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广东省中山市高二级2013—2014学年度第一学期期末统一考试(数学文)试题


2013-2014 学年广东省中山市高二(上) 期末数学试卷(文科)

2013-2014 学年广东省中山市高二(上)期末数学 试卷(文科)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求 的.) 1. (5 分)“a>1 且 b>2”是“a+b>3”成立的( ) A.充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分且必要条件 D.既不充分也不必要条件 2. (5 分) (2014?温州模拟)焦点在 x 轴上的双曲线,实轴长 6,焦距长 10,则双曲线的标准方程是( A. B. C. D. )

3. (5 分)曲线 y=x ﹣4x 在点(1,﹣3)处的切线倾斜角为( A. B. C.

3

) D.

4. (5 分) (2003?江苏)如果函数 y=ax +bx+a 的图象与 x 轴有两个交点,则点(a,b)在 aOb 平面上的区域(不包 含边界)为( ) A. B. C. D.

2

5. (5 分)海上有 A,B 两个小岛相距 10 km,从 A 岛望 C 岛和 B 岛所成的视角为 60°,从 B 岛望 C 岛和 A 岛所 成的视角为 75°,则 B 岛和 C 岛之间的距离 BC=( )km. A.10 B.10 C.20 D.10 6. (5 分) (2014?河东区一模)已知 x>1,y>1,且 A.有最大值 e B.有最大值 , ,lny 成等比数列,则 xy( C.有最小值 e )

D.有最小值

7. (5 分) (2010?韶关模拟)某公司租地建仓库,每月土地占用费 y1 与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物 的运费 y2 与到车站的距离成正比,如果在距离车站 10km 处建仓库,这两项费用 y1 和 y2 分别为 2 万元和 8 万元, 那么要使这两项费用之和最小,仓库应建在距离车站( ) A.4km B.5km C.6km D.7km 8. (5 分)方程 mx+ny =0 与 mx +ny =1, (m,n∈R)且 mn≠0 在同一坐标系中所表示的曲线可能是( A. B. C. D.
2 2 2



9. (5 分) (2008?佛山一模)椭圆 点为 P,则 P 到 F2 的距离为( A. B. )

的两个焦点为 F1、F2,过 F1 作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交,一个交

C.

D.4

10. (5 分)某同学对教材《选修 2﹣2》上所研究函数 f(x)= x ﹣4x+4 的性质进行变式研究,并结合 TI﹣Nspire 图形计算器作图进行直观验证(如图所示) ,根据你所学的知识,指出下列错误的结论是( )

3

A.

f(x)的极大值为 f(﹣2)=

B.

f(x)的极小值为 f(2)=﹣

C. f(x)的单调递减区间为(﹣2,2)

D.f(x)在区间[﹣3,3]上的最大值为 f(﹣3)=7

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卡相应横线上) 11. (5 分)在等差数列{an}中,若 a3+a4+a5+a6+a7=90,则数列{an}的前 9 项的和为 _________ . 12. (5 分)若命题“?x∈R,x +ax+1≥0”是真命题,则实数 a 的取值范围为 _________ . 13. (5 分) 过抛物线 y =4x 的焦点作直线交抛物线于 A (x1, y1) , B (x2, y2) 两点, 若 x1+x2=6, 则|AB|= 14. (5 分)在△ ABC 中,有等式:① asinA=bsinB;② asinB=bsinA;③ acosB=bcosA;④ 立的等式序号为 _________ .
2 2

_________ . .其中恒成

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.) 3 2 15. (13 分)已知函数 y=x ﹣3x . (1)求函数的极小值; (2)求函数的递增区间. 16. (13 分)如图,在树丛中为了测量河对岸 A、B 两点之间的距离,观察者找到一个点 C,从 C 点可以观察到点 A,B;找到一个点 D,从 D 点可以观察到点 A,C;找到一个点 E,从 E 点可以观察到点 B,C.并测量得到图中 的一些数据,此外,∠ CDA=∠ CEB=60°. (1)求△ ABC 的面积; (2)求 A、B 两点之间的距离.

17. (13 分) (2013?福建)已知等差数列{an}的公差 d=1,前 n 项和为 Sn. (Ⅰ )若 1,a1,a3 成等比数列,求 a1; (Ⅱ )若 S5>a1a9,求 a1 的取值范围. 18. (13 分) 人们生活水平的提高, 越来越注重科学饮食. 营养学家指出, 成人良好的日常饮食应该至少提供 0.075kg 的碳水化合物,0.06kg 的蛋白质,0.06kg 的脂肪.1kg 食物 A 含有 0.105kg 碳水化合物,0.07kg 蛋白质,0.14kg 脂肪, 花费 28 元;而 1kg 食物 B 含有 0.105kg 碳水化合物,0.14kg 蛋白质,0.07kg 脂肪,花费 21 元.为了满足营养专家 指出的日常饮食要求,同时使花费最低,每天需要同时食用食物 A 和食物 B 多少 kg? 19. (14 分)已知函数 f(x)=x +xsinx+cosx. (1)求 f(x)的最小值; (2)若曲线 y=f(x)在点(a,f(a) )处与直线 y=b 相切,求 a 与 b 的值. 20. (14 分)已知直线 l:y=2x 与抛物线 C:y= 交于 A(xA,yA) 、O(0,0)两点,过点 O 与直线 l 垂直的直
2

线交抛物线 C 于点 B(xB,yB) .如图所示. (1)求抛物线 C 的焦点坐标; (2)求经过 A、B 两点的直线与 y 轴交点 M 的坐标; (3)过抛物线 y= 的顶点任意作两条互相垂直的直线,过这两条直线与抛物线的交点 A、B 的直线 AB 是否恒

过定点,如果是,指出此定点,并证明你的结论;如果不是,请说明理由.

2013-2014 学年广东省中山市高二(上)期末数学 试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求 的.) 1. (5 分)“a>1 且 b>2”是“a+b>3”成立的( ) A.充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分且必要条件 D.既不充分也不必要条件 考点: 专题: 分析: 解答: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 不等式的解法及应用. 通过基本不等式的性质判断前者是否推出后者,通过特例判断后者是否推出前者,即可得到结论. 解:a、b 是实数,则“a>1,且 b>2”?“a+b>3”正确, 反之,当 a=10,b=0.2 时,a+b>3,但是 a>1,且 b>2 不成立, 即前者是推出后者,后者推不出前者, 所以 a、b 是实数,则“a>1 且 b>2”是“a+b>3”成立的充分而不必要条件. 故选 A. 点评: 本题考查充要条件的应用,考查不等式的基本性质,是基础题.
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2. (5 分) (2014?温州模拟)焦点在 x 轴上的双曲线,实轴长 6,焦距长 10,则双曲线的标准方程是( A. B. C. D.



考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 焦点在 x 轴上的双曲线,可设方程为
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(a>0,b>0) ,半焦距为 c.由于实轴长 6,焦距长 10,

可得 2a=6,2c=10,再利用 b =c ﹣a 即可得出. 解答: 解:∵ 焦点在 x 轴上的双曲线, ∴ 可设方程为 (a>0,b>0) ,半焦距为 c.

2

2

2

∵ 实轴长 6,焦距长 10,∴ 2a=6,2c=10, 解得 a=3,c=5, 2 2 2 ∴ b =c ﹣a =16. 故双曲线的方程为: .

故选:D. 点评: 本题考查了双曲线的标准方程及其性质,属于基础题. 3. (5 分)曲线 y=x ﹣4x 在点(1,﹣3)处的切线倾斜角为(
3



A.

B.

C.

D.

考点: 导数的几何意义. 专题: 计算题;数形结合. 分析: 欲求在点(1,﹣3)处的切线倾斜角,先根据导数的几何意义可知 k=y′ |x=1,再结合正切函数的值求出角 α 的值即可. 解答: 解: .
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故选 A. 点评: 本题考查了导数的几何意义、正切函数的图象、直线的倾斜角等基础知识,考查数形结合思想.属于基础 题. 4. (5 分) (2003?江苏)如果函数 y=ax +bx+a 的图象与 x 轴有两个交点,则点(a,b)在 aOb 平面上的区域(不包 含边界)为( ) A. B. C. D.
2

考点: 二元一次不等式(组)与平面区域. 2 分析: 由 y=ax +bx+a 的图象与 x 轴有两上交点,知△ >0;进一步整理为 a、b 的二元一次不等式组,再画出其表 示的平面区域即可. 2 解答: 解:因为函数 y=ax +bx+a 的图象与 x 轴有两个交点,
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所以△ =b ﹣4a >0,即(b+2a) (b﹣2a)>0, 即 或 ,

2

2

则其表示的平面区域为选项 C. 故选 C. 点评: 本题主要考查由二元一次不等式组(数)画出其表示的平面区域(形)的能力. 5. (5 分)海上有 A,B 两个小岛相距 10 km,从 A 岛望 C 岛和 B 岛所成的视角为 60°,从 B 岛望 C 岛和 A 岛所 成的视角为 75°,则 B 岛和 C 岛之间的距离 BC=( )km. A.10 B.10 C.20 D.10 考点: 专题: 分析: 解答: 余弦定理;正弦定理. 解三角形. 先根据∠ A 和∠ B 求出∠ C,进而根据正弦定理求得 BC. 解:∠ A=60°,∠ B=45°,∠ C=180°﹣60°﹣75°=45°,AB=10
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km.

根据正弦定理

得 BC=

=

=10

km.

故选 B.

点评: 本题考查正弦定理的运用,考查利用数学知识解决实际问题,属于基础题.

6. (5 分) (2014?河东区一模)已知 x>1,y>1,且 A.有最大值 e B.有最大值

, ,lny 成等比数列,则 xy( C.有最小值 e



D.有最小值

考点: 等比数列的性质;对数的运算性质. 专题: 计算题. 分析: 先利用等比数列等比中项可知 ?lny=
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可得 lnx?lny= , 再根据 lnxy=lnx+lny≥2

可得 lnxy 的

范围,进而求得 xy 的范围. 解答: 解:依题意 ∴ lnx?lny= ∴ lnxy=lnx+lny≥2 xy≥e 故选 C =1 ?lny=

点评: 本题主要考查了等比中项的性质.即若 a,b,c 成等比数列,则有 b =ac. 7. (5 分) (2010?韶关模拟)某公司租地建仓库,每月土地占用费 y1 与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物 的运费 y2 与到车站的距离成正比,如果在距离车站 10km 处建仓库,这两项费用 y1 和 y2 分别为 2 万元和 8 万元, 那么要使这两项费用之和最小,仓库应建在距离车站( ) A.4km B.5km C.6km D.7km 考点: 基本不等式在最值问题中的应用. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 据题意用待定系数法设出两个函数 y1=
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2

,y2=k2x,将两点(10,2)与(10,8)代入求出两个参数.再

建立费用的函数解析式.用基本不等式求出等号成立的条件即可. 解答: 解:由题意可设 y1= ,y2=k2x,

∴ k1=xy1,k2=



把 x=10,y1=2 与 x=10,y2=8 分别代入上式得 k1=20,k2=0.8, ∴ y1= ,y2=0.8x(x 为仓库与车站距离) , ≥2×4=8,

费用之和 y=y1+y2=0.8x+ 当且仅当 0.8x=

,即 x=5 时等号成立.

当仓库建在离车站 5km 处两项费用之和最小. 应选 B.

点评: 本题是函数应用中费用最少的问题,考查学生建立数学模型的能力及选定系数求解析式,基本不等式求最 值的相关知识与技能. 8. (5 分)方程 mx+ny =0 与 mx +ny =1, (m,n∈R)且 mn≠0 在同一坐标系中所表示的曲线可能是( A. B. C. D.
2 2 2



考点: 抛物线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由 mn≠0,分 m、n 同号或异号讨论,同时结合选项进行分析即可得到结论. 解答: 2 2 2 2 解:方程 mx+ny =0 即 y =﹣ x,表示抛物线,方程 mx +ny =1(mn≠0)表示椭圆或双曲线.
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当 m 和 n 同号时,抛物线开口向左,方程 mx +ny =1(mn≠0)表示椭圆,无符合条件的选项. 当 m 和 n 异号时,抛物线 y =﹣ x 开口向右,方程 mx +ny =1 表示双曲线, 故选:C. 点评: 本题考查根据曲线的方程判断曲线的形状,考查分类讨论的数学思想,考查学生分析解决问题的能力,属 于中档题.
2 2 2

2

2

9. (5 分) (2008?佛山一模)椭圆 点为 P,则 P 到 F2 的距离为( A. B. )

的两个焦点为 F1、F2,过 F1 作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交,一个交

C.

D.4

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 根据椭圆的方程求出椭圆的焦点坐标,然后结合题意求出 P 点的坐标可得
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的长度,再根据椭圆的定

义计算出 解答: 解:由椭圆

. 可得椭圆的焦点坐标为( ,0) , ) ,所以 , = . ,0)

设 F 点的坐标为(﹣ 所以点 P 的坐标为(﹣ 根据椭圆的定义可得 所以 .

故选 C. 点评: 解决此类问题的关键是熟练掌握椭圆的有关性质与椭圆的定义.
3

10. (5 分)某同学对教材《选修 2﹣2》上所研究函数 f(x)= x ﹣4x+4 的性质进行变式研究,并结合 TI﹣Nspire 图形计算器作图进行直观验证(如图所示) ,根据你所学的知识,指出下列错误的结论是( )

A.

f(x)的极大值为 f(﹣2)=

B.

f(x)的极小值为 f(2)=﹣

C. f(x)的单调递减区间为(﹣2,2)

D.f(x)在区间[﹣3,3]上的最大值为 f(﹣3)=7

考点: 利用导数研究函数的极值;函数的图象. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 求函数 f(x)的导数,利用函数性质和函数导数之间的关系进行判断即可. 解答: 3 解:∵ f(x)= x ﹣4x+4,
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∴ f'(x)=x ﹣4=(x﹣2) (x+2) , 由 f'(x)=(x﹣2) (x+2)>0,解得 x>2 或 x<﹣2,此时函数单调递增, 由 f'(x)=(x﹣2) (x+2)<0,解得﹣2<x<2,此时函数单调递减,∴ C 结论正确. ∴ 当 x=﹣2 时,函数 f(x)取得极大值 f(﹣2)= ,∴ A 结论正确.

2

当 x=2 时,函数 f(x)取得极小值 f(2)=﹣ ,∴ B 结论正确. ∵ f(3)=1,f(﹣3)=7, ∴ f(x)在区间[﹣3,3]上的最大值为 f(﹣2)= ,∴ D 结论错误.

故选:D. 点评: 本题主要考查三次函数的图象和性质,利用导数和函数单调性和极值之间的关系是解决本题的关键,要求 熟练掌握函数的导数和性质之间的关系. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卡相应横线上) 11. (5 分)在等差数列{an}中,若 a3+a4+a5+a6+a7=90,则数列{an}的前 9 项的和为 162 . 考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析:

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由条件利用等差数列的性质求得 a5=18,再根据等差数列{an}的前 9 项的和 S9= 得结果. 解答: 解:在等差数列{an}中,∵ a3+a4+a5+a6+a7=90=5a5,∴ a5=18, ∴ 数列{an}的前 9 项的和为 S9= =9a5=162,

=9a5,计算求

故答案为:162. 点评: 本题主要考查等差数列的定义和性质,等差数列的前 n 项和公式,属于中档题. 12. (5 分)若命题“?x∈R,x +ax+1≥0”是真命题,则实数 a 的取值范围为 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 简易逻辑.
2

[﹣2,2] .

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分析: 此题实质上是二次不等式的恒成立问题,因为 x∈R,函数 y=x2+ax+1 的图象抛物线开口向上,所以只要判 别式不大于 0 即可. 2 解答: 解:因为命题“?x∈R,x +ax+1≥0”是真命题, 所以不等式 x +ax+1≥0 在 x∈R 上恒成立. 2 由函数 y=x +ax+1 的图象是一条开口向上的抛物线可知, 2 判别式△ ≤0 即 a ﹣4≤0?﹣2≤a≤2, 所以实数 a 的取值范围是[﹣2,2]. 故答案为:[﹣2,2]. 点评: 本题主要考查全称命题或存在性命题的真假及应用,解题要注意 x 的范围,如果 x?R,一定要注意数形结 合;还应注意条件改为假命题,有时考虑它的否定是真命题,求出 a 的范围.本题是一道基础题. 13. (5 分)过抛物线 y =4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1,y1) ,B(x2,y2)两点,若 x1+x2=6,则|AB|= 考点: 专题: 分析: 解答: 直线与圆锥曲线的关系. 计算题.
2 2 2

8



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抛物线 y =4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1,y1)B(x2,y2)两点,故|AB|=x1+x2+2,由此易得弦长值. 解:由题意,p=2,故抛物线的准线方程是 x=﹣1,
2

∵ 抛物线 y =4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1,y1)B(x2,y2)两点 ∴ |AB|=x1+x2+2, 又 x1+x2=6 ∴ ∴ |AB|=x1+x2+2=8 故答案为 8. 点评: 本题考查抛物线的简单性质,解题的关键是理解到焦点的距离与到准线的距离相等,由此关系将求弦长的 问题转化为求点到线的距离问题,大大降低了解题难度. 14. (5 分)在△ ABC 中,有等式:① asinA=bsinB;② asinB=bsinA;③ acosB=bcosA;④ 立的等式序号为 ② ④ . 考点: 三角函数恒等式的证明. 专题: 综合题. 分析: 利用正弦定理判断① 三角形是等腰三角形,即可判断正误; 对于② 满足正弦定理判断正确; 对于③ 通过正弦定理转化,得到三角形不满足一般三角形,判断正误; 对于④ 通过正弦定理与合分比定理即可判断它的正误. 解答: 解:对于① ,由正弦定理可知 asinA=bsinB,推出 A=B,三角形是等腰三角形,所以不正确; 对于② asinB=bsinA,即 sinAsinB=sinBsinA,恒成立,所以② 正确; 对于③ acosB=bcosA 可得 sin(B﹣A)=0,不满足一般三角形,所以不成立,不正确;
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.其中恒成

对于④ 由正弦定理以及合分比定理可知

正确;

故答案为:② ④ . 点评: 本题考查正弦定理的应用,合分比定理的应用,考查三角形的判断,基础题. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.) 3 2 15. (13 分)已知函数 y=x ﹣3x . (1)求函数的极小值; (2)求函数的递增区间. 考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性.

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专题: 导数的综合应用. 分析: (1)求函数 y 的导数,利用导数判定函数的极小值点并求出; (2)求函数 y 的导数大于 0 对应的 x 的取值范围,即是函数的递增区间. 3 2 解答: 解: (1)∵ y=x ﹣3x , ∴ y′ =3x ﹣6x=3x(x﹣2) , 当 0<x<2 时,y′ <0; 当 x>2 时,y′ >0. ∴ 当 x=2 时,函数有极小值﹣4. 2 (2)由 y′ =3x ﹣6x>0,解得 x<0 或 x>2, ∴ 递增区间是(﹣∞,0) , (2,+∞) . 点评: 本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值问题,是基础题. 16. (13 分)如图,在树丛中为了测量河对岸 A、B 两点之间的距离,观察者找到一个点 C,从 C 点可以观察到点 A,B;找到一个点 D,从 D 点可以观察到点 A,C;找到一个点 E,从 E 点可以观察到点 B,C.并测量得到图中 的一些数据,此外,∠ CDA=∠ CEB=60°. (1)求△ ABC 的面积; (2)求 A、B 两点之间的距离.
2

考点: 解三角形的实际应用. 专题: 解三角形. 分析: (1)先计算 AC,BC,再计算△ ABC 的面积; (2)△ ABC 中,利用余弦定理可求 A、B 两点之间的距离. 解答: 解: (1)Rt△ ACD 中,AC=16tan60°=16 .…(2 分) Rt△ BCE 中,BC=16tan60°=16 .…(4 分)
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∴ △ ABC 的面积为 (2)△ ABC 中, AB=

=192(m ) .…(6 分)

2

=

=

.…

(13 分) 点评: 本题考查三角形面积的计算,考查余弦定理的运用,考查学生的计算能力,属于中档题. 17. (13 分) (2013?福建)已知等差数列{an}的公差 d=1,前 n 项和为 Sn. (Ⅰ )若 1,a1,a3 成等比数列,求 a1; (Ⅱ )若 S5>a1a9,求 a1 的取值范围. 考点: 等差数列与等比数列的综合;不等关系与不等式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (I)利用等差数列{an}的公差 d=1,且 1,a1,a3 成等比数列,建立方程,即可求 a1; (II)利用等差数列{an}的公差 d=1,且 S5>a1a9,建立不等式,即可求 a1 的取值范围. 解答: 解: (I)∵ 等差数列{an}的公差 d=1,且 1,a1,a3 成等比数列,
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∴ ∴ ∴ a1=﹣1 或 a1=2; (II)∵ 等差数列{an}的公差 d=1,且 S5>a1a9, ∴ ∴ ∴ ﹣5<a1<2. 点评: 本题主要考查等差数列、等比数列、不等式等基础知识,考查运算能力,考查函数与方程思想,考查化归 与转化思想,属于中档题. 18. (13 分) 人们生活水平的提高, 越来越注重科学饮食. 营养学家指出, 成人良好的日常饮食应该至少提供 0.075kg 的碳水化合物,0.06kg 的蛋白质,0.06kg 的脂肪.1kg 食物 A 含有 0.105kg 碳水化合物,0.07kg 蛋白质,0.14kg 脂肪, 花费 28 元;而 1kg 食物 B 含有 0.105kg 碳水化合物,0.14kg 蛋白质,0.07kg 脂肪,花费 21 元.为了满足营养专家 指出的日常饮食要求,同时使花费最低,每天需要同时食用食物 A 和食物 B 多少 kg? 考点: 简单线性规划的应用. 专题: 计算题;数形结合. 分析: 利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应用.本题主要考查找出约束条件与目标 函数,准确地描画可行域,再利用图形直线求得满足题设的最优解. 解答: 解:设每天食用 xkg 食物 A,ykg 食物 B,总花费为 z 元,那么 则目标函数为 z=28x+21y,且 x,y 满足约束条件
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,…(3 分)

整理

,…(5 分)

作出约束条件所表示的可行域, 如右图所示.…(7 分) 将目标函数 z=28x+21y 变形为 .如图,作直线 28x+21y=0,当直线平移经过可行域,在过点 M 处时,y 轴上截距 此时 z 有最小值.…(9 分) 解方程组 ,得点 M 的坐标为 .…(12 分) 最小,即

∴ 每天需要同时食用食物 A 约 kg,食物 B 约 kg.…(13 分)

点评: 本题考查简单线性规划的应用,用图解法解决线性规划问题时,分析题目的已知条件,找出约束条件和目 标函数是关键,可先将题目中的量分类、列出表格,理清头绪,然后列出不等式组(方程组)寻求约束条 件,并就题目所述找出目标函数.然后将可行域各角点的值一一代入,最后比较,即可得到目标函数的最 优解. 19. (14 分)已知函数 f(x)=x +xsinx+cosx. (1)求 f(x)的最小值; (2)若曲线 y=f(x)在点(a,f(a) )处与直线 y=b 相切,求 a 与 b 的值. 考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 综合题;导数的综合应用. 分析: (1)由已知中函数的解析式,求导后判断函数的单调性,进而可得 f(x)的最小值; (2)若曲线 y=f(x)在点(a,f(a) )处与直线 y=b 相切,则 f′ (a)=0,b=f(a) ,进而可得 a 与 b 的值. 2 解答: 解: (1)由 f(x)=x +xsinx+cosx, 得 f′ (x)=2x+sinx+xcosx﹣sinx=x(2+cosx) . 令 f′ (x)=0,得 x=0. 列表如下:
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∴ 函数 f(x)在区间(﹣∞,0)上单调递减, 在区间(0,+∞)上单调递增, ∴ f(0)=1 是 f(x)的最小值; (2)∵ 曲线 y=f(x)在点(a,f(a) )处与直线 y=b 相切, ∴ f′ (a)=a(2+cosa)=0,b=f(a) , 解得 a=0,b=f(0)=1. 点评: 本题考查的知识点是导数在最大值、最小值问题中的应用,导数法研究曲线的切线,是导数较为综合的应 用,难度中档.

20. (14 分)已知直线 l:y=2x 与抛物线 C:y=

交于 A(xA,yA) 、O(0,0)两点,过点 O 与直线 l 垂直的直

线交抛物线 C 于点 B(xB,yB) .如图所示. (1)求抛物线 C 的焦点坐标; (2)求经过 A、B 两点的直线与 y 轴交点 M 的坐标; (3)过抛物线 y= 的顶点任意作两条互相垂直的直线,过这两条直线与抛物线的交点 A、B 的直线 AB 是否恒

过定点,如果是,指出此定点,并证明你的结论;如果不是,请说明理由.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (1)抛物线 C:y= 的方程化为标准形式,由此能求出抛物线 C 的焦点坐标.
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(2)联立方程组

,求出点 A 坐标.联立方程组

,求出点 B 坐标.由此求出直线 AB 的

方程,从而能求出点 M 的坐标. (3)结论:过抛物线 y= 的顶点任意作两条互相垂直的直线,过这两条直线与抛物线的交点的直线 AB 的顶点的一条直线为 y=kx(k≠0) ,另一条为 y=﹣ ,联立方程组

恒过定点(0,4) .设过抛物线 y=

,求出点 A 坐标.联立方程组

,求出点 B 坐标为(﹣ ,

) ,由此求出直线 AB 的

方程,从而能证明直线 AB 恒过定点(0,4) . 解答: 解: (1)抛物线 C:y= 的方程化为 x =4y,
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∴ 2p=4,p=2.…(2 分) ∴ 抛物线 C 的焦点坐标为(0,1) .…(4 分) (2)联立方程组 ,解得点 A 坐标为(8,16) .…(6 分)

联立方程组

,解得点 B 坐标为(﹣2,1) .…(7 分)

所以直线 AB 的方程为 y﹣1= 令 x=0,解得 y=4. ∴ 点 M 的坐标为(0,4) .…(9 分) (3)结论:过抛物线 y=

,…(8 分)

的顶点任意作两条互相垂直的直线,

过这两条直线与抛物线的交点的直线 AB 恒过定点(0,4) .…(10 分) 证明如下: 设过抛物线 y= 则另一条为 y=﹣ 的顶点的一条直线为 y=kx(k≠0) , ,

联立方程组

,解得点 A 坐标为(4k,4k ) .…(11 分)

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联立方程组

,解得点 B 坐标为(﹣ ,

) .…(12 分)

所以直线 AB 的方程为 y﹣

=

,…(13 分)

令 x=0,解得 y=4. ∴ 直线 AB 恒过定点(0,4) .…(14 分) 点评: 本题考查抛物线的焦点坐标的求法,考查直线与 y 轴交点坐标的求法,考查直线是否过定点的判断与证明, 解题时要熟练掌握抛物线与直线的位置关系的应用.

参与本试卷答题和审题的老师有:minqi5;孙佑中;yhx01248;wzj123;刘长柏;zhwsd;xintrl;haichuan;maths; caoqz;wdnah;qiss;742048;zlzhan(排名不分先后)
菁优网 2015 年 1 月 31 日


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