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第二次模拟考试文科数学试题


哈尔滨市第六中学 2013 届高三第二次模拟考试 数学试卷(文史类)
考试说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上. 2.做答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,写在本试卷上无效. 3.做答第Ⅱ卷时,请按题号顺序在各题目规定的答题区域内做答,超出答题区域书写的答案 无效,在草稿纸、试题卷上答题无效. 4.保持答题卡面清洁,不得折叠、不要弄破、弄皱,不准用涂改液、修正带、刮纸刀.

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的.

1. 设集合 A ? {x | lg( x ? 3) ? 0}, B ? {x | x2 ? 5x ? 4 ? 0} ,则 A ? B ? ( (A) (1, 4) (B) (1, 4] (C) (??, 4]

)

(D) (??, 4) ) (D) 10 ) (D)4 ) (D) ? 3

2.已知 a ? R ,若复数 z ? (A) 13

a ? 2i 为纯虚数,则 | 3 ? ai |? ( 1? i
(C) 10

(B) 13

3.已知向量 a, b 满足 a ? b ? 0, a ? b ? (?3,4) ,则 | a ? b | =( (A)25 (B)5 (C) 3

4.已知 ? ? ?0, ? ? , cos(? ? (A)

?
3

)?? 3 3

2 ,则 tan 2? ? ( 2
(C) 3 )

3 3

(B) ?

5.曲线 y ? sin x ? ex ? 2 在 x ? 0 处的切线方程为( (A) y ? x ? 3 (C) y ? 2 x ? 1 (B) y ? x ? 2 (D) y ? 2 x ? 3

6.已知某程序框图如图所示,则执行该程序后输出的结果 是( )

(A) ? 1 (C)2 7.已知函数 f ( x) ?

(B)

1 2

(D)1

1 1 2 cos 2 x ? sin 2 x ? sin x cos x ? ,则( ) 2 2 2 3? 3? (A) y ? f (x) 在 x ? 时取得最小值 2 ,其图像关于点 ( ,0) 对称 8 8 3? 5? (B) y ? f (x) 在 x ? 时取得最小值 0 ,其图像关于点 ( ,0) 对称 8 8 3? 7? ? (C) y ? f (x) 在 ( , ) 单调递减,其图像关于直线 x ? ? 对称 8 8 8 ? 3? 7? (D) y ? f (x) 在 ( , ) 单调递增,其图像关于直线 x ? ? 对称 8 8 8 甲 8.某林管部门在每年植树节前,为保证树苗的质量,
都会对树苗进行检测。现从甲、乙两种树苗中各 抽取 10 株,测量其高度,所得数据如茎叶图所示, 则下列描述正确的是( ) 9 95310 1237 1 2 3 4

乙 040 67 0 4667

(A)甲树苗的平均高度大于乙树苗的平均高度,且甲树苗比乙树苗长得整齐 (B)甲树苗的平均高度大于乙树苗的平均高度,但乙树苗比甲树苗长得整齐 (C)乙树苗的平均高度大于甲树苗的平均高度,但甲树苗比乙树苗长得整齐 (D)乙树苗的平均高度大于甲树苗的平均高度,且乙树苗比甲树苗长得整齐

?2? x ,( x ? 0) ? (a ? R) ,则下列结论正确的是( 9.已知函数 f ( x) ? ? 2 ?? x ? 2ax ? 1,( x ? 0) ?
(A) ?a ? R, f ( x) 有最大值 f (a) (C) ?a ? R, f ( x) 有唯一零点 (B) ?a ? R, f ( x) 有最小值 f (0)



(D) ?a ? R, f ( x) 有极大值和极小值

10.某企业准备投资 A、B 两个项目,资金来源主要由企业自筹和银行贷款两部分构成,具体 情况如下表:投资 A 项目资金不超过 160 万元,B 项目不超过 200 万元,预计建成后,自 筹资金每份获利 12 万元,银行贷款每份获利 10 万元,为获得总利润最大,两部分资金分 别投入的份数是( ) 项目 A B 自筹每份资金 20 40 银行贷款每份资金 30 30 (B)自筹资金 3 份,银行贷款 3 份 (D)自筹资金 2 份,银行贷款 2 份

(A)自筹资金 4 份,银行贷款 2 份 (C)自筹资金 2 份,银行贷款 4 份

1 [,3 11. 已知函数 f ( x) ? loga [( ? 2) x ? 1] , x ? 1] 当 a 1 (A) ( ,1) 2 1 3 (B) ( , ) 2 5

时, f ( x) ? 0 , 则实数 a 的取值范围是 (



(C) (1, ??)

3 (D) (0, ) 5

12.已知过原点的直线与椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 交于 A,B 两点, F 为椭圆的左焦点 a 2 b2

AF ? BF ,且 | AF |? 2 | BF | ,则椭圆的离心率为(



(A)

3 ?1 2

(B)

2 2 3

(C)

5 3

(D) 3 ? 1

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

本卷包括必考题和选考题两部分, 13 题~第 21 题为必考题, 第 每个试题考生都必须做答, 第 22 题~24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.
x2 y 2 y 2 x2 ? ? 1 有相同的渐近线,且 C1 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 与双曲线 C2 : 4 16 a2 b

13.已知双曲线 C1 : 的

一个焦点为 (0, 5 ) ,则 a ?



14.长方体 ABCD ? A1B1C1D1 的各个顶点都在体积为 则四棱锥 O-ABCD 的体积的最大值为

32? 的球 O 的球面上,其中 AA1 ? 2 , 3


? 15. ABC 的内角 A, B, C 的对边长分别为 a , b, c , 若 a 2 ? c 2 ? b ,

且 sin A cos C ? 2 cos A sin C , 则 b ? ___

__.

16.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体 的体积等于 .

三、解答题:解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 12 分) 已知等比数列 ?a n ? 递增数列, a 2 a5 ? 32, a3 ? a 4 ? 12 ,数列 ?bn ?满足 bn ? log 2 a n (Ⅰ)求数列 ?bn ?的通项公式; (Ⅱ)求数列 ?a n ? bn ?的前 n 项和 S n .

(18) (本小题满分 12 分) 某班对喜爱打篮球是否与性别有关进行了调查,以本班的 50 人为对象进行了问卷调查得 到了如下的列联表: 喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合 计 5 男生 10 女生 50 合计 已知在全部 50 人中随机抽取 1 人,抽到喜爱打篮球的学生的概率为

3 5

(Ⅰ)请将上面的列联表补充完整; (Ⅱ)是否有 99 .9 %的把握认为喜爱打篮球与性别有关?说明你的理由; (Ⅲ)已知不喜爱打篮球的 5 位男生中, A1 , A2 , A3 喜欢踢足球, B1 , B2 喜欢打乒乓球,现再 从喜欢踢足球、 喜欢打乒乓球的男生中各选出 1 名同学进行其他方面的调查, A1 和 B1 求 至少有一个被选中的概率. 附: n(ad ? bc) 2 2 P( K 2 ? k ) 0.05 0.01 0.001

K ?

(a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

k

3.841

6.635

10.828

(19) (本小题满分 12 分) 如 图 , 三 棱 柱 A B C? A B C , 侧 棱 与 底 面 垂 直 , 1 1 1中
AB ? BC , AB ? BC ? BB1 ? 2 , M , N 分别是 AB, A1C 的中点

(Ⅰ)求证: MN ∥平面 BCC1 B1 ; (Ⅱ)求证: MN ⊥平面 A1B1C ; (Ⅲ)求三棱锥的体积 M ? A1B1C 的体积.

(20) (本小题满分 12 分) 已知抛物线 C : y 2 ? 4x ,点 M(m,0)在 x 轴的正半轴上,过 M 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点,O 为坐标原点. (Ⅰ)若 m=1,l 的斜率为 1,求以 AB 为直径的圆的方程; (Ⅱ)若存在直线 l 使得 | AM |, | OM |, | MB | 成等比数列,求实数 m 的取值范围.

(21)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? 2a ln x ? (a ? 2) x, a ? R 2

(Ⅰ)当 a ? 0 时,讨论函数 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)是否存在实数 a ,对任意的 x1 , x2 ? (0, ??) ,且 x1 ? x2 ,有 成立,若存在,求出 a 的取值范围;若不存在,说明理由.

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? a恒 x2 ? x1

请考生在题(22) (23) (24)中任选一题作答,如果多做,则按所做的的第一题计分.做 题时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. (22)(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,A,B,C,D 四点在同一圆上, BC 与 AD 的延长线交于点 E ,点 F 在 BA 的延长线上. (Ⅰ)若
F A

EC 1 ED 1 DC ? , ? ,求 的值; EB 3 EA 2 AB
2

D

B

(Ⅱ)若 EF

? FA ? FB ,证明: EF // CD .

E

C

(23) (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 极坐标系与直角坐标系 xOy 有相同的长度单位,以原点 O 为极点,以 x 正半轴为极轴,

? x ? m ? t cos ? 已知曲线 C1 的极坐标方程为 ? ? 4 cos ? ,曲线 C 2 的参数方程是 ? ( t 为参数, ? y ? t sin ?
0 ? ? ? ? ) ,射线 ? ? ?, ? ? ? ?

?
4

,? ? ? ?

?
4

与曲线 C1 交于极点 O 外的三点 A, B, C

(Ⅰ)求证: | OB | ? | OC |? 2 | OA | ; (Ⅱ)当 ? ?

?
12

时, B, C 两点在曲线 C 2 上,求 m 与 ? 的值.

(24) (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知 a , b, c 均为正数 (Ⅰ)证明: a 2 ? b 2 ? c 2 ? ( ?

1 a

1 1 2 ? ) ? 6 3 ,并确定 a , b, c 如何取值时等号成立; b c

(Ⅱ)若 a ? b ? c ? 1 ,求 3a ? 1 ? 3b ? 1 ? 3c ? 1 的最大值.


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