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北京市丰台区2013届高三上学期期末考试数学理试题


丰台区 2012~2013 学年度第一学期期末练习 高三数学(理科) 一、选择题:共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.设全集 U={1,3,5,7},集合 M={1, a ? 5 }, CU M ? {5,7},则实数 a 的值为 (A)2 或-8 2.“ x ? 0 ”是“ x ?
1 x

(B) -2 或-8
? 2 ”的

(C) -2 或 8

(D) 2 或 8

(A) 充分但不必要条件 (C) 充分且必要条件

(B) 必要但不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件

3.从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2 个球,则恰有一个红球的概率是 (A)
1 3

(B)

1 2

(C)

2 3

(D)

5 6

4.如图,某三棱锥的三视图都是直角边为 2 的等腰直角三角形,则该三 锥的四个面的面积中最大的是 (A)
3



(B) 2 3

(C) 1

(D) 2 析

5.函数 y ? 2 sin(? x ? ? ) 在一个周期内的图象如图所示,则此函数的解 式可能是 (A) (B) (C) (D)
y ? 2 sin(2 x ?

?
4

)

y ? 2 sin(2 x ? y ? 2 sin( x ? y ? 2 sin( x 2

?
4

)

3? 8 ?

)

7? 16

)

6.执行如图所示的程序框图,则输出的 S 值为( ? x ? 表示不超过 x 的最 数) (A) 4 (B) 5 (C) 7 (D) 9

开 始


S=0, n=0



S ? S ? ? ?

n? ?

n=n+1 否

7.在平面直角坐标系 xOy 中,已知 A(1,0),B(0,1) ,点 C 在第二象
?AOC ? 5? 6

,且|OC|=2,若 OC ? ? OA ? ? OB ,则 ? , ? 的值是

??? ?

??? ?

??? ?

n>4? 是 输出 S 结 束

限内,





(A)

3 ,1

(B) 1, 3

(C) -1, 3

(D) - 3 ,1

8.已知函数 f(x)= ax 2 ? bx ? c ,且 a ? b ? c, a ? b ? c ? 0 ,集合 A={m|f(m)<0},则 (A) ?m ? A, 都有 f(m+3)>0 (C) ?m0 ? A, 使得 f(m0+3)=0 (B) ?m ? A, 都有 f(m+3)<0 (D) ?m0 ? A, 使得 f(m0+3)<0

二、填空题:共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.某高中共有学生 900 人,其中高一年级 240 人,高二年级 260 人,为做某项调查,拟采用分层抽样法 抽取容量为 45 的样本,则在高三年级抽取的人数是 10.已知直线 y=x+b 与平面区域 C: ? ________. 11. l1 , l2 是分别经过 A(1,1),B(0,?1)两点的两条平行直线,当 l1 , l2 间的距离最大时,直线 l1 的方程 是
2

______.

?| x |? 2, ?| y |? 2

的边界交于 A,B 两点,若|AB|≥2 2 ,则 b 的取值范围是


2 2 2

12.圆 ( x ? a ) ? y ? 1 与双曲线 x ? y ? 1 的渐近线相切,则 a 的值是 _______. 13.已知 ?ABC 中,AB= 3 ,BC=1,sinC= 3 cosC,则 ?ABC 的面积为______. 14.右表给出一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列,从第三行起, 等 比 数 列 , 而 且 每 一 行 的 公 比 都 相 等 , 记 第 i 行 第 j 列 的 数 为 aij ( i ? j , i, j ? N ) ,则 a53 等于
*

1 4 1 2 3 4

每一行数成
1 4

, ,

, amn ? ______(m ? 3) .

3 8



3 16

三、解答题:共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明 15. (本题共 13 分)



过程.

函数 f ( x) ? lg( x ? 2 x ? 3) 的定义域为集合 A,函数 g ( x) ? 2 x ? a ( x ? 2) 的值域为集合 B.
2

(Ⅰ)求集合 A,B; (Ⅱ)若集合 A,B 满足 A ? B ? B ,求实数 a 的取值范围. 16. (本题共 13 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,锐角 ? 和钝角 ? 的终边分别与单位圆交于 A , B 两点.

(Ⅰ)若点 A 的横坐标是 的值; (Ⅱ) 若∣AB∣= 17. (本题共 14 分)
3 2

3 5

,点 B 的纵坐标是

12 13

,求
B

y A

sin(? ? ? )

, 求 OA ? OB 的值.
O

??? ??? ? ?

x

如 图 , 在 三 棱 锥 P-ABC 中 , PA=PB=AB=2 , BC ? 3 ,
?ABC ? 90 ° ,平面 PAB ? 平面 ABC,D、E 分别为 AB、AC

P

中点.

(Ⅰ)求证:DE‖平面 PBC; (Ⅱ)求证:AB ? PE; (Ⅲ)求二面角 A-PB-E 的大小. 18. (本题共 14 分)
B D A E C

已知函数 f ( x) ? -3 和 0.

ax ? bx ? c
2

e

x

( a ? 0) 的导函数 y ? f '( x ) 的两

个零点为

(Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若 f(x)的极小值为 ?e3 ,求 f(x)在区间 [?5, ??) 上的最大值. 19. (本题共 13 分) 曲线 C1 , C2 都是以原点 O 为对称中心、离心率相等的椭圆.点 M 的坐标是(0,1) ,线段 MN 是 C1 的 短轴,是 C2 的长轴.直线 l : y ? m(0 ? m ? 1) 与 C1 交于 A,D 两点(A 在 D 的左侧) ,与 C2 交于 B,C 两点(B 在 C 的左侧) . (Ⅰ)当 m=
3 2

, AC ?

5 4

时,求椭圆 C1 , C2 的方程;

(Ⅱ)若 OB∥AN,求离心率 e 的取值范围. 20. (本题共 13 分) 已知曲线
C : y ? 2 x( y ? 0)
2



A1 ( x1 , y1 ), A2 ( x2 , y2 ), ? ? ?, An ( xn , yn ), ? ? ?

是曲线 C 上的点,且满足

0 ? x1 ? x2 ? ? ? ? ? xn ? ? ? ? ,一列点 Bi ( ai , 0)(i ? 1, 2, ? ? ?)

在 x 轴上,且 ?Bi ?1 Ai Bi ( B0 是坐标原点)是以 Ai 为直角

顶点的等腰直角三角形. (Ⅰ)求 A1 、 B1 的坐标;

(Ⅱ)求数列 { yn } 的通项公式;
1 ai

(Ⅲ)令 bi ?

, ci ?

?

2

?

? yi
n n

2

,是否存在正整数 N,当 n≥N 时,都有 ? bi ? ? ci ,若存在,求出 N 的
i ?1 i ?1

最小值并证明;若不存在,说明理由.

丰台区 2012~2013 学年度第一学期期末练习 高三数学(理科)参考答案
一、选择题 题号 答案 二、填空题: 9.20;
3 2

1 D

2 C

3 C

4 A

5 B

6 C

7 D

8 A

10.[-2,2] ;
5 16 m 2
n ?1

11. x+2y-3=0;

12. ? 2 (只写一个答案给 3 分);

13. 三.解答题



14.

,

(第一个空 2 分,第二个空 3 分)

15. (本题共 13 分)函数 f ( x) ? lg( x ? 2 x ? 3) 的定义域为集合 A,函数 g ( x) ? 2 x ? a ( x ? 2) 的值域为
2

集合 B. (Ⅰ)求集合 A,B; (Ⅱ)若集合 A,B 满足 A ? B ? B ,求实数 a 的取值范围. 解: (Ⅰ)A= {x | x ? 2 x ? 3 ? 0}
2

= {x | ( x ? 3)( x ? 1) ? 0} = {x | x ? ?1, 或x ? 3} ,..………………………..……3 分 B= { y | y ? 2 ? a, x ? 2} ? { y | ? a ? y ? 4 ? a} . ………………………..…..7 分
x

(Ⅱ)∵ A ? B ? B ,∴ B ? A , ..……………………………………………. 9 分 ∴ 4 ? a ? ?1 或 ? a ? 3 , …………………………………………………………...11 分 ∴ a ? ?3 或 a ? 5 ,即 a 的取值范围是 (??, ?3] ? (5, ??) .…………………….13 分

16. (本题共 13 分) 如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, 锐角 ? 和
y

钝角 ?
B A

的终边分别与单位圆交于 A , B 两点. (Ⅰ)若点 A 的横坐标是
sin(? ? ? ) 的值;

3 5

,点 B 的纵坐标是

12 13

,求
O x

(Ⅱ) 若∣AB∣=

3 2

, 求 OA ? OB 的值.

??? ??? ? ?

解: (Ⅰ)根据三角函数的定义得,
cos ? ? 3 5



sin ? ?

12 13

. ………………………………………………………2 分
4 5

∵ ? 的终边在第一象限,∴ sin ? ? ∵ ? 的终边在第二象限,∴

. ……………………………………………3 分
5 13

cos ? ? ?

.………………………………………4 分
4 5 ?( ? 5 13 )+ 3 5 ? 12 13

∴ sin(? ? ? ) = sin ? cos ? ? cos ? sin ? = (Ⅱ)方法(1)∵∣AB∣=| AB |=| OB ? OA |,
??? ? ??? ?
2

=

16 65

.……………7 分

??? ?

??? ?

??? ?

……………………………………9 分
??? ??? ? ?

又∵ | OB ? OA | ? OB ? OA ? 2OA ? OB ? 2 ? 2OA ? OB ,…………………11 分 ∴ 2 ? 2OA ? OB ?
??? ??? ? ? 1 8 ??? ??? ? ? 9 4

??? 2 ?

??? 2 ?

??? ??? ? ?



∴ OA ? OB ? ? .…………………………………………………………………13 分
| OA | ? | OB | ? | AB |
2 2 2

方法(2)∵ cos ?AOB ?
??? ??? ? ?
??? ? ??? ?

??

1 8

, …………………10 分

2 | OA || OB |

∴ OA ? OB = | OA || OB | cos ?AOB ? ?

1 8

. ………………………………… 13 分

17.(本题共 14 分)如图,在三棱锥 P-ABC 中,PA=PB=AB=2,
BC ? 3 ,?ABC ? 90 ° ,平面 PAB ? 平面 ABC, 、 分别为 AB、 D E
P

AC

中点. (Ⅰ)求证:DE//平面 PBC; (Ⅱ)求证:AB ? PE; (Ⅲ)求二面角 A-PB-E 的大小.
D B A E C

解: (Ⅰ)? D、E 分别为 AB、AC 中点, ?DE//BC .
? DE?平面 PBC,BC?平面 PBC,

P _

?DE//平面 PBC .…………………………4 分 (Ⅱ)连结 PD,
? PA=PB, ?

PD ? AB. …………………………….5 分 AB,
B _ D _

A _ E _ C _

? DE / / BC ,BC ? ?

DE ? AB. .... .......................................................................................................6 分

又? PD ? DE ? D ,
? AB ? 平面 PDE.......................................................................................................8 分

? PE?平面 PDE,
? AB ? PE

. ..........................................................................................................9 分

(Ⅲ)? 平面 PAB ? 平面 ABC,平面 PAB ? 平面 ABC=AB,PD ? AB,
?

PD ? 平面 ABC.................................................................................................10 分

如图,以 D 为原点建立空间直角坐标系
? B(1,0,0),P(0,0,

3 ),E(0,
??? ?

3 2

,0) ,
3

z P _

??? ? ? PB =(1,0, ? 3

), PE =(0,

, ? 3) .

2 ?? 设平面 PBE 的法向量 n1 ? ( x, y, z ) ,

? x ? 3 z ? 0, ? 令z ? ? ?3 ? y ? 3 z ? 0, ?2

3
D _ B _

A _ E _ y C _

?? 得 n1 ? (3, 2,

3) .

............................11 分 x

? DE ? 平面 PAB,

?? ? ? 平面 PAB 的法向量为 n2 ? (0,1, 0) .………………….......................................12 分

设二面角的 A ? PB ? E 大小为 ? ,
?? ?? ? ?? ?? ? | n1 ? n2 | 1 由图知, cos ? ? cos ? n1 , n2 ?? ?? ?? ? , ? 2 n1 ? n2

所以 ? ? 60?, 即二面角的 A ? PB ? E 大小为 60? . ..........................................14 分
ax ? bx ? c
2

18. (本题共 14 分)已知函数 f ( x) ? (Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间;

e

x

( a ? 0) 的导函数 y ? f '( x ) 的两个零点为-3 和 0.

(Ⅱ)若 f(x)的极小值为 ?e3 ,求 f ( x) 在区间 [?5, ??) 上的最大值.
(2ax ? b)e ? ( ax ? bx ? c )e
x 2 x

解: (Ⅰ) f ?( x) ?

(e )
2

x

2

?

? ax ? (2a ? b) x ? b ? c
2

e

x

........2 分

令 g ( x) ? ? ax ? (2a ? b) x ? b ? c ,
2 因为 e x ? 0 ,所以 y ? f '( x) 的零点就是 g ( x) ? ? ax ? (2a ? b) x ? b ? c 的零点,且 f ?( x) 与 g ( x) 符

号相同. 又因为 a ? 0 ,所以 ?3 ? x ? 0 时,g(x)>0,即 f ?( x) ? 0 , ………………………4 分 当 x ? ?3, x ? 0 时,g(x)<0 ,即 f ?( x) ? 0 , …………………………………………6 分 所以 f ( x) 的单调增区间是(-3,0),单调减区间是(-∞,-3)(0,+∞) , .……7 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, x =-3 是 f ( x) 的极小值点,所以有
? 9a ? 3b ? c 3 ? ?e , ?3 ? e ? ?b ? c ? 0, ? ?9a ? 3(2a ? b) ? b ? c ? 0, ? ?

解得 a ? 1, b ? 5, c ? 5 ,
x ? 5x ? 5
2

…………………………………………………………11 分

所以 f ( x) ?

e

x

.

, ? f ( x ) 的单调增区间是(-3,0),单调减区间是(-∞,-3),(0,+∞)
? f (0) ? 5 为函数 f ( x ) 的极大值,

…………………………………………………12 分

? f ( x ) 在区间 [ ?5, ??) 上的最大值取 f ( ?5) 和 f (0) 中的最大者.

…………….13 分
5

而 f (?5) ?

5 e
?5

? 5e >5,所以函数 f(x)在区间 [ ?5, ??) 上的最大值是 5e ..…14 分
5

19. (本题共 13 分)曲线 C1 , C2 都是以原点 O 为对称中心、离心率相等的椭圆 . 点 M 的坐标是(0,1), 线段 MN 是 C1 的短轴, C2 的长轴 . 直线 l : y ? m(0 ? m ? 1) 与 C1 交于 A,D 两点 是 (A 在 D 的左侧) 与 C2 , 交于 B,C 两点(B 在 C 的左侧) . (Ⅰ)当 m=
3 2

, AC ?

5 4

时,求椭圆 C1 , C2 的方程;

(Ⅱ)若 OB∥AN,求离心率 e 的取值范围. 解: (Ⅰ)设 C1 的方程为
x a
2 2

? y ? 1 ,C2 的方程为
2

x b

2 2

? y ? 1 ,其中 a ? 1, 0 ? b ? 1 ...2 分
2

? C1 ,C2 的离心率相同,所以

a ?1
2

a
? C2 的方程为 a x ? y ? 1 .
2 2 2

2

? 1 ? b ,所以 ab ? 1 ,……………………….…3 分
2

当 m=

3 2

时,A ( ?
5 4

a 2

,
1

3 2

) ,C (
a 2
2

1 2a

,

3 2

) . .………………………………………….5 分
1 2
2 2

又? AC ?

,所以,
x

?

?

5 4

,解得 a=2 或 a=

(舍), ………….…………..6 分

2a
2

? C1 ,C2 的方程分别为

? y ? 1 , 4 x ? y ? 1 .………………………………….7 分
1 a

4

(Ⅱ)A(- a 1 ? m ,m), B(2

1 ? m ,m) . …………………………………………9 分
2

? OB∥AN,? kOB ? k AN , ?

m ? 1 a 1? m
2
2

?

m ?1 ?a 1 ? m
2

,? m ?

1 a ?1
2

. …………………………………….11 分

e ?
2

a ?1 a
2

,? a 2 ?

1 1? e
2

,? m ?

1? e e
2
2

2

. ………………………………………12 分

? 0 ? m ? 1 ,? 0 ?

1? e e
2

2

? 1 ,?

? e ? 1 .........................................................13 分

2
? 2 x( y ? 0) , A1 ( x1 , y1 ), A2 ( x2 , y2 ), ? ? ?, An ( xn , yn ), ? ? ? 是曲线

20.(本题共 13 分)已知曲线 C : y 2

C 上的点,且满

足 0 ? x1 ? x2

? ? ? ? ? xn ? ? ? ? ,一列点 Bi ( ai , 0)(i ? 1, 2, ? ? ?)

在 x 轴上,且 ?Bi ?1 Ai Bi ( B0 是坐标原点)是以 Ai 为直

角顶点的等腰直角三角形. (Ⅰ)求 A1 , B1 的坐标; (Ⅱ)求数列 { yn } 的通项公式;
1 ai

(Ⅲ)令 bi ?

, ci ?

?

2

?

? yi
n n

2

,是否存在正整数 N,当 n≥N 时,都有 ? bi ? ? ci ,若存在,写出 N
i ?1 i ?1

的最小值并证明;若不存在,说明理由. 解: (Ⅰ)? ?B0A1B1 是以 A1 为直角顶点的等腰直角三角形,
? 直线 B0A1 的方程为 y=x.

?y ? x ? 由 ? y 2 ? 2 x 得 x1 ? y1 ? 2 ,即点 A1 的坐标为(2,2) ,进而得 B1 (4, 0) .…..3 分 ?y ? 0 ?

(Ⅱ)根据 ?Bn ?1 An Bn 和 ?Bn An ?1 Bn ?1 分别是以 An 和 An ?1 为直角顶点的等腰直角三角形可
? an ? xn ? yn ,即 xn ? yn ? xn ?1 ? yn ?1 . (*) …………………………..5 分 ? ? an ? xn ?1 ? yn ?1
? An 和 An ?1 均在曲线 C : y ? 2 x( y ? 0) 上,? yn ? 2 xn , yn ?1 ? 2 xn ?1 ,
2 2 2



? xn ?

yn 2

2

, xn ?1 ?

yn ?1 2
*

2

2 2 ,代入(*)式得 yn ?1 ? yn

? 2( yn ?1 ? yn ) ,

? yn ?1 ? yn ? 2(n ? N ) ,

………………………………………………………..7 分

? 数列 { yn } 是以 y1 ? 2 为首项,2 为公差的等差数列, ? 其通项公式为 yn ? 2n ( n ? N ). ……………………………………………....8 分
*

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知, xn ?

yn 2

2

? 2n ,
2

? an ? xn ? yn ? 2 n( n ? 1) ,

……………………………………………………9 分

? bi ?

1 2i (i ? 1)
1

, ci ?

?
1

2

?

? yi

?

1 2
i ?1



2

n

? ? bi ?
i ?1

2(1? 2)

?

2(2 ? 3)

?? ?

1 2n (n ? 1)

=

1 2

(1 ?

1 2

?

1 2

?

1 3

?? ?

1 n

?

1 n ?1

) =

1 2

(1 ?

) .….……………..…………10 分 n ?1

1

1
n

?c
i ?1

i

?

1 2
2

?

1 2
3

?? ?

1 2
n ?1

(1 ? 1?

1 2 1 2
n

) ?

? 4

1 2

(1 ?

1 2
n

) . ……………………….11 分

n

n

(方法一) ? bi - ? ci =
i ?1 i ?1

1 2

(1 ?

)- (1 ? n ) ? ( n ? ) ? n ?1 . n ?1 2 2 2 2 n ?1 2 ( n ? 1)

1

1

1

1

1

1

n ?1? 2

n

当 n=1 时 b1 ? c1 不符合题意, 当 n=2 时 b2 ? c2 ,符合题意,
n n

猜想对于一切大于或等于 2 的自然数,都有 ? bi ? ? ci . ? ) (
i ?1 i ?1

观察知,欲证( ? )式,只需证明当 n≥2 时,n+1<2n 以下用数学归纳法证明如下: (1)当 n=2 时,左边=3,右边=4,左边<右边; (2)假设 n=k(k≥2)时,(k+1)<2k, 当 n=k+1 时,左边=(k+1)+1<2k+1<2k+2k=2k+1=右边,
n n

? 对于一切大于或等于

2 的正整数,都有 n+1<2n ,即 ? bi < ? ci 成立.
i ?1 i ?1

综上,满足题意的 n 的最小值为 2. ……………………………………………..13 分
n n

(方法二)欲证 ? bi ? ? ci 成立,只需证明当 n≥2 时,n+1<2n.
i ?1 i ?1

? 2 ? ?1 ? 1? ? Cn ? Cn ? Cn ? Cn ? ... ? Cn ? 1 ? n ? Cn ? Cn ? ... ? Cn ,
n n 0 1 2 3 n 2 3 n
2 3 n 并且 Cn ? Cn ... ? Cn ? 0 ,

? 当 n ? 2 时, 2 ? n ? 1 .
n


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