证明: 作 PM∥ AB 交 BE 于点 M, 作 QN∥ AB 交 BC 于点 N, 连接 MN, PM EP QN BQ 如图,则 PM∥ QN, = , = . AB EA CD BD ∵ EA= BD, AP=DQ, ∴ EP= BQ. 又 AB= CD,∴PM 綊 QN, ∴四边形 PMNQ 是平行四边形, ∴ PQ∥ MN. 又 PQ?平面 CBE, MN?平面 CBE, ∴ PQ∥平面 CBE.

[归纳升华 ] 1.证明线面平行的步骤 (1)在平面内找一条直线; (2)证明线线平行; (3)结论注意条件的完整性. 2.证明线线平行时要注意的问题 (1)与中点有关的平行问题,考虑中位线定理; (2)平行线段成比例问题要充分利用相似比; (3)平行公理的应用 .

1.如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D 为 BC 的中点,连接 AD,DC1, A1B,AC1,求证:A1B∥平面 ADC1.

解析:

由题意知, A1ACC1 是平行四边形, 所以 O 是 A1C 的中点, 又 D 是 CB 的中点,因此 OD 是△A1CB 的中位线,即 OD∥A1B.

又 A1B 平面 ADC1,OD 平面 ADC1,所以 A1B∥ 平面 ADC1.

?

连接 A1C,设 A1C∩AC1=O,再连接 OD.

面面平行的判定 多维探究型 如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、E、F、N 分别是 A1B1、 B1C1、C1D1、D1A1 的中点. 求证:(1)E、F、B、D 四点共面; (2)平面 MAN∥平面 EFDB.

证明:

(1)连接 B1D1,

∵E、F 分别是边 B1C1,C1D1 的中点, ∴EF∥B1D1. 而 BD∥B1D1,∴BD∥EF. ∴E、F、B、D 四点共面.

(2)易知 MN∥ B1D1, B1D1∥ BD, ∴ MN∥ BD. 又 MN?平面 EFDB,BD?平面 EFDB. ∴ MN∥平面 EFDB. 连接 MF.∵ M、F 分别是 A1B1、 C1D1 的中点, ∴ MF∥ A1D1, MF= A1D1. ∴ MF∥ AD, MF= AD.

∴四边形 ADFM 是平行四边形, ∴AM∥DF. 又 AM?平面 BDFE,DF?平面 BDFE, ∴AM∥平面 BDFE. 又∵AM∩MN=M, ∴平面 MAN∥平面 EFDB.

[归纳升华] 两个平面平行的判定定理是确定面面平行的重要方法.解答问题时一定要 寻求好判定定理所需要的条件,特别是相交的条件,即与已知平面平行的两条 直线必须相交,才能确定面面平行 .

2.如图,已知四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,点 M,N, Q 分别在 PA,BD,PD 上,且 PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD. 求证:平面 MNQ∥平面 PBC.

解析:

∵PM∶ MA= BN∶ ND=PQ∶ QD,

∴ MQ∥ AD,NQ∥ BP, ∵ BP?平面 PBC, NQ?平面 PBC, ∴ NQ∥平面 PBC. 又底面 ABCD 为平行四边形, ∴ BC∥ AD,∴MQ∥ BC, ∵ BC?平面 PBC, MQ? 平面 PBC, ∴ MQ∥平面 PBC. 又 MQ∩ NQ= Q,根据平面与平面平行的判定定理, 得平面 MNQ∥平面 PBC.

线线平行与面面平行的综合问题 分层深化型 如图,在四棱锥 O-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 1 的菱形,M 为 OA 的中点,N 为 BC 的中点. 证明:直线 MN∥平面 OCD.

证明:

如图,取 OB 中点 E,连接 ME, NE,则 ME∥ AB.

又∵ AB∥ CD,∴ ME∥ CD. 又∵ ME?平面 OCD, CD?平面 OCD, ∴ ME∥平面 OCD. 又∵ NE∥ OC,且 NE?平面 OCD, OC?平面 OCD,∴ NE∥平面 OCD. 又∵ ME∩ NE=E,且 ME, NE?平面 MNE, ∴平面 MNE∥平面 OCD. ∵ MN?平面 MNE,∴MN∥平面 OCD.

[归纳升华 ] 解决线线平行与面面平行的综合问题的策略 1. 立体几何中常见的平行关系是线线平行、线面平行和面面平行,这三 种平行关系不是孤立的,而是相互联系、相互转化的. 判定 判定 2. 线线平行 ――→ 线面平行 ――→ 面面平行 所以平行关系的综合问题的解决必须灵活运用三种平行关系的判定定理 .

[同类练 ]☆ 1.正方体 EFGH- E1F1G1H1 中,下列四对截面中,彼此平行的一对截面是 ( ) A.平面 E1FG1 与平面 EGH1 B.平面 FHG1 与平面 F1H1G C.平面 F1H1H 与平面 FHE1 D.平面 E1HG1 与平面 EH1G

解析:

正方体中 E1F∥H1G,E1G1∥EG,

从而可得 E1F∥平面 EGH1,E1G1∥平面 EGH1, 所以平面 E1FG1∥平面 EGH1. 故选 A.
答案: A

[变式练]☆ 2.如图所示,已知正方体 ABCD-A1B1C1D1. (1)求证:平面 A1BD∥平面 B1D1C; (2)若 E,F 分别是 AA1,CC1 的中点,求证:平面 EB1D1∥平面 FBD.

证明:

(1)因为 B1B 綊 DD1,

所以四边形 BB1D1D 是平行四边形, 所以 B1D1∥ BD, 又 BD?平面 B1D1C, B1D1?平面 B1D1C, 所以 BD∥平面 B1D1C. 同理 A1D∥平面 B1D1C. 又 A1D∩ BD= D,所以平面 A1BD∥平面 B1D1C.

(2)由 BD∥ B1D1,得 BD∥平面 EB1D1. 取 BB1 的中点 G, 连接 AG、 GF, 易得 AE∥ B1G, 又因为 AE= B1G,所以四边形 AEB1G 是平行四边形, 所以 B1E∥ AG.同理 GF∥ AD.

又因为 GF=AD, 所以四边形 ADFG 是平行四边形, 所以 AG∥DF,所以 B1E∥DF, 所以 DF∥平面 EB1D1. 又因为 BD∩DF=D, 所以平面 EB1D1∥平面 FBD.

[拓展练]☆ 3.(2015· 德阳市中江县龙台中学高二 (上)期中)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N、P 分别是 AD1、BD 和 B1C 的中点,求证: (1)MN∥平面 CC1D1D; (2)平面 MNP∥平面 CC1D1D.

证明:

(1)连接 AC, CD1,

因为四边形 ABCD 是正方形, N 是 BD 中点, 所以 N 是 AC 中点, 又因为 M 是 AD1 中点, 所以 MN∥ CD1, 因为 MN?平面 CC1D1D, CD1?平面 CC1D1D,所以 MN∥平面 CC1D1D.

(2)连接 BC1,C1D, 因为 B1BCC1 是正方形, P 是 B1C 的中点, 所以 P 是 BC1 中点, 又因为 N 是 BD 中点,所以 PN∥ C1D, 因为 PN?平面 CC1D1D,C1D?平面 CC1D1D, 所以 PN∥平面 CC1D1D, 由 (1)得 MN∥平面 CC1D1D,且 MN∩PN=N, 所以平面 MNP∥平面 CC1D1D.

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