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2007-2008学年第一学期《随机数学(B)》期末考试试卷_A_答案














2007-2008 学年第一学期《随机数学(B)》期末考试试卷(A)答案
学院_____________ 学号_______________
题号 得分 阅卷人 一 二

专业___________________ 姓名_____________
三 四 五 六

班级____________









总分

一.填空题(本题满分 15 分,共有 5 道小题,每道小题 3 分)请将合适的答案填在每题的空中 1.设 A 、 B 是二个随机事件, P ? B ? ? 0 . 6 , P ? A B ? ? 0 . 3 ,则 P ? A ? B ? ? __0.7_____.

2.设随机变量 X 的分布函数为
?0, x ? 0 ? 2 F ( x ) ? ? x ,0 ? x ? 1 ?1 , x ? 1 ?

?0, x ? 0 ? 则 X 的概率密度为: _____ f ( x ) ? ? 2 x , 0 ? x ? 1 ___. ?0, x ? 1 ?

3.设 EX ? 1 , DX ? 2 , EY ? 1 , DY ? 1 , ? XY ? 0 . 6 , 则 E ( 2 X ? Y ? 1 ) = 132

12 5

2 .

4.设二维随机变量 ? X ,

Y ? 的联合密度函数为
? kxy y? ? ? ?0 0? x ? y ? 1 其它

f

? x,

则 k ? 8.

5.设总体 X 服从二项分布 B ( m , p ) ,则参数 p 的最大似然估计量 p ? 第 1 页 共 10 页

?

X m



二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.在每小题给出的四个选项中,将符合题目要求的 所有选项前的字母填在题后的括号内,注:不一定唯一。 ) 1.设 A 、 B 为两个相互独立的随机事件,则下列选项一定正确的是

?A? . P ?A ?

B ? ? P ( A ) ? P ?B ? ;
P(B) ;

?B ? . P ?A

B?? P(A) ;

?C ? . P ? A B ? ?

? D ? . P ( AB

) ? P ( A)P (B ) .

【 B,D 】 2.当随机变量 X 的可能值充满区间________,则 f ( x ) ? cos x 可以成为随机变量 X 的分布密度

? A ? .[0 ,

?
2

];

?B ? .[
3 2

?
2

, ? ];

?C ? . [ 0 ,

? ];

? D ? .[

?,

7 4

? ].

【 3.设 X ~ N ? 2 , 4 ? , Y ? aX ? b ,其中 a 、 b 为常数,且 Y ~ N ? 0 , 1 ? ,则

A



?A? .a

? ?

1 2

, b ? 1;

?B ? . a

? ?2, b ? ?1 ;

?C ? . a

?

1 2

, b ? ?1 ;

?D ? . a

? 2, b ? ?2 .

【 A,C 】 4.如果随机变量 X,Y 不相关,则下列等式不成立的为

?A? . ?C ? .

cov( X , Y ) ? 0 ; D ( XY ) ? D ( X ) D (Y ) ;

?B ? . ?D ? .

D ( X ? Y ) ? D ( X ) ? D (Y ) ; E ( XY ) ? E ( X ) E ( Y ) .

【 5.设 X 为随机变量,若 E ? X ? ? 1 , D ? X ? ? 0 . 1 ,则一定有

C



?A? . ?C ?

P { ? 1 ? X ? 1} ? 0 .9 ;

?B ? . ?D ? . P {

P { 0 ? X ? 2 } ? 0 .9 ;
X ? 1} ? 0 .1 .

P { X ? 1 ? 1} ? 0 .9 .;

【 第 2 页 共 10 页

B



三. (本题满分 10 分) 设有来自三个地区的各 10 名,15 名和 20 名考生的报名表,其中女生的报名表分别为 3 份,7 份和 5 份.随机地取一个地区的报名表,从中先后抽二份 ⑴ 求先抽到的一份是女生表的概率. ⑵已知后抽到的一份是男生表,求先抽到的一份是女生表的概率.

解:设 H i ={报名表是 i 区的考生的} i=1,2,3;
A j ={第 j 次抽到的报名表是男生表},j=1,2,则 H 1 , H 2 , H 3 是样本空间 S 的一个划分,且有
P(H i ) ? 1 3
?

, i ? 1, 2 , 3

P ( A1 H 1 ) ?

3 10

?

, P ( A1 H 2 ) ?

7 15

?

, P ( A1 H 3 ) ?

5 20

…4

(1)由全概率公式
?

P ? P ( A1 ) ?

?
i ?1

3

?

P ( H i ) P ( A1 H i ) ?

1 3

?

3 10

?

1 3

?

7 15

?

1 3

?

5 20

?

61 180

? 0 . 3389

…4

(2)由贝叶斯公式:
? ?

q ? P ( A1 A 2 ) ?

P ( A1 A 2 ) P ( A2 )

?
?
i ?1 3

3

?

P ( H i ) P ( A1 A 2 H i )
?

?
i ?1

P ( H i ) P ( A2 H i )

1? 3 7 7 8 5 15 ? ? ? ? ? ? ? ? 2385 3 ? 10 9 15 14 20 19 ? ? ? ? 0 .3 5 2 119 2783 180

…3 四. (本题满分 10 分)
? Ax 2 e ? ? x , x ? 0 ?0, x ? 0

设随机变量 X 的密度函数为 f ( x ) ? ? 求: ⑴ 系数 A;

, (? ? 0) 。

⑵ X 落在区间(0,1)内的概率;

(3) X 的分布函数。

解: (1)根据概率密度函数的性质易知 A>0,其次有
?? ?? ?? 0 ??x

?

f ( x ) dx ?

?

Ax e

2

dx ?

2A

?

3

? 1 ,于是 A ?

?

3

2

? ? 3 2 ? ?x x e ,x ? 0 ? , f (x) ? ? 2 ?0, x ? 0 ?

…4

(2) 当 x ? 0 时, F ( x ) ? 0 , 当x ? 0 时 第 3 页 共 10 页

F (x) ?

?

x ??

f ( t ) dt ?

?

x 0

? ? 2
3

e

??t

dt ? 1 ?

? x
2

2

? 2? x ? 2 2

e

? ?x

2

于是

2 2 ? ? x ? 2 ? x ? 2 ??x e ,x ? 0 ?1 ? F (x) ? ? 2 ?0, x ? 0 ?

…4

(3) P { 0 ? x ? 1} ? F (1) ? F ( 0 ) ? 1 ?

? ? 2? ? 2
2

e

??

…2

2

五. (本题满分 10 分)
?2 x, ? 0, 0? x ? 1 其它

设 X 概率密度为 f X ( x ) ? ?

, Y ? e

?X



1) 求 Y 的数学期望与方差;2)求 Y 的概率密度 f Y ( y ) 。 解: (1) EY ?
EY
2

?

1

e

?x

f ( x ) dx ?

0 1

?
e

1

e

?x

. 2 xdx ? 2 ? 1 2 ?

4 e 3 2
?1

…3
?2

0 ?2x

?

?

1

e
2

?2x

f ( x ) dx ?
2

0

?

.2 x d x ? e
?2

e

0

所以 DY ? EY (2)

? ( EY )

? (

1 2

?

3 2

) ? 2 ? 4e

?

?

2

? ?

35 2

e

?2

?

7 2

? 16 e

?1

…3

F (Y ) ? P (Y ? y ) ? P ( e ?

?x

? y ) ? P ( x ? ? ln y )

?

1

? ln y

2 x dx ? 1 ? (ln y )

2

? 2 ln y ?1 ,e ? y ? 1 ?? y 所以 f Y ( y ) ? ? ? 0 , 其他 ?

…4

六. (本题满分 10 分) 一机场的交通车送 25 名乘客到 9 个车站,设 25 个乘客都等可能地在任一个车站下车,并且他们下车 与否相互独立,交通车只有在有人下车时才停车,求该交通车停车总次数的数学期望。

解:由题设,每一位乘客在 i 站下车的概率均为 1/9, (i=1,2,....9),用 A K 表示“第 K 位乘客在第 i 站 下车“,则有
P ( AK ) ? 1 9

, P ( AK ) ?
25

8 9

( K ? 1, 2 ...... 25 ) 又因 A1 , A 2 ,.... A 25 相互独立,第 i 站无人下车(因

此不停车)的概率为 P ( ? A K ) ?
K ?1

?
K ?1

25

8 25 P ( AK ) ?( ) 9

设Xi ? ?

?1, 第 i 站有人下车 ? 0,第 i 站无人下车

( i ? 1, 2 ..... 9 )

第 4 页 共 10 页

则 P ( X i ? 0) ? ( )
9

8

25

, P ( X i ? 1) ? 1 ? ( ) ( i ? 1, 2 ..... 9 )
25

8 9

…4

于是交通车停车总次数 X 为 X ?

?
I ?1

9

X i 所以

EX ?

?
I ?1

9

EX

i

?

?
I ?1

9

8 25 P ( X i ? 1 ) ? 9 [1 ? ( ) ] 9

…4

七. (本题满分 10 分)
?e? y, 设 ( X , Y ) 的密度函数为 f ( x , y ) ? ? ? 0, y ? x ? 0 其它



求: ⑴ X , Y 的边缘密度函数; ⑵ ( X , Y ) 的条件密度函数; (3) P ( X ? 2 Y ? 4 ) 。 解: (1)当 x ? 0 ,
f X (x) ?

?

?? ??

f ( x , y ) dy ? ?

??

e
x

? y

dy ? e

?x

…2

所以 f X ( x ) ? ?

?e ? x , x ? 0 ? 0 , 其他

同理有

fY ( y) ?

?

?? ??

? y e ? y dx ? ye ? f ( x , y ) dx ? ? ?0 ? 0 , 其他 ?
f (x, y) fX ?e x? y , y ? x ? 0 ? ? (x) ? 0 , 其他

? y

,y ? 0

….2

(2) f ( y x ) ?

f (x y) ?

f (x, y)

?1 ? ,y ? x ? 0 ? ? y fY ( y) ? 0 , 其他 ?
P ( X ? 2, Y ? 4) P (Y ? 4 )

…4

(3) P ( X ? 2 Y ? 4 ) ?

??
?
DABC

e

? y

dxdy ?

?

4

dx
2

?

4

e
x ? y

? y

dy ?

e

?2

? 3e

?4

?
y?4

fY ( y)

?

4

ye
0

dy

1 ? 5e

?4

…2

八. (本题满分 10 分) 某螺丝厂的废品率为 0.01,问一盒中应装多少只螺丝钉才能使其中至少含有 100 个合格品的概率不小 于 95%? 第 5 页 共 10 页

附表:标准正态分布的分布函数 ? ? x ? 的表
x
? ?x ?
0 . 00 0 . 69 1 . 65 1 . 96 2 . 31 3 . 62

0 . 500

0 . 755

0 . 950

0 . 975

0 . 990

0 . 999

解:令 X n ? ?

?1, 若第 n 个螺丝钉是合格品 ? 0,其他情况

则 X n, n ? 1 独立同分布,且 p ? p ( X n ? 1) ? 0 . 99
S n ? np np (1 ? p ) 100 ? np np (1 ? p )

…3

令 S n ? X 1 ? X 2 ? ...... ? X n 我们要求 n 使得 p { 由中心极限定理,
100 ? np np (1 ? p ) n ? 0 . 1658 ? ? 1 . 65 n ? 101 . 01 ? 0 ,

?

} ? 0 . 05 ? ? ( ? 1 . 65 ) …4

n ? 10 . 1336 , n ? 102 . 69

所以,每盒中至少应装 103 个螺丝钉。 九. (本题满分 10 分)

…3

为了解灯泡使用时数的均值 ? 及标准差 ? ,测量 10 个灯泡,得 x =1500 小时, S =20 小时,如果已 知灯泡的使用时数服从正态分布,求 ? 和 ? 的 95%的置信区间.

解 : 1 ) 未 知 方 差 求 ? 的 置 信 区 间 , ? ? 0 . 05 , 已 知 x =1500 , S =20 , n ? 10 由 附 表 查 得 (
t ? ( n ? 1) ? t 0 .0 2 5 (9 ) ? 2 .2 6 2 , ? 的 95%的置信区间为
2

…2

( x ? t ? ( n ? 1)
2

s

2

n

, x ? t ? ( n ? 1)
2

s

2

)

…2

n
20 10

? (1500 ? 2 . 262 ?

20 10

,1500 ? 2 . 262 ?

)

? (1485 . 69 ,1514 . 31 )

…2
2 2 2

(2)查表得 ?
( n ? 1) s
2 2

2 1?

?
2

( n ? 1) ? ? 0 .9 7 5 (9 ) ? 2 .7 0 0 , ? ? ( n ? 1) ? ? 0 .0 2 5 (9 ) ? 1 9 .0 2 3
2

? 的置信区间为
2

(

? ? ( n ? 1) ?
2

,

( n ? 1) s
2 1?

2

?
2

( n ? 1)

)? (

9 ? 20 1 9 .0 2 3

2

,

9 ? 20 2 .7 0 0

2

) ? (1 8 9 .2 4 ,1 3 3 3 .3 3)

…2

(

( n ? 1) s
2

2

? ? ( n ? 1)
2

,

( n ? 1) s

2

?

2 1?

?
2

( n ? 1)

)? (

9 ? 20 1 9 .0 2 3

2

,

9 ? 20 2 .7 0 0

2

)

…2

第 6 页 共 10 页

十.附加题(本题满分 10 分) 设 X 1 , X 2 ,… , X
(n ? 1) S
2

n

是总体 N

? 0,

?

2

? 的样本, X

, S 分别是样本均值和样本方差.证明:

2

1)

?

2

服从 ? ( n ? 1 ) ;
2

2) X 与 S 独立.
( n ? 1) S
2

2

证明: (1).

?

2

?

?
i ?1

n

2

(X i ? X ) ?

?
i ?1

n

Xi ? nX

2

2

取一 N 阶正交矩阵 A ? ( a ij ) ,其中第一行

? Y1 ? ?X1 ? ? ? ? ? Y2 X2 1 ? 由于 Y ? 元素为 , 作正交变换 Y ? AX , 其中 Y ? ? ? , X ? ? i ? .. ? ? .. ? n ? ? ? ? ?Y n ? ?X n?

?

n j ?1

a ij X j , i ? 1, 2 ,... n , 故 Y1 , Y 2 ... Y n

仍为正态变量,由 X i ~ N ( 0 ,1), i ? 1, 2 ,..., n 知
E (Y i ) ? E ( ?
n j ?1

a ij X j ) ?

?a
j ?1

n

ij

E (X j ) ? 0

又由 cov( X i , X j ) ? ? ij , i , j ? 1, 2 ,..., n 知
n

cov( Y i , Y k ) ? cov(

?

n j ?1

a ij X j , ?

n l ?1

a kl X l ) ?

?a
j ?1

ij

a kj ? ?

ik

故 Y1 , Y 2 ... Y n 两两不相关,又由于 N

维随机变量 ( Y1 , Y 2 ... Y n ) 是有 N 维正态随机变量( X 1 , X 2 ,… , X n )经由线性变换而得到的,因此,
( Y1 , Y 2 ... Y n ) 也是 N 维正态随机变量,于是由 Y1 , Y 2 ... Y n 两两不相关可得 Y1 , Y 2 ... Y n 相互独立,且有

Y i ~ N ( 0 ,1), i ? 1, 2 , 2 ,..., n 而 Y i ?

?

n j ?1

a ij X

j

?

?
Xi
2

n j ?1

1 n

X

j

?

nX

?
i ?1

n

Y i ? Y Y ? ( AX ) ( AX ) ? X X ?
' ' '

2

?
i ?1

n

于是

( n ? 1) S

2

?

2

?

?
i ?1

n

Xi ? nX

2

2

?

?
i ?1
2

n

Y i ? Y1 ?
2 2

?Y
i?2

n

2 i

由于 Y1 , Y 2 ... Y n 相互独立,且
(n ? 1) S
2

Y i ~ N ( 0 ,1), i ? 2 , 3 ,..., n ,知 ? Y i ~ ? ( n ? 1 ) ,从而得证
2 i?2

n

?

2

服从 ? ( n ? 1 )
2

(2) X ?

1 n

Y1 仅依赖于 Y1 ,而 S

2

?

?Y ( n ? 1)
i?2

?

2

n

2 i

仅依赖于 Y 2 , Y 3 ... Y n ,再由 Y1 , Y 2 ... Y n 的独立性,

推知 X 与 S 独立 第 7 页 共 10 页

2


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